Логическая форма. Отношение логического следования

Рассуждение как метод познания. Как мы уже упоминали, одна из главных задач логики – исследование приемов мышления, т. е. исследование тех интеллектуальных процедур, которые применяются человеком в процессе познания. Центральное место занимает анализ рассуждения как познавательной операции. Учение о правильных способах рассуждения – это основа логики.

Рассуждение – это процедура обоснования некоторого высказывания путем пошагового выведения его из других высказываний.Логика рассматривает рассуждения
в основном как умозаключение.

Умозаключение – это непосредственный переход от одного или нескольких высказываний  (n = 1, 2, 3, …) к некоторому высказыванию B.

Высказывания  называются посылками, а высказывание В – заключением. В традиционной форме данное высказывание может быть записано так:

.

Если Ваше мнение согласуется с моим, то оно мне неинтересно.

Если Ваше мнение не согласуется с моим, то оно неправильно.

Если Ваше мнение неинтересно или неправильно, то к нему не следует прислушиваться.

К Вашему мнению не следует прислушиваться.

В приведенном примере высказывания, стоящие над чертой, – высказывания, истинность которых предполагается доказанной. Данные высказывания называются посылками. Высказывание, стоящее под чертой, именуется заключением. Последнее представляет собой итог рассуждения. Безусловно, рассуждение может иметь и гораздо более сложную структуру. В свою очередь, посылки могут быть получены путем иных рассуждений и т. д. Различаться может и характер заключения в рассуждениях. Оно может следовать с необходимостью из данных посылок, а может быть проблематичным (предположительным).

Безусловно, формы и приемы интеллектуальной познавательной деятельности не являются предметом исключительно логики. Они изучаются психологией, психолингвистикой и т. д.Но другие науки по большей части изучают интеллектуальную познавательную деятельность в тех формах, в которых она протекает в действительности. Логика при изучении объективно существующих закономерностей и форм мышления пытается ответить на вопрос о том, как следует мыслить (при условии, что мы стремимся получить адекватное и непредвзятое знания об исследуемом объекте). Нормы и правила логики, ее принципы и стандарты, ее критерии носят предписывающий характер.

Рассуждения в логике рассматриваются не только с точки зрения истинности или ложности того заключения, к которому мы приходим, но и с точки зрения правильности или неправильности их построения. Так, приведенный нами пример является правильно построенным, но ложным рассуждением. Это связано с тем, что одна из посылок является ложной (вторая посылка содержит ложное высказывание).

Зачастую мы сталкиваемся с ситуацией, когда неправильно построенное умозаключение может давать, казалось бы, истинное знание. Приведем пример:

А.П. Бородин был химиком или сочинял музыку.

А.П. Бородин сочинял музыку или писал детективные романы.

Известно, что А.П. Бородин не писал детективные романы.

Значит, А.П. Бородин занимался химией.

В данном рассуждении каждая из посылок и заключение являются истинными. Однако из истинности посылок и заключения отнюдь не следует правильность всего рассуждения.

Необходимо помнить следующую аксиому: если каждая из посылок рассуждения истинна, а заключение ложно, то умозаключение заведомо неправильно.Например:

М.Ю. Лермонтов жил в XVIII веке или в XIX веке.

М.Ю. Лермонтов жил в XIX веке или в XX веке.

Неверно, что М.Ю. Лермонтов жил в XX веке.

Следовательно, М.Ю. Лермонтов жил в XVIII веке.

