Решение задач по 1 и 2 алгоритмам

Федеральное агентство по образованию

Тольяттинский государственный университет

Кафедра «Начертательная геометрия и черчение»

 

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

 

по курсу «Начертательная геометрия»

 

Методические указания по решению задач в рабочей тетради

 

 

Тольятти 2007

Содержание

 

Модуль №1. 4

Точка. 4

Задача №1. 4

Задача №2. 7

Линия. 9

Задача №3. 9

Задача №4. 9

Задача №6. 10

Задача №8. 11

Задача №10. 12

Задача №11. 13

Задача №13. 14

Задача №12. 16

Модуль №2. 19

Плоскость. 19

Задача №17. 19

Задача №18. 21

Задача №20. 24

Задача №21. 26

Задача №22. 26

Задача №23. 28

Задача №24. 31

Задача №25. 31

Задача №26. 34

Задача №27. 36

Задача №30. 37

Задача №31. 37

Поверхность. 41

Задача №32. 41

Задача №23. 42

Задача №34. 44

Задача № 35. 47

Задача №36. 50

Задача №37. 50

Задача №38. 53

Задача №40. 57

Задача №41. 57

Задача №42. 60

Задача №43. 63

Задача №46. 65

Задача №47. 69

Задача №47. 72

Задача №48. 73

Задача №50. 75

Модуль №3. 79

Главные позиционные задачи. 79

Решение задач по 1 и 2 алгоритмам.. 79

Задача №55. 79

Задача №57. 80

Задача №58. 81

Задача №60. 84

Задача №61. 92

Задача №64. 94

Задача №67. 96

Задача №71. 99

Задача №73. 103

Задача №76. 106

Задача №78. 108

Модуль №4. 110

Метрические задачи. 110

Задача №81. 110

Задача №82. 111

Задача №83. 112

Задача №84. 113

Задача №85. 113

Задача №86. 114

Задача №87. 115

Задача №88. 116

Задача №89. 116

Задача №90. 118

Задача №91. 119

Задача №92. 120

Задача №93. 121

Задача №95. 122

Метод введения новой плоскости проекций. 123

Задача №100. 123

Задача №101. 126

Задача №102. 127

Задача №103. 130

Задача №104. 130

Задача №105. 132

Задача №106. 134

Задача №107. 136

Задача №107. 138

Задача №109. 141

Задача №110. 145

Метод вращения вокруг проецирующей оси. 148

Задача №115. 148

Задача №116. 149

Задача №117. 150

 

Модуль №1

Точка

Задача №1

 

Построить комплексные чертежи точек: А(15,30,0), В(30,25,15), С(30,10,15), D(15,30,20)

Решение задачи разделим на четыре этапа.

1. А(15,30,0); xA= 15 мм; yA = 30мм; zA = 0.

Как Вы думаете, если у точки А координата zA=0, то какое положение она занимает в пространстве?

Рис. 1.1

Так выглядит комплексный чертеж точки А построенный по заданным координатам

Если у точки одна координата равна нулю, то точка принадлежит одной из плоскостей проекции. В данном случае у точки нет высоты: z = 0, следовательно точка А лежит в плоскости П1.

На комплексном чертеже оригинал (т.е. сама точка А) не изображается, есть только ее проекции.

 

2. В(30,25,15) и С(30,10,15).

На втором этапе объединим построение двух точек.

xB = 30мм; xC = 30мм

yB = 35мм; yC = 10мм

zB = 15мм; zC = 15мм

У точек В и С: xB = xC = 30мм, zB = zC = 15мм

 

а) Координаты х точек одинаковы, следовательно, в системе П1 – П2 проекции точек лежат на одной линии связи (рис. 1.2),

Рис. 1.2

б) Координаты z точек совпадают, (обе точки одинаково удалены от П1 на 15мм,) т.е. они расположены на одной высоте, следовательно на П2 проекции точек совпадают: В2 =2).

в) Для определения видимости относительно П2 смотрим на рис. 1.3. Наблюдатель видит точку В, которая закрывает собой точку С, т.е. точка В расположена ближе к наблюдателю, поэтому на П2 она видима. (См. М1 - 13 и 16).

Рис. 1.3

В системе П2П3 проекции точек также лежат на одной линии связи и видимость определяется по стрелке (рис. 1.2).

Точки В и С - называются фронтально конкурирующими.

3. D(15,30,20); xD = 15мм; yD = 30мм; zD = 20мм.

а) На этом комплексном чертеже (рис. 1.4) построены три проекции точки D(D1, D2, D3).

Все три координаты имеют числовые значения, отличные от нуля, поэтому точка не принадлежит ни одной плоскости проекций.

Рис. 1.4

б) Совместим пространственное изображение А и D (рис. 1.5). В системе П12 проекции точек А и D лежат на одной линии связи, только точка D выше точки А, следовательно D - видима, а А - невидима (видима на П1 та точка, которая расположена выше)

Рис. 1.5

На четвертом, завершающем этапе, соединим все три фрагмента комплексных чертежей точек А,В,С,D в один общий.

Рис. 1.6

Точки А и D - называются горизонтально конкурирующими.

Рис. 1.7

 

 

Задача №2

 

На заданных линиях связи построить проекции точек В и С: точка В расположена выше точки А на 10мм и ближе к наблюдателю на 15мм; точка С расположена ниже точки А на 10мм и ближе к плоскости П2 на 5мм.

Решение задачи осуществляется на безосном комплексном чертеже.

1. Распределим линии связи для точек В и С

2. Проведем вспомогательные линии ^ А1А2, пересекая линии связи точек В и С.

Верхняя горизонтальная линии от А2 будет определять уровень точек В и С относительно П1, по сравнению с точкой А, т.е. "выше - ниже" А:

Точка В выше на 10мм, чем точка А относительно П1

Точка С ниже на 10мм, чем точка А относительно П1

3. Нижняя горизонтальная линия от А1 будет границей расположения точек В и С относительно П2, по сравнению с точкой А, т.е. "ближе - дальше" от наблюдателя:

Точка В ближе на 15мм к наблюдателю, чем А,

Точка С дальше от наблюдателя, т.е. ближе к П2 на 5мм, чем точка А.

4. Убираем все вспомогательные построения.

 

Задача решена.

Линия

Задача №3

Для решения этой задачи, при необходимости, можно воспользоваться Модулем №1(стр. 20)

 

Задача №4

Построить проекции отрезка АВ горизонтали h(h1h2) || П1 если Ðb=30°, |АВ| = 40мм, точка В удалена от П2 дальше, чем точка А.

Решить эту задачу, значит построить точка В(В1В2).

h2 ^ линии связи,

h1 - проецируется в истинную величину;

Ðb - угол наклона горизонтали к П2 проецируется без искажения.

Алгоритм построения.

1. Горизонталь начинаем строить с фронтальной плоскости: h2 ^ лин. связи. Можно ли отложить на этой линии 40мм и построить точку В2? Нельзя, т.к. h2 проецируется с искажением.

2. На П1 проведем вспомогательную прямую из А ^ А1А2.

3. Построим угол Ðb. Его можно отложить вверх от вспомогательной линии и вниз, но в задаче дано, что точка В удалена от П2 дальше, чем точка А, поэтому луч для Ðb = 30° откладываем вниз.

4. На этом луче откладываем расстояние, равное 40мм и получаем: h1 = А1В1 = |АВ|

5. Так как мы построили горизонтальную проекцию точки В Þ В1, то для определения В2 достаточно провести линию связи до пересечения с h2 Þ В2.

 

Задача №6

Построить проекции отрезка |МN| =30мм горизонтально проецирующей прямой при условии, что точка В делит отрезок пополам.

1. Горизонтально проецирующая прямая MN параллельна сразу двум плоскостям проекций: П1 и П2.

