Теорема: Если ряд явлабсолсх-ся, то исх ряд сх-ся. Док-во:восп-ся 1 признаком сравнения



Рассм-м ряд

- ряд из абсол значений величин.Доказанасх-ть по 2-му признаку сравнения, след-но исх ряд сх-ся абсолютно.

О. Если ряд, образ из абсол значений его величин расх-ся, а исх ряд сх-ся, то он наз условно сх-ся.

Знакочеред ряды. Достатусл-е сх-ти (теорема Лейбница).

О. Ряд вида  (1) наззнакочеред-ся. Признак Лейбница (сх-тьзнакочер ряда). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и , то ряд сходится, а его сумма Sположительна и не превосходит первого члена, т.е. . Следствие: Остаток ряда Лейбница имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине, т.е. .

Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке, целиком принадлежащем интервалу сходимости. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз. Ряды, полученные почленным интегрированием и почленным дифференцированием степенного ряда, имеют тот же радиус сходимости, что и исх ряд.

, область сход-ти (-R;R). Тогда для x (-R;R) ряд f(x) можно почленно дифференцировать. Также его можно почленно интегрировать для всех x (a,b)<(-R;R). .


Понятие степенного ряда. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.

o. Ряд вида

, где а0, а1, а2... называется степенным рядом по степеням x-x0. Если в ряде 1 положить x0=0, То получим …по степени x

o2. Число R>0 называется радиусом сходимости ряда 2, если для всех [x]<R ряд сходится, [x]>R ряд расходится

О2. Интервал (-R;R) называется интервалом сходимости ряда 2

О3. Множество всех значений х, для которых ряд 2 сходится, область сходимости ряда.

Структуру области сходимости степенного ряда устанавливает теорема Абеля.

1) Если степенной ряд anxn сходится при x=x0, то он сходится причем абсолютно для всех x , удовлетворяющих неравенству |x|<|x0|

2) Если же ряд anxn расходится при x=x1 , то он расходится при всех x , удовлетворяющих условию |x|>|x1|  

Область сходимости может иметь 1 из 4 видов:

(-R;R), [-R;R), (-R;R], [-R;R], где R—радиус сходимости, он находится по одной из формул:

 -- формула Даламбера

 -- формула Коши

Вычислив R, записываем интервал сходимости, если R≠∞, 0, то исследуем степенной ряд при x=-R, x=R

Из т-мы Абеля следует, что для любого степ ряда найдется такое неотриц число , R наз радиусом сх-ти, что при всех x, | x |<R , ряд сх-ся, а при всех x, | x |>R , ряд расходится.

Теорема Абеля: 1) Если степенной ряд anxn сходится при x=x0, то он сходится причем абсолютно для всех x , удовлетворяющих неравенству |x|<|x0|. 2) Если же ряд anxn расходится при x=x1 , то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x1|. (Док-во 1)Так как числовой ряд anx0n сходится, то anx0n=0. Это означает, что числовая последовательность {anx0n} ограничена.Тогда перепишем степенной ряд в виде a0 + a1x0 (x/x0) + a2x02(x2/x02) +…+…= anx0n(x/x0)2. Рассмотрим ряд из абсолютных величин. |a0|+ |a1x0 (x/x0) | + |a2x02(x2/x02) | +…+…<= M + M| x/x0| + M| x/x0|2 +…= M(1+q+ q2+…). Это геометрическая прогрессия с q=(x/x0)<1—сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда. 2)От противного. Пусть степенной ряд сходится при некоторомx*,| x*|>x1. Но тогда согласно 1-ой части теоремы, степенной ряд сходится для всех | x |<x* . В том числе должен сходится и при x= x0, так как | x |< | x*| . Но это противоречит предположению теоремы. Теорема доказана.)

33. Ряды Тейлора и Маклорена. Если функция f(x) разлагается в ряд по степеням ( x - x0), то этот ряд имеет вид : f(x)= f(x0)+ f ’(x0)/1! ( x - x0)+ (f ’’(x0) (x - x0)2)/2!+…+ =( f n (x0) (x - x0)n)/n! +…= ( f n (x0) (x - x0)n)/n! Степ ряд такого вида наз-ся рядом Тейлораф-иf(x) в т. x0. Если x0 =0, то такой ряд наз-ся рядом Маклорена. Теорема: Ряд Тейлора сходится тогда и только тогда, когда остаток ряда стремится к нулю при , т.е. для всех значений x из интервала сходимости . Теорема(дост. условие разложения в ряд Тейлора): Если производные любого порядка n=0,1,2… функции f(x) ограничены в некоторой окрестности точки одним и тем же числом M>0, т.е. , то ряд Тейлора функции f(x) сходится к f(x) для любого xиз этой окрестности. Теорема: Если функция f(x) разложима в ряд Тейлора, то это разложение единственно. Разложение функции в ряд Тейлора (Маклорена): 1) Находим знач. произв. f(x˳), f’(x˳),… (x˳)для ряда Тейлора и f(0), f’(0),…, (0) для ряда Маклорена. 2) Находим общую формулу для n-ой производной данной функции. 3) Записываем разложения в ряд Тейлора или Маклорена. 4) Находим область сходимости полученных рядов с помощью формул Даламбера или Коши.


Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 277; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!