Численное решение уравнения Лапласа
Цель работы:
1. Освоить методы численного решения уравнения Лапласа.
2. Оценить возможности применения изученных методов при решении практических задач.
3. Приобрести навыки написания программ по имеющимся блок-схемам на одном из изучаемых алгоритмических языков с последующим их оформлением в виде процедур или подпрограмм.
Задание:
1. По блок-схеме [3, с. 81-82] составить программу решения уравнения Лапласа методом «сеток».
2. В соответствии с вариантом задания (табл. 3.14) при заданных граничных условиях рассчитать установившееся температурное поле для квадратной области, выбрав шаг разбиения по обеим координатным осям h=0.5.
3. По результатам расчетов в декартовой системе координат построить картину распределения поля температур в заданной области.
4. Задавшись нулевыми граничными условиями u(x0, y)=0, u(xn, y)=0, повторить пункты 2, 3 задания.
5. Составить отчет по работе.
Таблица 3.14
№ | Границы | Граничные условия нагрева | ||||
x0, y0 | xn, yn | u(x0, y) | u(xn, y) | u(x, y0) | u(x, yn) | |
1 | 0 | 1.5 | 30·y | 0 | 30·(1-x2) | 0 |
2 | 0 | 1.5 | 20·y | 20·y2 | 20 | 50·x·(1-x) |
3 | 0 | 1.5 | 0 | 50·y·(1-y2) | 50·x·(1-x) | 50·x·(1-x) |
4 | 0 | 1.5 | -10y2-8y+6 | -10y2-10y+22 | 9·x2+7·x+6 | 9·x2-15·x-12 |
5 | 1.0 | 2.5 | -7·y2-5·y+3 | -7·y2-21·y+13 | 6·x2+4·x+3 | 6·x2-12·x-9 |
6 | 1.0 | 2.5 | -6·y2-4·y+2 | -6·y2-18·y+10 | 5·x2+3·x+2 | 5·x2-11·x-8 |
7 | 2.5 | 4.0 | -5·y2-3·y+1 | -5·y2-15·y+7 | 4·x2+2·x+1 | 4·x2-24·x-21 |
8 | 2.5 | 4.0 | -19y2-17y+15 | -19·y2-57·y+1 | 18x2+16x+15 | 18x2-24x-21 |
9 | 2.5 | 4.0 | -2·y-4·y2 | 4-12·y-4·y2 | x+3·x2 | -5·x-9·x2-3 |
10 | 1.5 | 3.0 | 1 | y+1 | 1 | x+1 |
11 | 1.5 | 3.0 | 1 | y+1 | 1 | x2+1 |
12 | 1.5 | 3.0 | -y3 | 1-y3 | x2 | x2-1 |
Окончание табл. 3.14
| ||||||||
№ | Границы | Граничные условия нагрева | ||||||
x0, y0 | xn, yn | u(x0, y) | u(xn, y) | u(x, y0) | u(x, yn) | |||
13 | 3.0 | 4.5 | 5·y-y2 | 4-y2+5·y | x2+3·x | x2+3·x+4 | ||
14 | 3.0 | 4.5 | 3-7·y | 7-5·y | 4·x+3 | 5·x-4 | ||
15 | 3.0 | 4.5 | 5-8·y | 11-7·y | 5·x+5 | 7·x-3 | ||
16 | 2.0 | 3.5 | y2+4·y | y2+4·y+4 | x2+3·x | x2+3·x+5 | ||
17 | 2.0 | 3.5 | y2 | (1-y)2 | x2 | (x-1)2 | ||
18 | 2.0 | 3.5 | y2 | y2+2·y | x2-x | x2+x+1 | ||
19 | 0.5 | 2.0 | 30·(1-y) | 20·y | 20·x | 30·(1-x) | ||
20 | 0.5 | 2.0 | y2 | y | 1-x3 | x2 |
Лабораторная работа 3.13
Численное решение уравнения Фурье
Для прямоугольного стержня
Цель работы:
1. Освоить методы численного решения уравнения теплопроводности для случая длинного прямоугольного стержня с теплоизолированными боковыми кромками.