Отложить 15мм вверх и вниз от точки В2

2. Фронтальная ее проекция – M2N2 проецируется без искажения на П2 и совпадает с линиями связи, а горизонтальная проекция проецируется в точку, которая называется главной проекцией и обладает собирательными свойствами (М1=N11).

B1=N1=M1 – горизонтально конкурирующие точки

 

Задача №8

Определить истинную длину отрезка АВ и углы его наклона к плоскостям проекций П1 и П2

1. Анализ условия: ни одна из проекций отрезка АВ не || и не ^ линиям связи, значит задана прямая общего положения (Модуль №1, стр. 20).

A1B1 первый катет. Перпендикуляр к A1B1 можно провести как из точки A1 так и из В1

2. Двухкартинный чертеж Монжа обратим, поэтому для нахождения натуральной величины отрезка АВ применяют метод прямоугольного треугольника. (Модуль №1, стр. 14).

А1А0 – второй катет. Гипотенуза А0В1 – это натуральная величина |AB| - это натуральная величина |AB|. Угол a - есть угол наклона AB к П1.

Аналогично, можно найти натуральную величину отрезка АВ и угол (b) наклона данного отрезка АВ к П2, построив прямоугольный треугольник на П2. Самостоятельно.

 

Задача №10

Построить горизонтальную проекцию отрезка АВ, если Ðb = 20° (угол наклона к П2), точка В дальше от П2, чем точка А.

Решение задачи сводится к построению горизонтальной проекции точки В Þ В1, т.е. надо определить разность удаления концов отрезка АВ до П2.

Как это можно сделать?

Только построив прямоугольный треугольник на П2 для этого информации?

Да, т.к. есть один катет А2В2 и угол наклона гипотенузы к нему.

Провести линию связи из В2 т.к. В12 находятся на одной линии связи. Провести из точки А вспомогательную прямую ^ А1А2 т.к. по условию точка В дальше от П2, чем точка А.

А2В2 - первый катет. Перпендикуляр (второй катет) можно проводить из любой точки А2 или В2.

Построить из точки А2 угол 20° (перенести графически) с помощью циркуля.

В2В0 () - второй катет. Гипотенуза А2В0 -натуральная величина отрезка АВ.

В2В0 - значение второго катета отложить от точки В Þ В1.

 

Задача №11

Через точку А провести прямую m ° n, если EÎm, CÎn, точка Е расположена перед С на 10мм.

Прямые m и n скрещивающиеся, значит у них нет общих точек. Точки Е и С - фронтально конкуририрующие, т.е. точки С и Е лежат на одном ^ к П2, поэтому С1 и Е1 лежат на одной линии связи.

Продлите линию связи из точки С1. От С1 отложите 10 мм ближе к наблюдателю Þ получим точку Е1

Через две точки А1 и Е1, проводим m1, точка Е(Е1) расположена ближе к наблюдателю, значит на П2 фронтальная проекция точки С(С2) - невидима, взять в скобки..

Точки D и F - горизонтально конкурирующие, построить их фронтальные проекции и определить видимость самостоятельно (Модуль №1, стр.26).

 

Задача №13

Построить горизонтальную проекцию плоской кривой m.

11 = ?, 21 = ?, m1 = ?

Для построения проекций плоской кривой применяется метод хорд. Кривая считается плоской, если проекции точки пересечения проекций одноименных хорд лежат на одной линии связи (Модуль №1, стр. 29).

Строим хорду АВ на П1 и П2. На П2 строим фронтальную проекцию хорды 12С2.

А2В2 Ç 12С2 = 32

Опустив линию связи из точки 32, находим точку 31. Точка 3(32,31) позволит построить горизонтальную проекцию хорды .

Проводим линию связи из точки 12 до пересечения с продленной прямой 31С1 Þ 11

Плавной кривой соединим точки А1, 11, В1, получаем часть горизонтальной проекции кривой m.

Аналогично, строится точка 21.

Объединим все построения на одном чертеже, обозначим горизонтальную проекцию кривой m1.

Чем больше точек брать на кривой АВ, тем точнее построение (5-6 точек).

 

Задача №12

Определить взаимное положение отрезков прямых АВ и CD.

На 3-х картинном чертеже Монжа размеры по оси y (размеры ширины) на П1 и П3 остаются неизменными.

Точка С3 в системе П2- П3 (на линии связи ^ оси Z), взята произвольно, т.к. чертеж безосный. Все остальные проекции точек А,В,D на П3 жестко связаны с точкой С3

(Модуль №1, стр.15).

Построение точки D3

Построение точки В3

Построение точки А3

Решение задачи 14 см. Модуль №1, стр. 31.

Решение задачи 15 см. Модуль №1, стр. 34

 

 

Модуль №2

Плоскость

Задача №17

В плоскости достроить недостающие проекции точки и прямой:

S(АВС) É l(l2); l = ?; D(D ) ; D = ?

В основе решения задачи лежит свойство принадлежности точки и прямой плоскости

(Модуль №2, стр.2).

l Ì S, значит проходит через две точки этой плоскости 1 и 2.

точка 1 Î АВ, 12 Î А2В2 Þ 11 Î А1В1

точка 2 Î АС, 22 Î А2С2 Þ 21 Î А1С1

1. Построим горизонтальные проекции точек 1 и 2(с помощью линий связи) Þ 11 и 21

2. Через точки 1 и 2 проведем горизонтальную проекцию прямой – l.

Очень важно не перепутать принадлежность точек своим отрезкам.

 

Как построить точку D?

Заметим, что точка D находится за пределами треугольника, но, тем не менее, принадлежит плоскости S, т.к. любая плоскость безгранична в пространстве, треугольник - это только ее определитель, с помощью которого она задана.

Так с чего начать? Обычно студенты предлагают провести линию связи из точки D1. Действительно D1 и D2 находятся на одной линии связи, Хорошо, провели, а дальше?

 

Исходя из свойства принадлежности точки плоскости, через точку D(D1) нужно провести вспомогательную прямую в плоскости. Сколько таких прямых можно провести? Бесчисленное множество, выбрав наиболее рациональный вариант.

Вариант

Вариант

Первый вариант рациональнее, т.к. для вспомогательной прямой нужно строить меньше точек (достаточно построить точку 3, точка А уже есть).

Задача №18

В плоскости достроить недостающие проекции линий:

Г(a || b), l(l2) Ì Г, l1 = ?, m(m1) Ì Г, m2 = ?

Принадлежность прямой плоскости, в случае, когда она проходит через две точки этой плоскости, была рассмотрена в задаче № 17. В этой задаче проиллюстрируем принадлежность прямой плоскости, если она проходит через одну точку плоскости и параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости.

l1 = ? l || a || b

Где взять эту точку? На l2 можно взять любую точку и построить ее проекции на П1 по принадлежности к Г (рис. 18.1). Рациональнее взять точку 32 (рис. 18.3).

Рис. 18-1

Через прямую 1-2 строим проекции точки 3

Рис. 18-2

Теперь через точку 31 проводим l1 || а1 и в1

Рис. 18-3

Как построить m2?

Следует отметить, что для построения кривой m2 нужно взять не менее четырех точек.

Рис. 18-4

Точки 4,6,8 строятся без дополнительных построений, с помощью линий связи.

Рис. 18-5

Для построения точки 5 и 7 проводят дополнительные прямые || а и в.

Рис. 18-6

Находим точки 52, 72.

Рис. 18-7

Все точки соединить плавной кривой Þ m2

Рис. 18-8

 

Задача №20

Дана плоскость L(h Ç f), АВС Ì L, А1В1С1 = ?

Как построить А1В1С1, зная свойство принадлежности точки и прямой к плоскости? Треугольник АВС надо рассматривать, как фигуру, состоящую из вершин (точек А,В,С) и сторон (отрезков прямых), т.е. следует применить решение предыдущих задач №17 и №18.

Рис. 20-1

Сторона АВ || h, точка А принадлежит f.

