Теорема о базисном миноре (с док.)
Строки базисного минора линейно независимы. Любая строка не входящая в базисный минор является линейной комбинацией базисных строк или строк базисного минора.
Теорема о ранге матрицы и её следствия. Задача о нахождении линейно независимой подсистемы в системе векторов.
Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых подсистем. Если ранг матрицы равен r, то в качестве r - независимых строк можно взять: во-первых, те строки, которые остались ненулевыми, во-вторых, любые r – строк, для которых существует минор Mr 0 – такие миноры называются базисными.
Теорема Кронекера – Капели (с док.)
Для того чтобы система линейных уравнений была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы A равнялся рангу расширенной матрицы В. Если ранг А равен рангу В и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг А равен рангу В, но меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений. Док-во необходимости При доказательстве необходимости мы должны предположить, что какая-либо система совместна, и показать, что отсюда необходимо следует равенство рангов матриц А и В. Раз уравнения этой системы совместны, то они имеют решения, т. е. можно для неизвестных подыскать такие числовые значения x1=m1, x2=m2, …, xn=mn, что:
(1)
Найдем, чему равен ранг матрицы В. С этой целью в матрице В прибавим к элементам последнего столбца элементы первого, умноженные на –m1; элементы второго, умноженные на — m2 и т. д., наконец, элементы n-го, умноженные на — mn
|
|
Тогда в силу равенств (1) матрица В, не меняя своего ранга, превратится в матрицу:
(a11 a12 … a1n0)
B’= (……………...)
(ak1 ak2 … akn0)
Последний столбец матрицы В' состоит из нулей, откуда очевидно, что ранг В' или, что то же, ранг В равен рангу матрицы А. Доказательство достаточности. При доказательстве достаточности мы должны предположить, что ранги матриц А и В равны, и показать, что выполнения этого достаточно для того, чтобы система была совместна.
Обозначим через rранг матрицы А, равный рангу матрицы В. Без ограничения общности доказательства можно допустить, что отличный от нуля определитель D r-го порядка находится в левом верхнем углу как матрицы А, так и матрицы В; в противном случае мы изменили бы соответствующим образом нумерацию уравнений и неизвестных. Тогда первые rстрок матриц А и В должны быть линейно независимы, а остальные строки зависят от них. Это значит, что первые rуравнений системы линейно независимы, а остальные уравнения будут линейно зависеть от них. Но зависимые уравнения мы смело можем отбросить, так как всякое решение первых rуравнений, очевидно, удовлетворяет и зависимому уравнению. Теперь могут представиться только две возможности: r = п или r<n. Разберём каждый случай отдельно. 1. Если r =n, то у нас будет n независимых уравнений с n неизвестными, причём определитель из коэффициентов отличен от нуля. Мы знаем, что такая система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамара. 2. Если r < n, то число независимых уравнений будет меньше числа неизвестных. Перенесём лишние неизвестные xr+2, . . .,xn, которые принято называть свободными в правые части. Эту систему можно решить относительно х1, х2, -.. , хr потому, что определитель D r-го порядка из коэффициентов при этих неизвестных отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получаем по формулам Крамара соответствующие числовые значения для х1, х2,... , xr. Таким образом, при r< п получается даже не одно, а бесчисленное множество решений. Теорема доказана.
|
|
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 384; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!