Схемы формул и законы логики высказываний

Таблицы истинности являются эффективным, но несколько неудобным способом осуществлять проверку умозаключений и решать вопросы логической истинности и отношений между высказываниями. В силу этого необходимо выделить наиболее важные и часто встречающиеся логические законы и способы правильных рассуждений. Для этого введем понятие схемы тождественно-истинных формул. Если мы возьмем произвольную тождественно-истинную формулу  и осуществим подстановку вместо всех вхождений пропозициональной переменной pпроизвольной формулы A, а всех вхождений q – произвольной формулы B, то полученная таким способом новая формула  также будет тождественно-истинной.

Схемами формул называют выражения, содержащие метапеременные, пробегающие по формулам объектного языка и репрезентирующие классы формул этого языка. Если схема формул представляет такой класс, каждая формула которого является логическим законом, то ее называют схемой законов данной теории. Приведенное выше
метаязыковое выражение как раз и является такой схемой. Для схем также строятся
таблицы истинности. Наиболее важными общезначимыми схемами являются:

1)  – закон тождества;

2)  – закон противоречия;

3)  – закон исключенного третьего;

4)  – закон удаления конъюнкции;

5)  – закон введения дизъюнкции;

6)  – законы коммутативности  и ;

7)  – законы ассоциативности  и ;

8)  – законы дистрибутивности;

9)  – законы поглощения;

10)  – законы идемпотентности;

11)  – закон удаления истинного члена конъюнкции;

12)  – закон удаления ложного члена дизъюнкции;

13)  – закон утверждения консеквента;

14)  – закон самодистрибутивности импликации;

15)  – законы транзитивности импликации;

16)  – закон перестановочности антецендентов;

17)  – закон Пирса;

18)  – закон импортации;

19)  – закон экспортации;

20)  – законы монотонности;

21)  – законы введения конъюнкции;

22)  – законы снятия (введения) двойного отрицания;

23)  – закон отрицания антецендента;

24)  – законы введения отрицания;

25)  – закон контрапозиции;

26)  – закон обратной контрапозиции;

27)  – законы сложной контрапозиции;

28)  – закон введения тождественно-истинной формулы («логический закон следует из чего угодно»);

29)  – закон удаления тождественно-ложной формулы («из противоречия следует все, что угодно»);

30)  – законы де Моргана;

31)  – законы отрицания импликации;

32)  – законы взаимовыразимости связок;

33)  – закон Дунса Скотта.

Рассуждения основанные на свойствах логики высказываний

Общая характеристика рассуждений, основанных на свойствах пропозициональной логики

Умозаключениями, основанными на свойствах и отношениях пропозициональной логики, называют такой вид опосредованных дедуктивных умозаключений, как минимум одной из посылок которых является сложное суждение. В зависимости от характера посылок данные умозаключения подразделяются на следующие виды: 1) условные (простая контрапозиция, чисто условное, условно-категорическое), 2) разделительно-категорические и 3) условно-разделительные (лемматические) умозаключения.

В данных умозаключениях выведение заключения из посылок определяется характером логической связи между простыми суждениями в составе сложного. При анализе посылок их субъектно-предикатная структура не учитывается.

Условные умозаключения

Условное умозаключение – это дедуктивное умозаключение, одной из посылок которого является импликативное высказывание. Условные умозаключения подразделяются на простую контрапозицию, чисто условные и условно-категорические умозаключения. Все условные умозаключения основаны на логических свойствах импликации. Условное высказывание может быть записано в виде «Если A, то B». В языке классической логики высказываний – . Согласно таблице истинности импликации, высказывание подобного вида ложно в том случае, если истинен его антецендент и ложен косеквент.

Схема 3 Чисто условное умозаключение
	Если A, то B
	Если B, то C
	Если A, то C

Чисто условное умозаключение – это разновидность дедуктивных условных умозаключений, посылками и заключением которого являются условные суждения. Вывод в данном случае основан на транзитивности импликации. Если две условные посылки связаны таким образом, что следствие (консеквент) первой посылки является основанием (антецендентом) второй, то можно заключить, что основание (антецендент) первой
будет находиться в той же самой связи со следствием (консеквентом) второй (схема 3
и пример 1). Формула закона логики высказываний, соответствующая чисто условному умозаключению: .

