Численное решение уравнения Лапласа

Цель работы:

1. Освоить методы численного решения уравнения Лапласа.

2. Оценить возможности применения изученных методов при решении практических задач.

3. Приобрести навыки написания программ по имеющимся блок-схемам на одном из изучаемых алгоритмических языков с последующим их оформлением в виде процедур или подпрограмм.

Задание:

1. По блок-схеме [3, с. 81-82] составить программу решения уравнения Лапласа методом «сеток».

2. В соответствии с вариантом задания (табл. 3.14) при заданных граничных условиях рассчитать установившееся температурное поле для квадратной области, выбрав шаг разбиения по обеим координатным осям h=0.5.

3. По результатам расчетов в декартовой системе координат построить картину распределения поля температур в заданной области.

4. Задавшись нулевыми граничными условиями u(x0, y)=0, u(xn, y)=0, повторить пункты 2, 3 задания.

5. Составить отчет по работе.

Таблица 3.14

№	Границы		Граничные условия нагрева
№	x0, y0	xn, yn	u(x0, y)	u(xn, y)	u(x, y0)	u(x, yn)
1	0	1.5	30·y	0	30·(1-x²)	0
2	0	1.5	20·y	20·y²	20	50·x·(1-x)
3	0	1.5	0	50·y·(1-y²)	50·x·(1-x)	50·x·(1-x)
4	0	1.5	-10y²-8y+6	-10y²-10y+22	9·x²+7·x+6	9·x²-15·x-12
5	1.0	2.5	-7·y²-5·y+3	-7·y²-21·y+13	6·x²+4·x+3	6·x²-12·x-9
6	1.0	2.5	-6·y²-4·y+2	-6·y²-18·y+10	5·x²+3·x+2	5·x²-11·x-8
7	2.5	4.0	-5·y²-3·y+1	-5·y²-15·y+7	4·x²+2·x+1	4·x²-24·x-21
8	2.5	4.0	-19y²-17y+15	-19·y²-57·y+1	18x²+16x+15	18x²-24x-21
9	2.5	4.0	-2·y-4·y²	4-12·y-4·y²	x+3·x²	-5·x-9·x²-3
10	1.5	3.0	1	y+1	1	x+1
11	1.5	3.0	1	y+1	1	x²+1
12	1.5	3.0	-y³	1-y³	x²	x²-1

Окончание табл. 3.14

№

Границы

Граничные условия нагрева

x0, y0

xn, yn

u(x0, y)

u(xn, y)

u(x, y0)

u(x, yn)

3.0

4.5

5·y-y²

4-y²+5·y

x²+3·x

x²+3·x+4

3.0

4.5

3-7·y

7-5·y

4·x+3

5·x-4

3.0

4.5

5-8·y

11-7·y

5·x+5

7·x-3

2.0

3.5

y²+4·y

y²+4·y+4

x²+3·x

x²+3·x+5

2.0

3.5

y²

(1-y)²

x²

(x-1)²

2.0

3.5

y²

y²+2·y

x²-x

x²+x+1

0.5

2.0

30·(1-y)

20·y

20·x

30·(1-x)

0.5

2.0

y²

1-x³

x²

Лабораторная работа 3.13

Численное решение уравнения Фурье

Для прямоугольного стержня

Цель работы:

1. Освоить методы численного решения уравнения теплопроводности для случая длинного прямоугольного стержня с теплоизолированными боковыми кромками.

2. Оценить возможности применения изученных методов при решении практических задач.

Задание:

1. По блок-схеме [3, с. 85] составить программу решения уравнения Фурье для длинного прямоугольного стержня с теплоизолированными боковыми кромками.

2. В соответствии с вариантом задания (табл. 3.15) при заданных начальном F(x, 0) и граничных условиях первого рода Q(0, t) и R(L, t)рассчитать изменение температуры стержня длиной L по времени. Коэффициент температуропроводности задать равным а = 1; коэффициент, связывающий шаг по времени с шагом по пространственной координате, положить равным σ = 1,6. Число шагов по времени М =10.

3. По результатам расчетов на ЭВМ построить график изменения температуры по времени в средней по длине точке стержня u(L/2, t_j) и график распределения температуры по длине стержня по завершению процесса нагрева.

4. Повторить вычисления для σ = 1,2 и сопоставить результаты расчетов с предыдущим решением.

5. По составленной программе рассчитать изменение температуры стержня при граничных условиях второго рода на левом конце стержня (x=L):

При нулевом начальном распределении температуры стержня u(x, 0)=0 и скачкообразном изменении температуры на левом конце стержня (х=0) u (0, t)=100 ⁰C.

Примечание. Внести изменения в программу с учетом равенств, вытекающих из условия нагрева второго рода на конце стержня (x=L) при переходе к конечным разностям, где u_n_,_j = u_n_-1,_j: j=0÷m.

