Тема 4. Основные понятия теории пределов

Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости с элементами векторной алгебры.

Нормальным вектором прямой называется вектор, перпендикулярный каждому вектору, лежащему на данной прямой.

Если известны координаты нормального вектора и известны координаты какой-либо точки прямой , то уравнение этой прямой можно записать в виде:

(1)

Прямая на плоскости может быть задана также своим общим уравнением:

(2)

Направляющим вектором прямой называется вектор, коллинеарный любому вектору данной прямой.

Если известны координаты направляющего вектора и известны координаты какой-либо точки прямой , то уравнение этой прямой можно записать в виде:

(3)

Если известны координаты двух точек и прямой , то уравнение этой прямой имеет вид:

(4)

Расстояние от точки , не лежащей на прямой , до этой прямой можно найти по формуле:

(5)

где - коэффициенты общего уравнения (2).

Тема 2.Аналитическая геометрия в пространстве.

Нормальным вектором плоскости называется вектор, перпендикулярный каждому вектору, лежащему в данной плоскости.

Если известны координаты нормального вектора и известны координаты какой-либо точки плоскости , то уравнение этой плоскости можно записать в виде:

(6)

Плоскость в пространстве может быть задана также своим общим уравнением:

(7)

Расстояние от точки , не лежащей на плоскости , до этой плоскости можно найти по формуле:

, (8)

где - коэффициенты общего уравнения (11).

Рассмотрим в пространстве некоторую прямую , проходящую через точку и имеющую направляющий вектор . Уравнение этой прямой имеет вид:

(9)

Если известны координаты двух точек и прямой , то уравнение этой прямой можно записать в виде:

(10)

Угол между плоскостью, заданной общим уравнением (11), и прямой, заданной каноническими уравнениями (13), можно найти по формуле:

(11)

где - направляющий вектор прямой, - нормальный вектор плоскости.

Тема 3. Элементы линейной алгебры.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из строк и столбцов. - элемент матрицы; i –номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент. Если число строк совпадает с числом столбцов , то матрица является квадратной.

Определителем 2-го порядка, соответствующим квадратной матрице , называется число, определяемое равенством:

(12)

Определителем 3-го порядка, соответствующим квадратной матрице , называется число, определяемое равенством:

(13)

Символически вычисление определителя 3-го порядка можно изобразить схемой:

т.е. с неизменным знаком берутся произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали; с противоположным знаком берутся произведения элементов, стоящих на второстепенной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными второстепенной диагонали.

Системой трёх линейных уравнений с тремя неизвестными называется система вида

где - числовые коэффициенты при неизвестных , образующие основную матрицу системы. Если определитель , соответствующий основной матрице, отличен от нуля (т.е. система невырожденная), то единственно существующее решение такой системы можно найти по формулам Крамера:

(14)

(15)

т.е. столбец коэффициентов при соответствующем неизвестном в главном определителе заменяется столбцом свободных членов, после чего определитель вычисляется по правилу треугольников (см. выше).

Тема 4. Основные понятия теории пределов.

Рис.1

Число

называется пределом функции

при значениях аргумента

, стремящихся к значению

(обозначается

), если как бы малó ни было положительное число

, всегда найдётся такое положительное число

(зависящее от

), что для всех

, удовлетворяющих неравенству

, выполняется и неравенство

(то есть

для всех значений аргумента , попадающих в интервал радиуса с центром в точке , разница между значениями функции и её пределом становится сколь угодно малой).

Число называется пределом функции при (обозначается ), если как бы малó ни было положительное число , всегда найдётся такое положительное число (зависящее от ), что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется и неравенство (то есть для всех значений аргумента , попадающих в интервалы или ( ), разница между значениями функции и её пределом становится сколь угодно малой).

Отметим некоторые свойства предела функции:

1) Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) пределов слагаемых:

2) Предел произведения двух функций равен произведению пределов сомножителей:

3) Предел постоянной величины равен самой постоянной:

4) Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

5) Предел дроби равен отношению предела числителя к пределу знаменателя (если предел знаменателя отличен от нуля):

, при

Функция называется бесконечно большой при ( ), если ( ).

Функция называется бесконечно малой при ( ), если ( ).

Бесконечно малые и бесконечно большие функции связаны друг с другом следующим образом: если - бесконечно большая, то - бесконечно малая. И наоборот: если - бесконечно малая, то - бесконечно большая.

Если при отыскании предела рациональной дроби пределы числителя и знаменателя равны нулю (или бесконечны), то такие ситуации называют неопределённостями и символически обозначают (или ). Существуют и другие виды неопределённостей, например: , , , . Для каждого вида неопределённости существует свой метод её устранения.

Правило1: Для устранения неопределённости при , возникшей в пределе рациональной дроби, нужно в числителе и знаменателе выделить линейный множитель , дающий эту неопределённость, и сократить дробь.

Правило 2: Для устранения неопределённости при , возникшей в пределе рациональной дроби, нужно числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень , присутствующую в этой дроби.

Число называется пределом функции слева в точке , если как бы малό ни было положительное число , всегда можно указать такое положительное число (зависящее от ), что для всех из интервала выполняется неравенство . Предел слева (левый предел) обозначается:

Аналогично определяется предел функции справа .

Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами.

Функция называется непрерывной в точке ,если:

1) она определена в этой точке;

Если нарушается хотя бы одно из условий непрерывности, то говорят, что функция терпит разрыв в точке а (или является разрывной).

Точки разрыва функции можно классифицировать следующим образом:

- если оба односторонних предела в точке а существуют и конечны (равные друг другу или различные), то точка а является точкой разрыва первого рода;

- если хотя бы один из односторонних пределов в точке а не существует или бесконечен, то точка а является точкой разрыва второго рода.

Асимптотой некоторой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой. Говорят, что прямая

является вертикальной асимптотой графика функции

, если

(или

, или

Рис.2

Поскольку определение вертикальной асимптоты совпадает с определением точки разрыва второго рода (см. выше), то можно утверждать, что вертикальные асимптоты проходят через точки разрыва второго рода.

Наклонной асимптотой графика функции

является прямая

, где

(16)

(17)

но только в том случае, если оба этих предела существуют и конечны.

В частности, при наклонная асимптота становится горизонтальной асимптотой .

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 219; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!