Пример 1. Чисто условное умозаключение
	Если будет жаркий день (A), то вода в реке будет достаточно теплой (B).
	Если вода в реке будет достаточно теплой (B), то можно будет пойти купаться (C).
	Если день будет жарким (A), то можно будет пойти купаться (С).

Схема 4
	Если A1, то A2
	Если A2, то A3
	Если An-1, то An
	Если A1, то An

Совершенно очевидно, что цепь условных посылок может быть сколько угодно длинной (схема 4). Таким образом, в одном умозаключении могут быть «сцеплены» несколько посылок. Общая формула чисто условного умозаключения согласно приведенной схеме будет иметь следующий вид:

.

Схема 5
	Если A, то B
	Если не-B, то не-A

Простая контрапозиция – это умозаключение, состоящее из одной посылки и заключения. Как посылка, так и заключение являются условными высказываниями (схема 5 и пример 2). Формула контрапозиции уже была приведена нами: .

Пример 2. Контрапозиция
	Если человек совершил правонарушение (A), то он должен быть привлечен к ответственности(B).
	Если человек не привлечен к ответственности (не-B), то он не совершал правонарушения (не-A).

Схема 6
	Если A1, то A2
	Если A2, то A3
	Если An – 1, то An
	Если не-An, то не-A1

Контрапозиция может рассматриваться как простейший вид условного умозаключения и, безусловно, как и любое другое условное умозаключение, может состоять из большого числа посылок (схема 6). Общая формула контрапозиции:

 

.

Условно-категорический силлогизм – дедуктивное умозаключение, состоящее из одной условной и одной категорической посылок. Данное умозаключение имеет два правильных модуса: 1) утверждающий (modus ponens) и 2) отрицающий (modus tollens).

Схема 7
	Если A, то B
	A
	B

В утверждающем модусе (modus ponens) категорическая посылка утверждает
истинность того, о чем говорится в основании (антеценденте) условной посылки, а в заключении утверждается истинность следствия (консеквента). Рассуждение направлено от утверждения истинности основания к утверждению истинности следствия (схема 7 и пример 3). Формула modus ponens: .

Пример 3. Условно-категорическое умозаключение (modus ponens)
	Если по (некоторому данному) проводнику проходит ток (A), то проводник нагревается (B). По данному проводнику проходит ток (A).
	Данный проводник нагревается (B).

Схема 8
	Если A, то B
	не-B
	не-A

В отрицающем модусе (modus tollens) в категорической посылке отрицается истинность следствия (консеквента), а в заключении – истинность основания (антецедента) условной посылки
(см. схему 8 и пример 4).

Рассуждение построено от отрицания истинности следствия (консеквента) к отрицанию истинности основания (антецендента). Формула закона логики высказываний, соответствующая modus tollens: .

Пример 4. Условно-категорическое умозаключение (modus tollens)
	Если по (некоторому данному) проводнику проходит ток (A), то проводник нагревается (B). Данный проводник не нагревается (не-B).
	По данному проводнику электрический ток не проходит (не-A).

Утверждающий и отрицающий модусы являются достоверными. Однако, как нетрудно заметить, возможны еще два модуса, но они не являются достоверными (схема 9). Формулами пропозициональной логики, выражающими данные модусы, будут  и .

Схема 9
	Если A, то B					Если A, то B
	B					не-A
	A					не-B

Заключения по этим модусам не будут достоверными, в чем можно убедиться, построив для формул пропозициональной логики таблицы истинности. При построении умозаключения по схемам условных умозаключений следует также иметь в виду, что истинность заключения будет гарантирована, если и только если условные посылки будут содержать достаточные основания для следствий.

Разделительные умозаключения

Разделительно-категорическое умозаключение.В разделительно-категорическом умозаключении одна посылка – разделительное (дизъюнктивное) суждение, а другая посылка и заключение – категорические суждения. Разделительно-категорическое суждение имеет два правильных модуса: а) утверждающе-отрицающий (modus ponendo tollens) и отрицающе-утверждающий модус (modus tollendo ponens).

Утверждающе-отрицающий модус (modus ponendo tollens) – это вид разделительно-категорического умозаключения, в котором утверждение одного из членов дизъюнкции влечет отрицание другого. В категорической посылке производится утверждение одной альтернативы разделительного суждения. В заключении отрицаются все остальные альтернативы (схема 10). Формулами данных модусов на языке пропозициональной логики будут соответственно  и .