A2 Î f2 Þ A1 Î f , A2B2 || h2 Þ A1B1 || h1 (Рис. 20-2)

Рис. 20-2

Горизонтальная проекция АС строится по двум точкам: А и 1 = А2C2 Ç h2 Þ 11 Þ С1 (Рис. 20-3)

Рис. 20-3

 

Задача №21

Задача решается аналогично, чтобы построить фронтальные проекции точек D,F,E, необходимо построить фронтальные проекци любых двух сторон треугольника (например DF и DE), исходя из свойства принадлежности прямой к плоскости. Для чего следует их продлить до пересечения с Ф, т.е. с m1 и n1.

 

Задача №22

Определить угол наклона плоскости S(g) к П1

А(А2) Î S. А1 = ? Ða = ?

Плоскость S задана g - линией ската, но т.к. положение g в плоскости определяется положением горизонтали этой плоскости, то значит можно однозначно утверждать,что данная плоскость задана двумя пересекающимися прямыми Þ S(g) = S(g Ç h) (Модуль №2, стр. 8)

g ^ h Þ h2 ^ линиям связи, g1 ^ h1, h2 провести через А2, А1 находится по принадлежности

горизонтали

Но как определить угол a?

Угол a между g u g1 - есть угол наклона S Ù П1 = g Ù g

g(g1,g2) - прямая общего положения

Для определения угла (a) необходима истинная величина линии ската, которую определим методом прямоугольного треугольника (задача №8)

Угол между g и g1 = Ða.

Если бы не требовалось определить А1, то угол можно было бы определить и без построения горизонтали. Достаточно задаться любым отрезком на линии ската.

 

Задача №23

Определить угол наклона плоскости Ф(а || b) к П2. Ðb = ?

Как определить е - линию наибольшего наклона плоскости Ф к П2(е ^ f Þ е2 ^ f2)? Задача графически сложная, но легко решается, если ее разбить на три этапа (на три задачи), которые встречались на предыдущих страницах:

1) Построить проекции фронтали f (f1 f2)

Построить f(f1,f2): f1 ^ линиям связи (в любом месте f1 Ç а || в), f2 по принадлежности плоскости Ф

2) Построить проекции линии наибольшего наклона е(е1 е2)

Построить е(е ^ f) Þ е2 ^ f2. Построить е2 можно бесконечное множество.

Выбираем наиболее рациональный вариант и достраиваем е(е1) Ì Ф (по двум точкам 1 и 3).

3) Определить натуральную величину | е| с помощью прямоугольного треугольника. Угол Ðb = между е – е2 (Ф Ù П2 = е Ù е2)

е(е1, е2) – прямая общего положения

 

Задача №24

Эта задача решается аналогично, только алгоритм нужно применить относительно П1.

 

Задача №25

Окружность k Ì Г(Г1), A Î k, O - центр окружности.

Построить: k1 =?, k2 = ?

Плоскость Г занимает горизонтально проецирующее положение. Г1 = главная проекция, обладающая собирательными свойствами, поэтому k1 - прямая линия совпадающая с Г1. Г имеет угол (a) наклона к П2, поэтому окружность спроецируется на П2 с искажением, в виде эллипса.

При этом, какое положение займут большая и малая оси эллипса?

Чтобы построить а2 и в2, нужно знать значение радиуса окружности (R), т.к. а1 = 2´R, в2 = 2´R.

Точка А принадлежит окружности, поэтому соединив точку А с О Þ R. На какой проекции можно замерить значение радиуса?

Нигде! Т.к. ОА - прямая общего положения.

Методом прямоугольного треугольника определяем натуральную величину радиуса окружности Þ R

а (1,2) - малая ось эллипса

в (3,4) - большая ось эллипса

Эллипс - центрально симметричная замкнутая кривая, следовательно относительно точки О2 на кривой таких точек как А2 - четыре.

Теперь плавной кривой соединяем все 8 точек.

Плавной кривой соединить все точки

 

Задача №26

В заданных плоскостях через точку К провести проекции линий уровня

Г(АВС), К Î Г.

Горизонталь плоскости Г должна пройти через две точки плоскости, начинать построение с фронтальной проекции (задача №4)

K2 Î h2 ^ линиям связи

h2 Ç A2B2 = 12

h2 Ç B2C2 = 22

Через 1121 Þ h1, Построить К1 Î h

Построение фронтали f (f1 f2) начинают с горизонтальной проекции: через точку К1 проводят f1 ^ линиям связи.

f1 Ç А1С1 = 31 Þ 32; через 32 и К2 Þ f2.

 

Задача №27

Y(Y2), К Î Y

Если построение горизонтали начинать с фронтальной проекции ^ линиям связи, как в предыдущей задаче, то h2 пересечет Y, т.е. не будет принадлежать Y. Как быть? Попробуйте мысленно вращать h || П1, пока она не совместится с Y2, это произойдет только тогда, когда горизонталь займет положение фронтально проецирующей прямой.

Y - фронтально проецирующая плоскость.

h ^ П2 Þ h2 - точка, h1 = линиями связи.

f1 ^ линии связи, f2 = Y2

 

Задача №30

Через точку М провести прямую m(m1 m2) параллельную плоскостям S(АВС) и Г(Г1).

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Если плоскость занимает проецирующее положение (Г1), то проекция прямой параллельна ее главной проекции, т.е. Г1.

Алгоритм построения.

1. Проведем m1 || Г1 через точку М1, но прямая m || и DАВС, поэтому проведем прямую С111 || m1 в 1В1С1.

2. На П2 построим С212 и параллельно этой прямой через точку М2 проведем m2: m2 || C212

 

Задача №31

Достроить фронтальную проекцию плоскости Г(DEF), если Г(DEF) || Ф(АВС).

Как построить D2E2F2, зная положение о взаимно параллельных плоскостях (Модуль №2, стр.10)? Треугольник DEF надо рассматривать, как фигуру, состоящую из пересекающихся прямых (сторон), чтобы применить решение предыдущей задачи №30. Для определения точек E2 и F2 необходимо построить параллельно DАВС две стороны DDEF.

Построить DF(D2F2) || DАВС, для чего провести А111 || D1F1

Построить DЕ(D2F2) || DАВС, для чего провести C121 || D­1E1

Достроить фронтальную проекцию DDЕF

Очень часто студенты путают построение треугольника, параллельного заданному, с построением треугольника, принадлежащего заданному.

 

DDЕF || DАВС

DDЕF принадлежит Г(АВС)

 

 

Поверхность

Задача №32

Построить три проекции призмы

S(АВС l), если S || П2, если m Ì S.

m2 = ? m3 = ?

Алгоритм построения.

Призма S(АВС,l) – фронтально проецирующая. Ребра l ^ П2 || П1, П3

1. Достроить проекции призмы на П1 и на П3.

2. m Ì S -ломаная линия, состоит из двух прямых, которые обозначим тремя точками (1,2,3).

3. На П2 проекции призмы и линии m совпадают.

4. На П3 точки 13 и 23 будут видимыми, так как лежат в плоскости АА’ВВ’, расположенной ближе к наблюдателю.

5. Точка 33 расположена в плоскости ВВ’СС’ , которая на П3 закрыта плоскостями АА’ВВ’ и АА’СС’, следовательно, будет невидимой.

6. Соединим три точки, с учетом видимости, получим профильную проекцию линии m.

 

Задача №23

Построить три проекции цилиндра вращения

Q(i,l), если Q || П1;

n Ì Q, n1 = ? n3 = ?

Алгоритм построения.

Цилиндр вращения Q - горизонтально проецирующий.Образующая l ^ П1 || П2 || П3.

1. Построить проекции цилиндра на П1, П2, П3.

2. Кривая n Ì Q. Разделим фронтальную проекцию кривой на 5 произвольных точек. Точки 32 и 52 - особые, находятся на крайних образующих; 12, 22, 42 - промежуточные точки.