Поскольку все три посылки истинны, а заключение ложно, постольку приведенное умозаключение заведомо неправильно. Однако если мы проведем сравнение приведенных нами умозаключений, то увидим, что, несмотря на различное содержание, они имеют одинаковую форму. Заменив простые высказывания, входящие в состав сложных, латинскими буквами p, q,r, мы можем получить их схему. Для первого рассуждения она будет следующей:

А.П. Бородин был химиком (p) или сочинял музыку (q).	→	p или q
А.П. Бородин сочинял музыку (q) или писал детективные романы (r).	→	q или r
Известно, что А.П. Бородин не писал детективные романы (не-r).	→	не-r
Значит, А.П. Бородин занимался химией.	→	p

Второе рассуждение также может быть сведено к схеме:

М.Ю. Лермонтов жил в XVIII веке (p) или в XIX веке (q).	→	p или q
М.Ю. Лермонтов жил в XIX веке (q) или в XX веке (r).	→	q или r
Неверно, что М.Ю. Лермонтов жил в XX веке (не-r).	→	не-r
Следовательно, М.Ю. Лермонтов жил в XVIII веке (p).	→	p

Следовательно, данные рассуждения имеют одну и ту же логическую форму. Последняя представляет собой языковую конструкцию, в которой все нелогические термины заменены латинскими буквами. Таким образом, форма – это результат отвлечения от содержания рассуждения. Однако в приведенных примерах не происходит абстрагирования от того, с помощью каких логических союзов происходит соединение высказываний между собой. В данном случае мы также абстрагировались от внутреннего строения простых высказываний, входящих в состав сложных. Все это позволило нам установить, что умозаключения, при истинных посылках и одинаковой логической форме, имеют различающиеся по истинности заключения. В первом случае заключение истинно, а во втором случае – ложно. Это означает, что данная логическая форма не гарантирует получения истинного заключения при истинных и содержательно связанных посылках. Отсюда следует, что оба умозаключения являются неправильными.

Умозаключение являетсянеправильным, если и только если (е. т. е.) его логическая форма не гарантирует, что приистинных посылкахмы обязательно получимистинное
заключение. Этот критерий является очень жестким, так как если хотя бы в одном случае логическая форма при истинных посылках даст ложное заключение, она будет считаться неправильной вне зависимости от того, сколько раз заключение оказывалось истинным.

Умозаключение являетсяправильным,если и только если его логическая форма гарантирует, что при истинности посылокмы обязательно получимистинное заключение.Таким образом, правильным будет только то умозаключение, которое при истинных посылках не дает ложного заключения. Если данное условие соблюдается, то говорят о наличии между посылками и заключением отношения логического следования.

Ложное заключение может быть получено:

– если все его посылки истинны, но умозаключение строится с нарушением правил;

– если умозаключение является правильным, но имеется хотя бы одна ложная
посылка;

– если имеется хотя бы одна ложная посылка и вдобавок умозаключение построено с нарушением правил.

Однако во многих случаях невозможно решить вопрос о правильности или неправильности умозаключений без учета внутренней структуры простых высказываний. Например, в следующем умозаключении замена символами простых суждений ничего не скажет нам о его правильности:

Все мафиози (P) – преступники (M).

Некоторые россияне (S) – преступники (M).

Некоторые россияне (S) – мафиози (P).

Посылки, как и заключение, представляют собой простые высказывания. Логическая связь между посылками и заключением в данном случае обусловлена наличием общих терминов. В сущности, на основании отношений множеств S и P к третьему множеству M делается вывод об их отношении друг к другу. Следовательно, для решения вопроса о правильности подобных умозаключений необходим анализ внутренней структуры простых высказываний. Информация, выражаемая посредством нелогических терминов, может утрачиваться без ущерба для анализа правильности. К числу логических терминов в данном случае относятся слова «все», «некоторые», «(не) является», союзы «и», «или» и др. Таким образом, параметрами заменяются не суждения, а нелогические термины в составе простых суждений. С учетом всего этого данное умозаключение схематически может быть изображено следующим образом:

Все P суть M

Некоторые S суть M

Некоторые S суть P

Следовательно, для того чтобы определить, является ли приведенное умозаключение правильным, нам требуется подобрать термины таким образом, чтобы при истинности посылок и при данной форме заключение оказалось бы ложным. Если вместо P подставить «детская шалость», вместо M – «совершаться без злого умысла», а вместо S – «преступление», то получим умозаключение:

Все детские шалости (P) совершаются без злого умысла (M).