Схема 10
	Либо A, либо B					Либо A, либо B
	A					B
	не-B					не-A

В данном виде разделительно-категорического умозаключения из истинных посылок следует истинное заключение при условии, что все суждения, входящие в разделительную посылку, исключают друг друга, т. е. дизъюнкция (разделение) является строгой (пример 5). Вывод не будет следовать с необходимостью, если нет строгой дизъюнкции.

Пример 5
	Приговор суда может быть либо обвинительным (A), либо оправдательным (B). Приговор по данному делу был обвинительным(A).
	Приговор по данному делу не был оправдательным (не-B).

Схема 11
	A или B					A или B
	не-A					не-B
	B					A

Отрицающе-утверждающий модус (modus tоllendo ponens) – это вид разделительно-категорического умозаключения, во второй категорической посылке которого производится отрицание всех членов дизъюнкции, кроме одного, истинность которого утверждается в заключении (схема 11). Формулы в языке логики высказываний:  и .

В данном виде разделительно-категорического умозаключения из истинных посылок следует истинное заключение при условии, что в разделительной посылке перечислены все возможные альтернативы, т. е. дизъюнктивная посылка должна быть закрытым (полным) суждением (пример 6).

Пример 6
	Преступление совершил Иванов (A)или Петров (B). Следствием установлена непричастность Иванова(A).
	Преступление совершил Петров (B).

Леммы

Лемматическими (условно-разделительными) умозаключениями называют разновидность дедуктивных умозаключений, основанных на свойствах логики высказываний, в которых как минимум, по крайней мере, две посылки выражены посредством условных высказываний и одна посылка – разделительное высказывание. В переводе с греческого языка лемма – это предложение.

Схема 12
	Если A, то B
	Если C, то D
	A или C
	B илиD

В выводе такого умозаключения утверждается альтернатива, т. е. необходимость выбора только одного из всех возможных вариантов (схема 12 и пример 7). Пропозициональной формулой приведенной в примере леммы будет выражение .

Пример 7
	Если я лягу нормально спать (A), то не подготовлюсь к экзамену (B). Если же я буду готовиться всю ночь (C), то приду на экзамен с головной болью (D). Но мне остается только или ложиться спать (A), или заниматься ночью (C).
	Следовательно, я приду на экзамен неподготовленным (B) или с головной болью (D).

В зависимости от того, сколько следствий содержат условные посылки, леммы подразделяют на дилеммы, трилеммы, кватролеммы и т. д. Таким образом, дилемма – это лемматическое (условно-разделительное) умозаключение с двумя альтернативами. Приведенный пример леммы как раз является дилеммой. Трилемма будет содержать три альтернативы и т. д.

По качеству лемматические умозаключения подразделяются на конструктивные и деструктивные. В условных посылках конструктивной леммы устанавливается возможность нескольких оснований (по числу условных посылок) и вытекающего из них следствия (следствий). В разделительной посылке ограничивается выбор только основаниями условных посылок, а в заключении утверждается следствие. Конструктивная лемма может быть простой или сложной. В простой конструктивной лемме условные посылки содержат общее следствие. В сложной конструктивной лемме следствий может быть, как правило, столько, сколько условных посылок. В условных посылках деструктивной леммы устанавливается, что из одного или нескольких оснований могут вытекать несколько следствий (как правило, по числу условных посылок). В разделительной посылке отрицаются следствия условных посылок, а в заключении отрицается основание (основания). Схемы, а также формулы конструктивных и деструктивных, простых и сложных лемм объединены в таблицу 8.

Таблица 8

	Конструктивная					Деструктивная
1	2					3
Простая		Если A1, то B					Если A, то B1
		Если An, то B					Если A, то Bn
		A1, или …, или An					не-B1,или…, или не-Bn
		B					не-A
Сложная		Если A1, то B1					Если A1, то B1
		Если An, то Bn					Если An, то Bn
		A1, или…, или An					не-B1, или…, или не-Bn
		B1, или…, или Bn					не-A1, или…, или не-An

Безусловно, любая лемма может быть выражена посредством формулы пропозициональной логики. Формула правильно построенной леммы является законом логики:

– пропозициональная формула простой конструктивной леммы:

;

– пропозициональная формула простой деструктивной леммы:

;

– пропозициональная формула сложной конструктивной леммы:

;

– пропозициональная формула сложной деструктивной леммы:

.

---

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 499; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

---

Мы поможем в написании ваших работ!