3. На П1 все точки совпадают с проекцией цилиндра вращения.

4. Находим проекции точек на П3. Точки 13, 23, 33 будут видимыми, а точки 43, 53 - невидимыми. Точки 33 и 53 не требуют дополнительных построений, т.к. они уже лежат на своих образующих.

5. Соединив точки на П3 с учетом видимости, получим профильную проекцию кривой n3.

 

Задача №34

Построить проекции трехгранной призмы Ф(АВС, s), М Î Ф , М1 = ? Высота призмы 40 мм

Вспомним алгоритм конструирования поверхности: М2-15. Что задано на чертеже?

Проекции геометрической части определителя. Строим дискретный каркас, закон каркаса:

lÇABC, l || s

С какой проекции начнем конструировать линейчатую поверхность? Можно начать с любой, но, учитывая условие задачи (высота 40 мм), начнем построение с фронтальной проекции, проведя 3 образующие || s2.

Построить проекцию линии обреза на П2

А2’В2’С2 - фронтальная проекция линии обреза. С помощью линий связи построить ее горизонтальную проекцию – А1’В1’С1

Для того, чтобы обвести проекции поверхности основной сплошной линией, необходимо определить видимость.

Точки 1 = 2(11 = 21) - горизонтально конкурирующие, точка 1 выше, чем точка 2.

Точки В’ = 4(В2’ = 42) - фронтально конкурирующие, точка В ближе к наблюдателю, чем точка 4.

 

Ребро В1В1 частично видимо, т.к. поверхность (в данном случае призма) - это пустотелая геометрическая фигура., имеющая только боковую поверхность.

На П2 точка М(М2)- видимая, Î АА’ВВ’. Через точку М(М2) провести образующую М5(М252). Точка М(М1) - невидимая.

 

Задача № 35

Построить проекции пирамидальной поверхности Г(1,2,3, S); А,В Î Г; А12=?

Вспомним алгоритм конструирования поверхности: М2-15. Что задано на чертеже?

Проекции геометрической части определителя. Строим дискретный каркас из трех образующих, закон каркаса: l Ç 1,2,3; S Î l

Соединить точки направляющей 1,2,3 с вершиной S, на обоих проекциях. Определить видимость проекций поверхности, точки 4=5(42 =52) - фронтально конкурирующие точки, точки 6=7(62=72) - горизонтально конкурирующие точки.

Точка 7 выше, чем точка 6, точка 4 ближе к наблюдателю, чем точка 5.

А Î Г, А1 = ?

В Î Г, В2 = ?

Задача №36

Построить проекции пирамидальной поверхности общего вида Y(А,В,С,D,F,S), n Ì Y, n1 = ?

Задачу 36 решить самостоятельно, учитывая опыт решения предыдущих задач. Ломаную линию

n(n1) построить по принадлежности соответствующим граням, учитывая видимость проекций

поверхности.

 

Задача №37

Построить проекции конической поверхности общего вида Г(m,S), АÎ Г, ВÎ Г, А2 = ?, В1 =?

Коническая поверхность - кривая линейчатая (М2-21, 22), образующая l - прямая линия.

Что задано на чертеже?

Проекции геометрической части определителя. Строим дискретный каркас, закон каркаса:

l Ç m; l É S

Провести конечное число образующих, начиная с очерковых.

Определить видимость проекций поверхности:

точки М=N(М1=N1) - горизонтально конкурирующие,

точки 4=7(42=72) - фронтально конкурирующие,

точка N выше, чем М,

точка 4 ближе к наблюдателю, чем точка 7

А,В Î Г, В1 =? А1 =?

Через точки А и В провести образующие.

 

Задача №38

Построить проекции цилиндрической поверхности S(m,s).

h =35 мм, K Î S, K2 =?, N Î S, N1 =?

Алгоритм построения.

На чертеже заданы проекции геометрической части определителя цилиндрической линейчатой поверхности.

Закон образования каркаса цилиндрической поверхности: l Ç m, l || s

1. Расстояние между верхним и нижним основаниями равно 35 мм.

2. Через центр направляющей m проведем осевые линии параллельно s на П1 и на П2 Þ О1’, О2

3. На направляющей m обозначим 4 точки с учетом видимости.

4. На П2 проведем две очерковые образующие: 11’(1212’) и 22’(2222’) || s2 и построим фронтальную проекцию цилиндра.

5. На П1 построим горизонтальную проекцию линии обреза Þ О’(О1’).

6. Прямая ЕС(Е1С1) É О ^ О’(О1’) определит положение касательных к основанию, которые будут очерковыми образующими на П1.

Определяем видимость:

7. Строим фронтальные проекции образующих: ЕЕ’ -видимая, СС’ невидимая.

8. На П1 строим проекции образующих

11’(1111’) и 44’(4141’) - видимые;

22’(2121’) и 33’(3131’) - частично видны через верхнюю линию обреза.

Построение К(К2).

Обозначим зону видимости относительно П2 :все точки, расположенные на образующих от 1(11) до 2(21) через 3(31) на П2 будут видимы.

Через К(К1) проведем образующую || s1 Þ 6(61) Þ 6(62).

Через точку 6(62) проведем образующую || s2 Þ 6К(62K2)

На П1 образующая 6К(61К1) находится вне зоны видимости относительно П2, следовательно, фронтальная проекция точки К(К2) будет невидима.

Построение N(N1)

Обозначим зону видимости относительно П1: все точки, расположенные на образующих от Е(Е2) до С(С2) через 1(12) на П1 будут видимы.

N(N2) на П2 видима, следовательно горизонтальная проекция N(N1) должна располагаться в зоне видимости относительно П2, т.е. точка 51 - ближе к наблюдателю.

Проводим образующую N5(N252) || s2 Þ 5(51) Þ (51N1), т.к. точка N2 - вне зоны видимости относительно П1, то точка N1 должна быть невидимой, но, поскольку у цилиндра только боковая поверхность и он пустотелый, то точка N1 - видима, т.к. частично образующая 51N1 видна, и как раз на видимую часть этой образующей проецируется точка N(N1) - видимая.

 

Задача №40

Построить проекции цилиндроида L(n,m,Г), d(d1) Ì L, d2 = ?

Задачу решить самостоятельно, учитывая положение плоскости параллелилизма.

 

Задача №41

Построить проекции коноида Q(n,m,П1), а(а1) Ì Q, а2 = ?

Закон образования каркаса коноида l Ç m; l Ç n; l || П­1

Какое положение занимают неподвижные направляющие m, n?

m(m1,m2) - плоская кривая, лежащая во фронтальной плоскости уровня.

n(n1,n2) - горизонтально проецирующая прямая

С какой проекции начинать построение? С фронтальной, т.к. l || П1.

Проводим фронтальные проекции образующих, определяем положение точек на П1, через которые пройдут горизонтальные проекции образующих.

Достраиваем и определяем видимость проекций поверхности.

Конкурирующих точек нет, поэтому проекции образующих видимы на П1 и П2

Для построения фронтальной проекции кривой а отмечают точки пересечения а(а1) с горизонтальными проекциями образующих и строят их фронтальные проекции по принадлежности образующим, с помощью линий связи Фронтальная проекция кривой а(а2) видима.

 

Задача №42

Построить проекции гиперболического параболоида (косой плоскости) S(n,m,Г), в(в2) Ì S, в =?

Закон образования каркаса гиперболического параболоида (косой плоскости) l Ç m; l Ç m; l || Г

1. На П2 разделим фронтальную проекцию направляющей n2 на 7 точек.

2. Проведем через каждую точку проекцию образующей параллельно Г2 – плоскости параллелизма.

3. На П1 построим проекции точек и проведем проекции образующих через одноименные точки.