Некоторые преступления (S) совершаются без злого умысла (M).

Некоторые преступления (S) – детские шалости (P).

Отсюда следует, что все умозаключения данной формы являются неправильными. Однако умозаключения могут иметь и более сложные формы. Так, в них могут содержаться термины различных категорий. При формулировке критериев правильности и неправильности умозаключений мы использовали понятия логической формы и логического следования.

Логическая форма языкового контекста – это выражение, фиксирующее ту часть содержания контекста, которая остается в результате отвлечения от конкретных содержаний простых суждений или от содержаний нелогических терминов, входящих в данный контекст.

Выявляя логическую форму, необходимо сохранять информацию о типах значений исходных высказываний (терминов), а также о логических связках, соединяющих данные высказывания (термины). Во-первых, способ выявления логической формы зависит от того, является ли необходимым учитывать внутреннюю структуру простых высказываний или нет, и, во-вторых, от того, какие выделяются категории нелогических терминов.

Логическое следование представляет собой, как мы уже успели убедиться, отношение между высказываниями по форме. Если установлено наличие отношения логического следования применительно к формам высказываний, то данное отношение имеет место и между содержаниями высказываний.

Для того чтобы ввести дефиницию логического следования, нам необходимо ввести ряд обозначений. Пусть B – логическая форма некоторого высказывания, а Г–множество логических форм каких-либо высказываний. B и элементы множества Гявляются выражениями, которые содержат параметры и становятся истинными или ложными при интерпретации этих параметров. Исходя из этого можно дать определение логического следования: «Из Глогически следуетВ, если и только если не существует такой интерпретации параметров, входящих в состав Г и В, при которой все выражения из Г принимают значения "истина", а Впринимает значение "ложь"».

Понятие логического закона. Существуют разные способы установления истинности или ложности высказываний (все зависит от концепции истинности: корреспондентная, конвенциональная, когерентная, прагматическая). Однако для определенного класса высказываний вопрос об их значении может быть решен с использованием исключительно логических средств, т. е. на основе анализа их логических форм.

Высказывания, которые являются истинными в силу своей логической формы, называют логически истинными. Такие высказывания также называют логическими законами. Логический закон – это такая логическая форма высказывания, которая принимает значение «истина» при любой интерпретации параметров, входящих в ее состав.

Помимо логических законов, являющихся тождественно-истинными высказываниями, существует тип высказываний, которые называют тождественно-ложными. Опираясь на дефиницию логического закона, их можно определить как высказывания, которые принимают значение «ложь» при любой интерпретации входящих в него параметров. Высказывания, не относящиеся ни к логически истинным, ни к логически ложным, именуются логически недетерминированными, т. е. их значения невозможно установить, пользуясь только логическими средствами. Безусловно, при определении типа логической формы важно учитывать термины и их типы.

Общее представление о логической теории. Понятия логического закона и логического следования являются важнейшими в логике, так как основные задачи последней – выделение и систематизация класса логических законов, что имеет большое значение для выявления форм правильных умозаключений. Для достижения этой цели в современной логике создаются логические теории. Их построение осуществляется с использованием формализованных языков. Они предназначены для точного выражения логических форм высказываний естественного языка, без чего невозможно выделить множества логических законов и форм правильных умозаключений. Естественный язык обладает рядом особенностей, серьезно затрудняющих процедуру точного выражения логических форм:

– отсутствие четких синтаксических критериев правильности построения предложений;

– грамматическая форма высказываний не всегда соответствует логической форме;

– выражения естественного языка многозначны и допускают различные трактовки.

Формализованные языки лишены недостатков естественных, в них имеются четкие и эффективные правила построения логических форм высказываний. Каждое правильно построенное выражение формализованного языка имеет единственно возможную трактовку, т. е. является однозначным.

Построение формализованного языка (логической теории) предполагает последовательное прохождение следующих важных этапов:

1. Сначала строится алфавит, в который включают:

а) логические символы – специальные знаки для логических терминов;

б) нелогические символы – параметры, предназначенные для замещения простых высказываний или нелогических терминов различных семантических категорий;

в) технические символы (скобки, запятые и т. д.).