2. Оценить возможности применения изученных методов при решении практических задач.
3. Приобрести навыки написания программ по имеющимся блок-схемам на одном из изучаемых алгоритмических языков с последующим их оформлением в виде процедур или подпрограмм.
|
|
Задание:
1. По блок-схеме [3, с. 85] составить программу решения уравнения Фурье для длинного прямоугольного стержня с теплоизолированными боковыми кромками.
2. В соответствии с вариантом задания (табл. 3.15) при заданных начальном F(x, 0) и граничных условиях первого рода Q(0, t) и R(L, t)рассчитать изменение температуры стержня длиной L по времени. Коэффициент температуропроводности задать равным а = 1; коэффициент, связывающий шаг по времени с шагом по пространственной координате, положить равным σ = 1,6. Число шагов по времени М =10.
3. По результатам расчетов на ЭВМ построить график изменения температуры по времени в средней по длине точке стержня u(L/2, tj) и график распределения температуры по длине стержня по завершению процесса нагрева.
4. Повторить вычисления для σ = 1,2 и сопоставить результаты расчетов с предыдущим решением.
5. По составленной программе рассчитать изменение температуры стержня при граничных условиях второго рода на левом конце стержня (x=L):
.
При нулевом начальном распределении температуры стержня u(x, 0)=0 и скачкообразном изменении температуры на левом конце стержня (х=0) u (0, t)=100 0C.
Примечание. Внести изменения в программу с учетом равенств, вытекающих из условия нагрева второго рода на конце стержня (x=L) при переходе к конечным разностям, где un,j = un-1,j: j=0÷m.
|
|
6. Составить отчет по работе.
Таблица 3.15
№ | Длина | h | F(x, 0) | Q(0, t) | R(L, t) |
1 | 1 | 0.2 | 0.3 + 2·x | 0 | 6·t+0.9 |
2 | 2 | 0.4 | 1.75 | 0.5·t | 0.5 – t |
3 | 3 | 0.5 | x/2 - 0.6 | t - 0.2·t2 | t + 0.2 t2 |
4 | 4 | 0.5 | x/2 - 0.6 | t - 0.2·t2 | t - 0.2 t2 |
5 | 5 | 0.5 | x + 0.3 | t2 + t | t + 1 |
6 | 6 | 1.0 | x·(x – 7) | t | 2·t - 6 |
7 | 7 | 1.0 | 2.2 | 10·t | 2.2 |
8 | 8 | 1.0 | 7 + x | t | 3·(0.5 + t) |
9 | 9 | 1.0 | 0.5+x·(0.8 - x) | 0.6 | 3·(0.2 + t) |
10 | 10 | 2.0 | x·(x + 1) | 0 | 2·t + 3 |
11 | 11 | 1.0 | x2 – 0.08 | t | t |
12 | 12 | 2.0 | 2.5·x – 1.5 | t + 1 | t + 1 |
13 | 13 | 1.0 | x·0.8 – x) | 0.6 | 3·(0.2 + t) |
14 | 14 | 2.0 | 0.9+2·x·(1 - x) | 3·(0.3 - 2·t) | 1.38 |
15 | 15 | 3.0 | x·(1 – x) + 0.2 | 0.2 | 2·(t + 0.22) |
16 | 16 | 4.0 | 3·x·(2 - x) | 0 | t + 2.52 |
17 | 17 | 1.0 | 3·x·(2 - x) | 0 | t + 2.52 |
18 | 18 | 2.0 | x·(1 – x) | 0 | t + 1 |
19 | 19 | 1.0 | x·(1 – x) | 0 | t + 1 |
20 | 20 | 2.0 | x + 0.3 | t2 - t | 0 |
Лабораторная работа 3.14
Численное решение уравнения Фурье
Для цилиндрического стержня
Цель работы:
1. Освоить методы численного решения уравнения теплопроводности для длинного цилиндрического стержня.
|
|
2. Оценить возможности применения изученных методов при решении практических задач.