4. На П1 определяем видимость поверхности: образующая 77’ - выше всех, она видна вся; образующая 66’ не видна только в одной точке, за 7 образующей; образующая 55’ не видна между 66’ и 77’; образующая 44’ не видна между 55’, 66’ и 77’; образующая 33’ не видна между 44’, 55’, 66’ и 77’; образующая 22’ не видна между 33’, 44’, 55’, 66’ и 77’; образующая 11’ не видна за всеми (от 2 до 7). Крайние проекции образующих (с учетом видимости) обвести основной линией.

MN – горизонтально конкурирующие точки

5. Для построения горизонтальной проекции линии в(в1) отметим звездочками точки пересечения в(в2) с фронтальными проекциями образующих поверхности. Проведем линии связи из этих точек на соответствующие горизонтальные проекции образующих.

6. С учетом видимости соединим точки (звездочки) и получаем горизонтальную проекцию кривой в(в1).

 

Задача №43

Построить проекции конуса вращения S(i,l), h = 40мм., А,В,К(А111), А2 =? В2 =? К2 =?

Алгоритм построения.

1. На П2 от вершины конуса отложим высоту 40мм. определив положение основания (линию обреза) конуса..

2. Используя свойство симметрии поверхностей вращения, достраиваем левый полумеридиан.

3. Горизонтальная проекция - окружность R = l1.

4. Видимость поверхности:

Все точки, принадлежащие конусу, на П1 будут видимыми;

Видимость на П2 ограничится главным (фронтальным) меридианом.

5. Чтобы определить недостающие проекции точек, нужно через имеющиеся проекции точек провести линии: образующую или параллель точки, радиусом от оси до очерка.

а) Для построения точки А(А2) проведем проекции образующей и по принадлежности ей, с учетом видимости построим точки А(А2).

б) Точка В принадлежит очерковой образующей, поэтому для построения точки В2 достаточно провести от В1 линию связи.

в) Построение точки К(К1): через К(К2) проведем радиусом R параллель (от оси до очерка).

Построить горизонтальную проекцию этой параллели. Линия связи, проведенная от точки К2 дважды пересекает параллель, но точка К1 будет располагаться в зоне видимости, т.к. относительно П2 точка К2 – видима.

 

Задача №46

Построить проекции поверхности вращения общего вида Ф(i,l). Достроить недостающие проекции точек А,В,С.

В этой задаче проекции образующей l(l1,l2) не лежат в плоскости фронтального меридиана, поэтому нам необходимо повернуть образующую так, чтобы она легла в одну плоскость с осью вращения (М2 ст. 29)

Каждая точка образующей на П1, вращаясь вокруг оси i1, опишет траекторию окружности - параллель, на П2 ее проекция проецируется в прямую линию ^ i2.

Возьмем на образующей l(l1,l2) 6 точек.

Введем каждую точку в плоскость фронтального меридиана. Например, точка 1 опишет наибольшую, верхнюю параллель(экватор), точка 6 - наименьшую, нижнюю параллель (горло).

Аналогичные построения проведем с оставшимися точками Þ правый полумеридиан.

Симметрично правому полумеридиану достраиваем левый. Обводим основной толстой линией проекции поверхности.

Для построения недостающих проекций точек А,В, и С необходимо определить зоны видимости:

1) Все точки, принадлежащие поверхности, относительно П1 будут видимы (изнутри).

2) Видимость относительно П2 показана заштрихованной зоной.

а) Для построения горизонтальной проекции точки А(А1) необходимо:

- через точку А2 провести параллель радиусом R (от оси до очерка);

- на П1 строим проекцию этой параллели радиусом R;

- проводим линию связи от точки А2 до пересечения с параллелью в заштрихованной зоне, т.к. точка А2 - видима;

- проекция точки А(А1) будет видимой.

б) Для построения точки В(В1) проводим аналогичные построения.

в) Построение фронтальной проекции точки С(С2):

Горизонтальная проекция точки С1 расположена в незаштрихованной зоне, т.е. за плоскостью фронтального меридиана, следовательно, фронтальная проекция точки будет невидимой.

На П1 через точку С1 проведем параллель радиусом R’’ до пересечения с горизонтальной проекцией левого полумеридиана в точке, которую обозначим звездочкой.

Построим фронтальную проекцию этой точки и проведем через нее фронтальную проекцию параллели, которой и будет принадлежать точка С2.

 

Задача №47

Построить проекции поверхности гиперболоида вращения Y(i,l), А,В(А21), А1 = ?, В2 = ?

Алгоритм построения поверхности подробно расписан в М2 ст. 35,36. Как и в предыдущей задаче №46, необходимо построить фронтальную проекцию правого полумеридиана (в данном случае гиперболу). Значит ввести все точки образующей - l в плоскость фронтального (главного) меридиана, тогда на П2 гипербола спроецируется без искажения.

Распределить точки на l(l1), которые определят положение будущих параллелей на П1 и П2:

Точка 1(11) - определит положение нижней параллели

Точка 3(31) - определит положение горла

Точка 6(61) - определит положение верхней параллели (экватора)

Точка 5(51) - уже принадлежит главному меридиану

Точки 2,4,(21,41) - промежуточные точки;

Через фронтальные проекции точек провести прямые ^ l­2, которые определят положение фронтальных проекций параллелей.

Ввести точки (1...6) в плоскость фронтального меридиана, а из них поднять линии связи, определяя положение соответствующих параллелей на П2.

На П2: верхнее и нижнее основания можно сразу вычертить основной линией - это линии обреза поверхности.

На П1: окружности верхнего основания и горла вычертить основной линией, а окружность нижнего основания штриховой линией, т.к. она закрыта верхней параллелью (экватором).

 

Задача №47

Обвести плавной кривой линией правый полумеридиан (гиперболу), симметрично построить левый полумеридиан. Обвести фронтальную проекцию поверхности основной толстой линией.

Для построения недостающих точек на поверхности гиперболоида, необходимо указать зоны видимости.

Построение горизонтальной проекции точки А:

а) на П2 измеряем радиус R параллели точки А2;

б) на П1 радиусом R проводим окружность и проецируем на нее точку А1 в заштрихованной зоне.

Построение фронтальной проекции точки В:

а) на П1 через точку В1 проведем параллель до пересечения с главным меридианом и отметим точку пересечение звездочкой (*), линия связи из этой точки пересечет фронтальную проекцию правой гиперболы в двух точках. Так как точка В1 - видимая, то точку выбираем в верхней части. Проведем параллель радиусом R’ и на пересечении линии связи от точки В1 и этой параллели построим точку В2, которая будет невидимой.

 

Задача №48

Построить проекции поверхности кольца L(i,l). Обозначить проекции горла n(n1, n2) и экватора m(m1,m2), а(а2), a1 =?

Каждая точка образующей на П2, вращаясь вокруг оси i2 опишет траекторию окружности - параллель, на П1 фронтальная проекция параллели проецируется в прямую линию ^ i.

Построение поверхности подробно описано в М2-37,38

Достроить правый полумеридиан, симметрично ему построить левый. Обвести проекции поверхности основной толстой линией.

Отмечаем особые точки на а(а2): точки 1 и 2 принадлежат экватору, точки 3(4) и 5(6) ближней и дальней параллелям, 9(10) Ì образующей l. Точки 7(8) определят кратчайшее расстояние между ветвями кривой а, находим их через построение дополнительной параллели (точки К,L)

Отмечаем и простраиваем промежуточные точки.

Фронтальная проекция кривой а видима на П1 от точки 5 до точки 6 через точку 1.

 

Задача №50

Построить проекции поверхности косого геликоида S(i,m,Г), n(n2) Ì S, n1 = ?

Алгоритм построения.

1. Направляющую винтовую линию m(m1m2) разделим на 12 точек и обозначим.

2. На П1 построим 12 проекций образующих, которые пересекут окружность направляющего конуса. Точки пересечения перенесем на фронтальную проекцию конуса и соединим с вершиной.

Фронтальные проекции образующих геликоида будут параллельны соответствующим образующим направляющего конуса.