2. Формулируются правила образования из исходных символов различных типов выражений данного языка (в частности, задается класс формул). Определения выражений всех типов в формализованных языках носит эффективный характер, т. е., пользуясь этими определениями, мы можем однозначно решить вопрос, относится ли некий символ к числу знаков алфавита, и если да, то к какой категории, а для произвольной последовательности символов – является ли она правильно построенной формулой или нет.

3. В рамках формализованных языков строятся логические теории, которые решают следующие задачи:

а) выделяют во множестве формул языка класс формул, представляющих собой логические законы;

б) выделяют во множестве рассуждений, имеющих вид , класс таких переходов, которые являются формами правильных умозаключений.

4. Наконец, строится интерпретация языка. Для каждого вида нелогических символов алфавита указывается, какого типа объекты могут быть сопоставлены в качестве значений. Для каждого вида правильно построенных выражений формализованного языка формулируются правила приписывания им значений при произвольной интерпретации нелогических терминов в их составе. Определяются условия истинности и условия ложности формул различных типов.

Кроме того, логическая теория может быть задана и путем построения логического исчисления.

Язык как знаковая система

1.4.1 Понятие языка. Основные функции

Язык – это знаковая система, предназначенная для фиксации, переработки и передачи информации. Различают естественные и искусственные языки. Первые сформировались в результате длительного исторического процесса как средство общения между людьми. Они лишь отчасти могут быть подвергнуты нормативной регламентации (орфография и орфоэпия). Основными функциями естественных языков являются:

– информационная функция – язык является средством фиксации и хранения информации о мире;

– коммуникативная функция, заключающаяся в том, что с помощью языка осуществляется общение между людьми;

– познавательная функция, которая выражается не только в том, что язык позволяет накопить информацию об окружающем мире, но и в том, что язык является необходимым условием познания;

– экспрессивная функция – язык используется для выражения наших мыслей, чувств, переживаний и т. д., а также посредством языка мы способны оказывать воздействие на других людей.

Выражениям естественного языка присущи:

– универсальность;

– многозначность;

– грамматическая неоднозначность;

– семантическая замкнутость, т. е. отсутствие разделения на объектные языки и метаязыки, а также языки разных порядков, что и создает возможность формулировать средствами языка парадоксальные выражения.

Искусственные языки создаются для решения определенных задач. Иногда выделяют полуискусственные языки. Например, полуискусственным является язык науки, который представляет собой некоторый фрагмент естественного языка, обогащенный специальной терминологией, а также использующий однозначные термины, правила, выражения. Особая разновидность научных языков – формализованные языки. Они представляют собой языки с точно заданными правилами образования их выражений и правилами преобразования одних выражений в другие.

С логической точки зрения, существенным представляется разделение языка-объекта и метаязыка. Объектныйязык – это язык, который является предметом исследования, ас помощью метаязыка изучается объектный язык.Существенным также является деление формализованных языков на уровни. Так, в логике все предметы распределяются по порядкам (уровням бытия). К нулевому порядку принадлежат индивиды – предметы, лежащие в основе наших утверждений и образующие универсум рассуждения (область рассмотрения). К первому порядку будут относиться признаки индивидов, т. е. свойства индивидов и отношения между ними. Ко второму порядку – признаки признаков, т. е. свойства и отношения, присущие свойствам индивидов и отношениям между ними.

Таким образом, все логические теории подразделяются по порядкам, в зависимости от типа предикатов, которые в них используются. Язык исчисления предикатов первого порядка позволяет формулировать утверждения об объектах нулевого порядка (индивидах); язык исчисления предикатов второго порядка – утверждения об индивидах и признаках, которыми обладают индивиды, т. е. об объектах нулевого и первого порядка.