6. Составить отчет по работе.

Таблица 3.15

№	Длина	h	F(x, 0)	Q(0, t)	R(L, t)
1	1	0.2	0.3 + 2·x	0	6·t+0.9
2	2	0.4	1.75	0.5·t	0.5 – t
3	3	0.5	x/2 - 0.6	t - 0.2·t²	t + 0.2 t²
4	4	0.5	x/2 - 0.6	t - 0.2·t²	t - 0.2 t²
5	5	0.5	x + 0.3	t² + t	t + 1
6	6	1.0	x·(x – 7)	t	2·t - 6
7	7	1.0	2.2	10·t	2.2
8	8	1.0	7 + x	t	3·(0.5 + t)
9	9	1.0	0.5+x·(0.8 - x)	0.6	3·(0.2 + t)
10	10	2.0	x·(x + 1)	0	2·t + 3
11	11	1.0	x² – 0.08	t	t
12	12	2.0	2.5·x – 1.5	t + 1	t + 1
13	13	1.0	x·0.8 – x)	0.6	3·(0.2 + t)
14	14	2.0	0.9+2·x·(1 - x)	3·(0.3 - 2·t)	1.38
15	15	3.0	x·(1 – x) + 0.2	0.2	2·(t + 0.22)
16	16	4.0	3·x·(2 - x)	0	t + 2.52
17	17	1.0	3·x·(2 - x)	0	t + 2.52
18	18	2.0	x·(1 – x)	0	t + 1
19	19	1.0	x·(1 – x)	0	t + 1
20	20	2.0	x + 0.3	t² - t	0

Лабораторная работа 3.14

Численное решение уравнения Фурье

Для цилиндрического стержня

Цель работы:

1. Освоить методы численного решения уравнения теплопроводности для длинного цилиндрического стержня.

2. Оценить возможности применения изученных методов при решении практических задач.

Задание:

1. По блок-схеме [3, с. 89] составить программу решения уравнения Фурье для длинного цилиндрического стержня методом «прогонки».

2. Рассчитать изменение температуры по толщине стержня при граничных условиях третьего рода. Радиус стержня и закон изменения температуры греющей среды выбрать в соответствии с вариантом задания ( табл. 3.16). В качестве исходных данных взять: шаг по времени k = 5; число участков разбиения по радиальной координате n = 5; число шагов по времени М = 350; шаг печати по времени lpech = 24; начальная температура стержня f(x,0) = 10 ^°C; теплофизические константы а = 1,5·10^-7м²/с; α = 0.45 Вт/м·^°C; λ = 200 Вт/м²·^°C.

3. По результатам расчетов на ЭВМ построить графики изменения температуры: греющей среды, в центре стержня u(0, t) и вблизи боковой поверхности u(R-h, t).

4. Повторить вычисления для предварительно разогретого стержня f(x,0) = 30 ^°C.

5. Повторить вычисления для двух предельных значений коэффициента теплоотдачи λ = 80 Вт/м²·^°C и λ = 400 Вт/м²·^°C.

6. Повторить вычисления для увеличенного в два раза диаметра стержня.

7. Составить отчет по работе, сопоставив результаты расчетов.

Таблица 3.16

№	R, м	Закон изменения температуры греющей среды
№	R, м	t, с	Т, ^°C	t, с	Т, ^°C	t, с	Т, ^°C	t, с	Т, ^°C
1	0.01	0	80	120	70	1320	10	1800	10
2	0.02	0	90	180	80	1320	10	1800	10
3	0.03	0	100	240	80	1320	10	1800	10
4	0.04	0	100	360	80	1440	10	1800	10
5	0.05	0	110	120	90	1320	10	1800	10
6	0.06	0	110	180	90	1500	10	1800	10
7	0.07	0	110	90	70	1200	10	1800	10
8	0.02	0	100	60	70	1320	10	1800	10
9	0.03	0	80	720	70	1500	10	1800	10
10	0.04	0	90	600	70	1440	10	1800	10
11	0.05	0	110	2430	80	1380	10	1800	10
12	0.06	0	100	300	80	1200	10	1800	10
13	0.07	0	90	720	70	1500	10	1800	10
14	0.02	0	100	60	70	1200	10	1800	10
15	0.03	0	80	300	70	1500	10	1800	10
16	0.04	0	80	300	80	1200	10	1800	10
17	0.05	0	100	240	80	1140	10	1800	10
18	0.06	0	90	720	80	1260	10	1800	10
19	0.07	0	90	600	80	1320	10	1800	10
20	0.08	0	120	120	70	1230	10	1800	10

Лабораторная работа 3.15

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 435; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 111213 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!