 

3. Все линии, ограничивающие проекции поверхности и крайние образующие необходимо обвести. На П2 строим огибающую к семейству прямолинейных образующих.

4. Определяем видимость направляющей и образующих.

5. n(n2) Ì S. Для построения горизонтальной проекции n, на П2 отметим звездочками пересечения n2 с фронтальными проекциями образующих от точек 62, 52, 42, 32, 22.

6. Из этих точек проведем линии связи на соответствующие проекции образующих геликоида.

7. Соединим на П1 звездочки плавной кривой, получим горизонтальную проекция n(n1).

 

Модуль №3

Главные позиционные задачи

Решение задач по 1 и 2 алгоритмам

Задача №55

Построить проекции точки пересечения прямой с поверхностью: в Ç D.

Алгоритм построения.

в - фронтально проецирующая прямая.

D - конус вращения (поверхность непроецирующая)

1) в ^^ П2 Þ в2 = К2

2) К1 Î D

Горизонтальную проекцию К1 можно построить двумя способами:

1 способ: точка К принадлежит образующей SA(S2A2 Þ S1A1)

2 способ: точка К принадлежит параллели с(с2 Þ с1)

3) Определяем видимость прямой и поверхности конуса на П1.

4) На П2 при данном расположении конуса все точки видимы, в т. ч. и К2.

 

Задача №57

Построить проекции линии пересечения заданных плоскостей: S Ç Г(а || b) = m.

Алгоритм построения.

SÇГ(a || b) = m(прямая); 2 ГПЗ, 2 алг.

1) S ^^ П1 Þ m1 =S1

2) m2 Ì Г

a1 Ç m1 = 11 Þ 12 ; b1 Ç m1 = 21 Þ 22 Þ m2

На П2 отрезок 1222(m2) будет фронтальной проекцией линии пересечения.

 

Задача №58

Построить проекции линии пересечения поверхностей с плоскостью: S Ç Г = m; L Ç Г = l1,l2

 

Построения проводим для каждой поверхности отдельно:

1. Цилиндрическая поверхность L Ç Г = l1,l2 (2 образующие цилиндра). Это 2 ГПЗ. Случай, когда обе фигуры проецирующие, но относительно одной и той же плоскости проекций (см. М3, стр. 24). Поэтому решаем эту часть задачи по 2 алгоритму.

Г - горизонтально проецирующая плоскость;

L - горизонтально проецирующая поверхность.

Общим элементом пересечения будут являться две образующие l1 и l2 – горизонтально проецирующие прямые.

 

Г ^^ П1; L ^^ П1 Þ l11 и l21 - точки

Находим фронтальные проекции образующих l(l1,l 2) по принадлежности L, с учётом видимости.

2. Конус S Ç Г = m (гипербола); 2 ГПЗ, 2 алг.

Эту задачу решаем точно так же, как описано в М3 стр.13.

Г || П1 Þ m = Г1

На m1 возьмём 7 точек и строим их, как описано в М3-13.

а) Точки 1(11,12) и 7(71,72) расположены на основании конуса; точка 5(51,52) - на очерковой образующей конуса, она определяет видимость гиперболы относительно П2, так как расположена в плоскости фронтального меридиана;

б) Точка 4(41,42) - вершина гиперболы (41 - ближайшая к центру вращения);

в) Точка 2(21,22) и 6(61,62) - промежуточные, лежат на одной параллели; точка 3(31,32) - промежуточная, лежит на одной параллели с точкой 5(51,52).

г) Строим m2 с учётом видимости.

Общий вид решения задачи:

 

Задача №60

Построить три проекции шара со сквозным отверстием.

Эта задача является аналогом задачи, рассмотренной в М3, стр. 14-15, с той разницей, что в М3 пересекаются поверхности сферы и призмы, а в данной задаче - тело шара с призматическим вырезом; кроме того, в М3 призма – горизонтально проецирующая, а в данной задаче вырез имеет форму фронтально проецирующей призмы. Однако, принцип решения тот же.

Сквозное отверстие представляет собой фронтально проецирующую трехгранную призму. Каждая грань - это секущая плоскость на шаре.

Алгоритм построения разделим на три этапа:

1. Сечение шара плоскостью S(S2)

2. Сечение шара плоскостью D(D2)

3. Сечение шара плоскостью Г(Г2)

Этап.

S(S2) - фронтально проецирующая пл-ть. При сечении этой плоскостью шара получаем кривую - эллипс на П1 и на П3.

На S2 возьмём 7 точек. Построения на П1 начинаем с характерных точек:

точка 1(12) принадлежит фронтальному меридиану Þ 11;

точка 3(32) принадлежит экватору и определяет видимость эллипса на П1 Þ 31.

Так как эллипс на П1 симметричен относительно плоскости фронтального меридиана, то точки на П1 будем обозначать только в одной полусфере.

Находим эти точки на П3. Точка 1(12) принадлежит профильному меридиану Þ 13 (относительно П3 – это характерная точка).

Достроив остальные профильные проекции точек с учетом видимости, соединим их, получим кривую неполного эллипса..

Этап

D(D2) - горизонтальная плоскость уровня создает при сечении шара неполную окружность на П1 - невидимую, а на П3 окружность проецируется в прямую, видимую от точки 13 до точки 103 и невидимую часть от 103 до 93.

Этап

Г(Г2) - профильная плоскость уровня при сечении шара создает:

на П3 - неполную окружность (невидимую);

на П1 проецируется в два отрезка видимых от 71 до 81 и невидимых от 81 до 91.

Уточняем контур видимых линий на П1 и П2.

Этап

Г(Г2) - профильная плоскость уровня при сечении шара создает:

на П3 - неполную окружность (невидимую);

на П1 проецируется в два отрезка видимых от 71 до 81 и невидимых от 81 до 91.

Уточняем контур видимых линий на П1 и П3.

 

Задача №61

Построить проекции линии пересечения поверхностей: S Ç L = m.

Алгоритм решения

Пересекаются два цилиндра Þ это 2 ГПЗ, характер пересечения - вмятие Þ общий элемент - одна пространственная кривая m. Цилиндр - профильно проецирующий, цилиндр – общего положения Þ решаем по 2 алгоритму: S ^^ П3 Þ m3 = S3; m2 Ì L

1. На m3 возьмём несколько точек

2. Точки 1(13) и 5(53) принадлежат профильным образующим цилиндра L Þ 12, 52 (невидима).

3. Точки 2(23 и 23') принадлежат фронтальному меридиану цилиндра S и определяют видимость кривой m относительно П2 Þ 22, 22'.

4. Построение фронтальных проекций точек 32, 32’, 42, 42, которые на П2 будут невидимыми.

5. На П2 соединим точки с учетом видимости и получим фронтальную проекцию кривой m2.

 

Задача №64

Построить проекции линии пересечения поверхности призмы Ф(Ф12) с плоскостью Г(h Ç f).

Результат пересечения - треугольник АВС.

Алгоритм решения:

Призма - горизонтально проецирующая, плоскость - общего положения Þ 2 ГПЗ, 2 алг.

Ф ^^ П1 Þ А1В1С1 = Ф1. А2В2С2 Ì Г.

Задача имеет несколько вариантов решения. Выберем самый оптимальный.

1. Сторона треугольника АС(А1С1) пересекается с горизонталью и фронталью плоскости Г в точках 1(11) и 2(21) Þ 12 и 22, проведём через эти точки А2С2.

2. В1С1 || f1 Þ B2C2 || f2, проводим В2С2 с учётом видимости. Грань, на которой расположена сторона ВС, на П2 невидима Þ В2С2 - невидима.

3. По тем же причинам невидима сторона А2В2.

Подумайте, как можно ещё решить эту задачу. Сколько способов решения вы насчитали?

 

Задача №67

Построить проекции линии пересечения цилиндра с поверхностью полукольца: Г Ç Ф = в.

