Скалярное произведение векторов, его свойства

Стр 1 из 7Следующая ⇒

Геометрические векторы. Линейные операции над ними. Коллинеарность.

Вектор АВ – направленный отрезок, А-начало, В-конец.

Каждый вектор имеет свою длину

Если начало и конец точки совпадают => нуль-вектор, направления нет.

Вектора равны, если они лежат на // прямых, имеют равную длину и направление.

Под вектором можно понимать множество равных ему векторов в различных точках пространства.

- закрепленный вектор противоположен ,

Операции над векторами: Сложение:

Умножение:

Вычитание:

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.
Линейная зависимость и независимость векторов. Компланарность. Зависимость 4-х векторов в пространстве.

Система векторов называется линейно-независимой, если равенство выполняется лишь в том случае, когда все числа и .

Система векторов называется линейно-зависимой, если равенство выполнимо хотя бы при одном .

Для того, чтобы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллинеарны.

Для того, чтобы три вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Векторы компланарны если они лежат в одной плоскости.

Любые 4 вектора – линейно зависимы.

Базис. Разложение по базису. Координаты вектора.

Базис – система векторов - линейно-независима.

- разложение по базису.

Во множестве векторов в трехмерном пространстве

базис состоит из трех некомпланарных векторов.

Некоторые приложения вектора удобно задавать через направляющие косинусы:

Для реального вектора независимыми являются только два любых угла из трех.

Линейные операции над векторами в координатной форме.

1. Сложение:

2. Умножение: При умножении вектора на число каждая координата умножается на это число.

Координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Для каждого вектора координаты определяются однозначно.

Два вектора равны, если у них совпадают координаты.

Система ортогональная если векторы-базисы взаимно перпендикулярны.

Система ортонормированная если базисом являются ортогональные векторы

Проекция вектора на ось и ее свойства

Проекция на ось равна .

Если -тупой, то проекция будет <0.

В ортогональной системе координат длина вектора находится по теореме Пифагора:

Декартова прямоугольная система координат

Прямоугольная (декартова) система координат на

плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкой пересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.

В ДПСК координаты вектора имеют геометрическую иллюстрацию.

Скалярное произведение векторов, его свойства.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.