Для науки главной функцией языка является ее познавательная функция. Здесь к языку предъявляются особо жесткие требования относительно его точности и ясности выражения информации, строгости оперирования с ней.

Знак и знаковая ситуация. Знакомназывают объект, который для некоторого интерпретатора (субъекта) выступает в качестве представителя какого-то другого объекта. В качестве интерпретатора может выступать отдельный человек, группа людей или некоторое сообщество. Основная функция знака состоит в том, что он представляет (репрезентирует)какой-то объект. Ситуация употребления знака (знаковая ситуация) включает три элемента: 1) сам знак; 2) предмет, репрезентируемый знаком (значение);
3) интерпретатора, использующего знак. Если один из компонентов отсутствует, то знак перестает быть знаком.

В зависимости от характера отношений знака к обозначаемым объектам выделяют:

– знаки-образы, представляющие собой в большей или меньшей степени похожие на обозначаемый объект изображения;

– знаки-индексы – это знаки, связанные с репрезентируемым объектом причинно-следственными отношениями, т. е. знак в этом случае порождается своим значением;

– знаки-сигналы – это знаки, которые связаны со своими значениями ситуационно, т. е. являющиеся знаками только в некоторой ситуации, извещая нас о ее наступлении;

– знаки-символы – это знаки, выступающие в качестве средства общения между людьми.

Значение и смысл знаков. Кроме отношения репрезентации между знаком и обозначаемым объектом существует информационное отношение. В силу этого со знаком необходимо связать две особые характеристики – смысл и значение.

Значением знака(экстенсионалом) называют предмет, представляемый (репрезентируемый) данным знаком. Смыслом знака(интенсионалом) называют ту информацию о репрезентируемом предмете, которую содержит сам знак или которая связана с этим знаком в процессе общения или познания. Связь данных характеристик со знаком может быть представлена в виде семантического треугольника (рис. 1).

Рис. 1. Семантический треугольник

Синтаксис, семантика и прагматика языка. Язык имеет три аспекта: синтаксический, семантический и прагматический. Наличие этих аспектов связано с выделенными нами компонентами знаковой ситуации.

Синтаксический аспект включает отношения знаков друг к другу, способы комбинирования, образования сложных языковых конструкций, способов преобразования одних языковых комбинаций в другие и т. п.

Под семантическим аспектом понимают отношения между знаками и обозначаемыми предметами, т. е. речь идет об отношении между смыслами и значениями знаков. При этом абстрагируются от отношений знаков к носителям языка (интерпретаторам). Основными задачами семантического анализа является выделение различных категорий (типов) знаков в зависимости от их значений и смыслов.

Прагматический аспект языка содержит многообразные отношения между знаками и интерпретаторами, использующими эти знаки. Главная задача прагматического анализа знаковой ситуации – установление зависимости значения и смысла знака от особенностей интерпретатора и внеязыкового контекста, сопутствующего употреблению данного знака.

Таким образом, с точки зрения логики, язык как система представляет собой систему знаков, связанных между собой определенными синтаксическими отношениями, находящимися в семантических отношениях к объектам внелингвистической действительности, а также в прагматических отношениях к субъектам (интерпретаторам),
использующим эти знаки.

Категориальный анализ языка

Построение любого языка, как мы уже выяснили, начинается с задания алфавита этого языка. Выражением языка называется любая конечная линейно упорядоченная последовательность тех знаков, которые входят в состав алфавита этого языка, дополненная знаками пунктуации и знаком пробела между словами. Выражения языка могут быть подразделены на категорематические и синкатегорематические. Под первыми подразумевают такие выражения языка, которые сами по себе имеют определенное значение. Выражения второго типасами по себе не имеют значения, но входят в состав выражений, выполняя при этом определенную техническую роль. С семантической точки зрения, все выражения языка могут быть подразделены на категории (рис. 2).