Пересекаются две поверхности вращения Þ результат пересечения - пространственная кривая; характер пересечения - вмятие Þ кривая линия - одна.

Алгоритм решения

Г Ç Ф = в, 2 ГПЗ

Г ^ П1, Ф – непроецирующая Þ 2 алгоритм

Г ^^ П1 Þ в1 = Г1; в2 Ì Ф

На проекции кривой в1 возьмём несколько точек. Видимость проекций этих точек на П2 определяется плоскостью фронтального меридиана цилиндра.

1. Точки 1(11) и 2(21) принадлежат ближней параллели полукольца радиусом R’ Þ 12 и 22 находим без дополнительных построений по принадлежности этой параллели. 12 и 22 - видимые.

2. Точки 51 и 61 (видимые на П1) принадлежат окружности R-экватору, на П2 точки 52 и 62 не видны; точки 51 и 61(невидимы на П1) лежат на окружности горла r, на П2 точки 52 и 62 - невидимые.

Обратите внимание! Мы построили проекции точек, лежащих на главных параллелях полукольца без вспомогательных построений, пользуясь только линиями связи.

3. Горизонтальные проекции точек 31, 31’, 41, 41 лежат в плоскости фронтального меридиана цилиндра, которая является границей видимости линии пересечения относительно П2. Проведем параллели через эти точки: радиусом R - для точек 31 и 41; радиусом r - для точек 31 и 41.

На П2 на пересечении параллелей и линий связи получим фронтальные проекции этих точек, которые будут видимыми.

4. Точки 71 и 71 лежат на параллелях тех же радиусов, но на П2 будут невидимы.

5. С учетом видимости проекций точек на П2 проведем кривую - фронтальную проекцию линии пересечения полукольца и цилиндра – в2.

6. На П2 окончательный этап построения заключается в обводке видимого и невидимого контуров полукольца и цилиндра.

 

Задача №71

Построить проекции точек пересечения прямой с поверхностью: d Ç W = А,В.

Алгоритм построения.

d Ç W = А,В ( две точки ) 1 ГПЗ, 3 алгоритм

1. Для решения задачи необходимо взять вспомогательную плоскость - посредник S.

S ^^ П2; S É d ÞS2 = d2

2. Теперь в пересечении участвуют плоскость S и поверхностьW, причем плоскость - фронтально проецирующая.

S Ç W = в (плоская кривая второго порядка - эллипс.) 2 ГПЗ, 2 алгоритм.

S ^^ П2 Þ в2 = S2; в1 Ì W

Построение горизонтальной проекции кривой в1:

а) На П2 плоскость - посредник S2 пересекает проекции всех образующих цилиндра. Сначала построим точки на очерковых образующих цилиндра - 1(12) и 2(22). Находим горизонтальные проекции образующих с учетом видимости и соответствующие проекции точек на них - 11 и 21.

Обратите внимание: точка 21 должна быть невидимой, но нам она видна через верхнее отверстие, т.к. у цилиндрической поверхности нет плоскостей оснований.

б) Видимость относительно П1 определяется точками, лежащими на образующих АА’, ВВ’.

Чтобы найти эти точки, произведём следующее:

1. Определим положение этих образующих на П2;

2. Найдём точки пересечения этих образующих с S2: 42, 42’, 52, 52.

3. Находим горизонтальные проекции этих точек: 41 и 51 - вершинные точки, лежащие на очерковых образующих, и 41’ и (51), лежащие на промежуточных образующих.

4. Таким образом, видимость относительно П1 определится участком цилиндра от образующей АА’(А2А2’) до ВВ’(В2В2’) через СС’(С2С2’).

в) Для построения кривой в1 - эллипса найденных точек недостаточно, поэтому на П2 возьмем произвольно еще 3 пары точек: 3(32, 32’), 6(62, 62’) и 7(72, 72’).

На П1 точки 31’, 61 и 61 будут видимые;

точки 31 и 71- невидимые,

точка 71 - видимая через отверстие сверху.

г) С учетом видимости на П1 соединим точки и получим кривую в1

3. Там, где в1 Ç d1 = А1,В1 причем точка В1 - невидимая.С помощью линий связи находим фронтальные проекции точек А22, причем, точка В2 - невидима.

4. Уточняем видимость прямой d на П1 и П2. Горизонтальная проекция прямой d1 до точки А1 - видимая, внутри невидимая и будет видна только после очерковой цилиндра. Видимость фронтальной проекции прямой d : от точки А2 до 22 - не видна.

 

Задача №73

Построить проекции линии пересечения:

АВС Ç DEF = MN (прямая) 2 ГПЗ, 3 алгоритм.

MN - прямая, для построения которой необходимо иметь две точки, поэтому возьмём две плоскости-посредника: Г2 и Г2, которые выгодно провести через две стороны любого из треугольников. Проведём Г(Г2) через сторону DF(D2F2).

Алгоритм построения

1. Г Ç АВС = 1,2 (прямая) 2 ГПЗ, 2 алгоритм.

Г ^^ П2 Þ 12,22 = Г2

11, 21 Ì АВС.

Там, где 11, 21 Ç D1F1 = M1 Þ M2 Ì D2F2

Определили первую точку М(М12)

2. Нахождение второй точки N(N1, N2)

Г’(Г2’) = ЕF(E2F2);

Г’ Ç АВС = 3,4 (прямая)

2 ГПЗ, 2 алгоритм

Г’ ^^ П2 Þ 32, 42 = Г2

3141 Ì АBC.

Там, где 31,41 Ç E1F1 = N1 Þ N2 Ì E2F2

Линия пересечения фигур MN - построена. Следующий этап решения - видимость пересекающихся плоскостей. Возьмём фронтально конкурирующие точки 1 и 5 и определим видимость D2M2. На П1 точка 51 расположена ближе точки 11, следовательно, D2M2 - видимая, а также видна E2N2

Для определения видимости на П1 отрезков Е1N1 и скрещивающегося с ним А1С1 достаточно посмотреть на П2 по стрелке Л: прямая Е2N2 выше, чем прямая А2С2, следовательно, отрезок Е1N1, а также и отрезок D1М1 - видимые.

 

Задача №76

Построить проекции линии пересечения поверхностей вращения: D Ç L= m,n.

Алгоритм построения

D Ç L = m,n (2 плоские кривые-эллипсы) (по теореме Монжа)

А и В - точки двойного соприкосновения.

1. Построение горизонтальной проекции эллипса – n1. На П2 на линии n2 возьмем несколько точек и найдем их горизонтальные проекции по принадлежности конусу D.

С учетом видимости соединим точки плавной кривой Þ n1.

2. Построение горизонтальной проекции эллипса – m1. Возьмём на m2 несколько точек и найдем их горизонтальные проекции по принадлежности конусу D. Соединяя их с учетом видимости, построим m1

Внимание! Построение эллипсов на конусе подробно описано в М3, стр. М3-10, М3-11.

 

Задача №78

Построить три проекции конуса с призматическим вырезом, на виде слева совместить половину вида с половиной разреза.

 

 

Модуль №4

Метрические задачи

Задачи в рабочей тетради на странице 37 графически решаются просто. Такие задачи приводятся для того, чтобы Вы обратили особое внимание на их решение, т.к. в дальнейших сложных (конструктивных) задачах эти решения будут определять "решающее положение оригинала" (Модуль 4, ст. 23).

Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами (Модуль 4, стр. 8)

К таким задачам относятся: задачи на определение расстояний от точки до прямой, до плоскости, до поверхности; между параллельными и скрещивающимися прямыми; между параллельными плоскостями и т. п.

Все эти задачи объединяют три обстоятельства:

во-первых, поскольку кратчайшим расстоянием между такими фигурами является перпендикуляр, то все они сводятся к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.

во-вторых, в каждой из этих задач необходимо определять натуральную длину отрезка, то есть решать вторую основную метрическую задачу.

