ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ПРИМЕРЫ РАСЧЁТОВ: ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ (1МНК)

   В урав­нении регрессии корреляционная по сути связь признаков представляется в виде функциональной связи, выраженной соответствующей функцией (1).

,                                                  (1)

 где y — фактическое значение результативного признака;

 - модельное значение результативного признака;

      - признак-фактор;

     a_i – параметр регрессионной модели;

 — случайная величина (ошибка, возмущение, остаток), характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического (предсказанные значения “y” минус наблюдаемые). Она включает влияние не учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения.

Например, специалисты по кадрам обычно используют процедуры множественной регрессии для определения заработной платы, адекватной выполненной работе. Можно определить некоторое количество факторов или параметров, таких, как "размер ответственности" (x1) или "число подчиненных" (x2), которые, как ожидается, оказывают влияние на заработную плату (y (стоимость работы). Кадровый аналитик затем проводит исследование размеров окладов среди сравнимых компаний на рынке, записывая размер жалования и соответствующие характеристики (т.е. значения параметров) по различным должностям. Эта информация может быть использована при анализе с помощью множественной регрессии для построения регрессионного уравнения в следующем виде

,

где y – заработная плата, тыс.грн.;

    x₁ – размер ответственности;

    x₂ – число подчинённых, человек.

Как только эта линия регрессии определена, аналитик оказывается в состоянии построить график ожидаемой оплаты труда и реальных обязательств компании по выплате жалования. Таким образом, аналитик может определить, какие должности недооценены (лежат ниже линии регрессии), какие оплачиваются слишком высоко (лежат выше линии регрессии), а какие оплачены адекватно.

Оценка параметров модели

Классический подход к оцениванию параметров линейной модели основан на обычном или одношаговом методе наименьших квадратов (1МНК).

Этот метод позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака yi от расчетных (теоретических)  минимальна (2).

.                                                                          (2)

Чтобы найти минимум функции (5), надо вычислить производные по каждому из параметров и приравнять их к нулю, т.к. равенство нулю производной – необходимое условие экстремума. В результате получается система уравнений (в матричном виде представлена формулой 3, решение которой и позволяет получить оценки параметров регрессии, формула (1).

.                                                                             (3)

Пример 1.Составить линейную модель множественной регрессии y от x1 и x2 по данным таблицы 1.

      Таблица 1 – Исходные данные

Номер предприятия   Переменная	1	2	3	4
, (%)	1	1	-1	-1
, (%)	1	-1	1	-1
, (тыс. грн.)	0,5	5	7	12

Этап 1. Составим матрицы Х (первый столбец всегда состоит из «1», поскольку в модели присутствует  , второй и третий столбцы – значения x₁ и x₂) и Y (значения у)

Х=                   Y=

 Этап 2. =

Этап 3.

Этап 4.

Этап 5.

Получаем модель: y=6,125-3,375x₁-2,375x_2.

Мы поможем в написании ваших работ!