3. Приобрести навыки написания программ по имеющимся блок-схемам на одном из изучаемых алгоритмических языков с последующим их оформлением в виде процедур или подпрограмм.
Задание:
1. По блок-схеме [3, с. 89] составить программу решения уравнения Фурье для длинного цилиндрического стержня методом «прогонки».
2. Рассчитать изменение температуры по толщине стержня при граничных условиях третьего рода. Радиус стержня и закон изменения температуры греющей среды выбрать в соответствии с вариантом задания ( табл. 3.16). В качестве исходных данных взять: шаг по времени k = 5; число участков разбиения по радиальной координате n = 5; число шагов по времени М = 350; шаг печати по времени lpech = 24; начальная температура стержня f(x,0) = 10 °C; теплофизические константы а = 1,5·10-7 м2/с; α = 0.45 Вт/м·°C; λ = 200 Вт/м2·°C.
3. По результатам расчетов на ЭВМ построить графики изменения температуры: греющей среды, в центре стержня u(0, t) и вблизи боковой поверхности u(R-h, t).
4. Повторить вычисления для предварительно разогретого стержня f(x,0) = 30 °C.
5. Повторить вычисления для двух предельных значений коэффициента теплоотдачи λ = 80 Вт/м2·°C и λ = 400 Вт/м2·°C.
6. Повторить вычисления для увеличенного в два раза диаметра стержня.
7. Составить отчет по работе, сопоставив результаты расчетов.
Таблица 3.16
№ | R, м | Закон изменения температуры греющей среды | |||||||
t, с | Т, °C | t, с | Т, °C | t, с | Т, °C | t, с | Т, °C | ||
1 | 0.01 | 0 | 80 | 120 | 70 | 1320 | 10 | 1800 | 10 |
2 | 0.02 | 0 | 90 | 180 | 80 | 1320 | 10 | 1800 | 10 |
3 | 0.03 | 0 | 100 | 240 | 80 | 1320 | 10 | 1800 | 10 |
4 | 0.04 | 0 | 100 | 360 | 80 | 1440 | 10 | 1800 | 10 |
5 | 0.05 | 0 | 110 | 120 | 90 | 1320 | 10 | 1800 | 10 |
6 | 0.06 | 0 | 110 | 180 | 90 | 1500 | 10 | 1800 | 10 |
7 | 0.07 | 0 | 110 | 90 | 70 | 1200 | 10 | 1800 | 10 |
8 | 0.02 | 0 | 100 | 60 | 70 | 1320 | 10 | 1800 | 10 |
9 | 0.03 | 0 | 80 | 720 | 70 | 1500 | 10 | 1800 | 10 |
10 | 0.04 | 0 | 90 | 600 | 70 | 1440 | 10 | 1800 | 10 |
11 | 0.05 | 0 | 110 | 2430 | 80 | 1380 | 10 | 1800 | 10 |
12 | 0.06 | 0 | 100 | 300 | 80 | 1200 | 10 | 1800 | 10 |
13 | 0.07 | 0 | 90 | 720 | 70 | 1500 | 10 | 1800 | 10 |
14 | 0.02 | 0 | 100 | 60 | 70 | 1200 | 10 | 1800 | 10 |
15 | 0.03 | 0 | 80 | 300 | 70 | 1500 | 10 | 1800 | 10 |
16 | 0.04 | 0 | 80 | 300 | 80 | 1200 | 10 | 1800 | 10 |
17 | 0.05 | 0 | 100 | 240 | 80 | 1140 | 10 | 1800 | 10 |
18 | 0.06 | 0 | 90 | 720 | 80 | 1260 | 10 | 1800 | 10 |
19 | 0.07 | 0 | 90 | 600 | 80 | 1320 | 10 | 1800 | 10 |
20 | 0.08 | 0 | 120 | 120 | 70 | 1230 | 10 | 1800 | 10 |
Лабораторная работа 3.15
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 435; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!