в-третьих, это сложные по составу задачи, они решаются в несколько этапов, и на каждом этапе решается отдельная, небольшая конкретная задача.

 

Задача №81

Определить расстояние между прямыми. Прямые а и в занимают положение горизонтально проецирующих прямых

Расстояние между прямыми - это перпендикуляр n(n1,n2).

n - горизонталь, т.к. а и в ^ П1, но n ^ а и в, значит n || П1.

Решающее положение для определения расстояния между параллельными прямыми.

Горизонтальная проекция n Þ n1 есть искомая величина, т.к. перпендикуляр занимает положение горизонтали.

 

Задача №82

Определить расстояние между прямыми. Прямые с и d параллельны и занимают положение фронталей.

Расстояние между прямыми - это перпендикуляр n(n1,n2).

Начинаем построение с n2 (теорема о проецировании прямого угла), n2 ^ с2, d2 Þ n1

Натуральной величины на чертеже нет, т.к. n(n1,n2) – прямая общего положения

Определяем n методом прямоугольного треугольника.

 

Задача №83

Определить расстояние между прямыми. Прямые: l - горизонтально проецирующая, m - общего положения.

Расстояние между прямыми - это перпендикуляр n(n1,n2).

Т.к. l ^^ П1, то перпендикуляр к ней - есть горизонталь, и по теореме о проецировании прямого угла проводим n1 ^ m1, n Ç m Þ 1(11).

Решающее положение для определения расстояния между прямыми.

Горизонтальная проекция n Þ n1 есть искомая величина.

 

Задача №84

Определить расстояние от точки до прямой:

Расстояние между точкой и прямой - это перпендикуляр n(n1,n2).

Решающее положение для определения расстояния между точкой и прямой.

Горизонтальная проекция n Þ n1 есть искомая величина, т.к. перпендикуляр занимает положение горизонтали (аналогично заданию №81)

 

Задача №85

Определить расстояние от точки до прямой

Расстояние между прямыми - это перпендикуляр n(n1,n2).

Начинаем построение с n2,т.к. f || П1, n2 ^ f2 (теорема о проецировании прямого угла).

На чертеже нет натуральной величины n, т.к. n(n1,n2) – прямая общего положения

Определяем | n | методом прямоугольного треугольника.

Просмотрите решенные задачи, назовите номера задач, в которых сразу получается "решающее положение", без дополнительных построений. Алгоритм решения написать самостоятельно (Модуль 4).

 

Задача №86

Построить сферу с центром в точке О, касательную к прямой h.

Если найти точку касания сферы с прямой h(h1,h2) и соединить ее с центром О(О12), то этот отрезок определит радиус R(R1,R2) сферы. Кратчайшее расстояние определяется перпендикуляром, следовательно, проводим R ^ h (R1 ^ h1).

OK = R - прямая общего положения, поэтому на П1 и П2 радиус спроецировался с искажением

Методом прямоугольного треугольника определяем натуральную величину R(ОК) Þ О1К0.

Построить проекции сферы, замерив полученное значение R(О1К0).

 

Задача №87

Через точку М провести прямую n ^ S(h || k)

Взаимная перпендикулярность прямой и плоскости подробно рассмотрена в Модуле 4, стр. 2,3,4.

n ^ S Þ n1 ^ h1; n2 ^ f2

S - плоскость общего положения, но задана двумя параллельными горизонталями, поэтому сразу можно построить через точку М1 Î n1, n1 ^ h1.

В любом месте построить f(f1,f2), принадлежащую плоскости S, затем через М2Î n2 провести n2 ^ f2

 

Задача №88

Задачу решить самостоятельно, построив сначала h и f Ì S, затем n1 ^ h1, n2 ^ f2

Задача №89

Определить расстояние от точки М до плоскости S(h Ç f).

Как уже отмечалось (М4 -8), это сложные по составу задачи, они решаются в несколько этапов, и на каждом этапе решается отдельная, небольшая конкретная задача.

В данном случае, эта графически сложная задача состоит из трех задач, которые встречались Вам раньше:

1) Из точки М построить n ^ S (задания №87, 88);

2) Найти точку пересечения n Ç S Þ К (первая ГПЗ по 3 алгоритму);

3) S - плоскость общего положения, следовательно, n - прямая общего положения (М4-2,3).

Методом прямоугольного треугольника найти | n | (задания №82,85,86)

Из точки М провести перпендикуляр к плоскости S: т.е. n1 ^ h1; n2 ^ f2

Построить точку пересечения n Ç S Þ К, 1 ГПЗ 3алгоритм.

Г - плоскость посредник, Г ^^ П2, nÉ Г Þ Г2 = n2

Г Ç S = 1,2 (прямая) 2 ГПЗ 2 алгоритм,

1121 Ç n1 Þ К1, К Î n Þ К2.

МК - искомый отрезок.

МК - отрезок общего положения. |МК| = М2К0 - натуральная величина.

 

Задача №90

Определить расстояние от точки М до плоскости S(S2).

Если плоскость S занимает проецирующее положение, то прямая, перпендикулярная ей, является линией уровня (М4-3).

Т.к. S || П2, то n ^ S - фронталь Þ n2 ^ S2; n1 ^ линии связи.

Построить h,f Ì S (задача №27)

Решающее положение для определения расстояния между точкой и плоскостью.

Построить n1 ^ h1, n2 ^ f2

|МК| = М2К2 - натуральная величина расстояния от точки до плоскости.

 

Задача №91

Построить все множество точек, одинаково удаленных от точек А и В.

Все множество точек, равноудаленных от двух точек (А и В), это плоскость, например, S (DMND), проведенная через середину (точка С Þ АС = СВ) расстояния между ними, S ^ АВ

Соединим точки А и В, разделим пополам графически (циркулем).

Построим через точку С плоскость S(h Ç f), h1 ^ А1В1, f2 ^ A2B2.

 

Задача №92

Определить расстояние от точки В до прямой а.

В этой задаче нужно построить перпендикуляр к прямой общего положения. (М4 - 4. Взаимная перпендикулярность двух прямых общего положения).

Этапы решения:

1) Из точки В построить S(h Ç f) ^ а (задание №91);

2) Найти точку пересечения а Ç S Þ К (первая ГПЗ по 3 алгоритму) (задание №89);

3) а - прямая общего положения, следовательно, n (ВК) - прямая общего (М4-4) положения. Методом прямоугольного треугольника найти |ВК| (задания №82,85,86)

Построим плоскость S(h Ç f) ^ а, причем h1 ^ а1; f2 ^a2.

Решить задачу:

S Ç а = К Þ 1 ГПЗ, 3 алгоритм, см. задачу № 89.

ВК - отрезок общего положения. |ВК| = В1К0 - натуральная величина.

 

Задача №93

Через прямую m провести плоскость Г, перпендикулярную заданной плоскости S.

Известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если в одной из них лежит прямая, перпендикулярная другой плоскости. Таким образом, построение взаимно перпендикулярных плоскостей общего положения сводится к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости (М4-5).

В плоскости S построить в любом месте фронталь и горизонталь - h,f Ì (а Ç в)

Построить Г ^ S, Г = m Ç n = K. Через точку К провести n ^ S Þ n1 ^ h1, n2 ^ f2.

 

Задача №95

Построить конус вращения, если S - его вершина, а точка М принадлежит основанию, расположенному в плоскости S.

Чтобы решить задачу, сначала нужно построить ось вращения конуса i(i1i2) перпендикулярно основанию. Но основание принадлежит S, значит i ^ S, но S ^^ П1, то ось i - прямая уровня (См. задание №90), в данном случае - горизонталь. Следовательно i1 ^ S1; i2 ^ линиям связи Þ О1 и О2.

Провести i ^S Þ точка О. Полученное графическое решение соответствует графическому условию задачи №25, поэтому подробности дальнейшего решения не приводятся.

 

 


Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 1421; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:




Мы поможем в написании ваших работ!