Рис. 2. Семантические категории

Обычно в логике строятся сложные конструкции двух семантических типов – предложения и имена. Предложение– это знаковая форма выражения суждений, вопросов или императивов.Суждение – мысль, в которой утверждается или отрицается наличие некоторой ситуации в мире. Вопрос– мысль, в которой выражается желание восполнить свои знания недостающей информацией или уточнить имеющиеся знания.Императив – мысль о необходимости совершить некоторое действие или воздержаться от него.

В зависимости от того, какой тип мысли выражают предложения, они делятся на декларативные (повествовательные), интеррогативные (вопросительные) и императивные (побудительные). Предложение – это материальная оболочка, заключающая
в себе суждение (вопрос, императив). Конструкция, включающая предложение совместно с суждением и истинностным значением, называется высказыванием (пропозицией).

Термины – это части предложений, имеющие значения определенного типа, которые сами не являются предложениями. Термины бывают дескриптивными (нелогическими)и логическими. Нелогические термины формируют конкретное содержание мысли, указывают на предмет мысли или на то, что утверждается или отрицается относительно некоторого предмета; выражают наиболее общие связи между предметами, их множествами или ситуациями. Различают три категории нелогических терминов: имена, предикаторы и предметные функторы.

Имя – это слово или словосочетание, которое внутри некоторого контекста употребления обозначает ровно один предмет.Значения имен называются денотатами (референтами). Между именем и его денотатом существует отношение именования.

Предикатор – это знак, выражающий свойства или отношения.Знаки свойств выражаются посредством одноместных предикаторов, а знаки отношений – многоместных предикаторов. Значением (экстенсионалом) предикатора является некоторое множество: значением одноместного предикатора – множество отдельно взятых объектов,
а многоместного предикатора (в зависимости от его местности) – множество пар, троек и т. п. объектов. С интенсиональной точки зрения, свойства и отношения ассоциируются с некоторым признаками предметов, отличающими данные предметы от всех других, т. е. предикаторы – онтологическая основа обобщения объектов в некоторый класс.

Предметные функторы – это знаки предметно-функциональных качественных и количественных характеристик предметов.К числу предметных функторов относятся выражения:

- обозначающие математические операции;

- обозначающие физические величины;

- задающие специфические качественные характеристики предметов («цвет предмета», «национальность человека», «столица какого-нибудь государства» и др.).

Логические термины в языковом выражении задают логику оперирования с этим выражением. Они подразделяются на предицирующие связки, операторы и пропозициональные связки. К числу предицирующих связок относятся такие слова, как «есть» и «не есть», а также аналогичные им слова и выражения.

Операторы в свою очередь делятся на кванторы и дескрипторы. К числу кванторов относятся квантор общности и квантор существования. Кванторы обозначаются знаками:  – квантор общности и  – квантор существования.

К числу дескрипторов относятся: оператор определенной дескрипции – (йота-оператор) – «тот самый, единственный предмет, который ...»; оператор неопределенной дескрипции – «этот (данный) предмет, который ...», обозначаемый знаком (эпсилон-оператор); оператор множественности – «множество предметов таких, что ...», обозначаемый знаком W; оператор абстракции – «признак (функция) такой (такая), что ...», обозначается знаком λ (лямбда-функция).

К числу пропозициональных (логических) связок относят такие слова и словосочетания естественного языка, как «и», «если ..., то ...», «или», «если и только если ..., то ...», «неверно, что ...» и эквивалентные им.

Среди языковых выражений, с точки зрения логического анализа, следует в первую очередь выделить константы, переменные и параметры. Константы – знаки, значение которых не меняется при переходе от одного контекста к другому.

Параметры– знаки, имеющие одно и то же значение внутри некоторого контекста их использования, хотя при переходе к другому контексту их значения могут меняться.

Переменные– знаки, значение которых изменяется внутри одного и того же контекста. С каждой переменной связывается некоторый класс предметов – область возможных значений переменной. Переменная «пробегает» по данной области и при этом последовательно один за другим обозначает различные предметы, входящие в данную область. Переменные (в логике) могут вводиться для всех семантических категорий.
В основном переменные используются в отношении имен и предложений. Логические термины чаще всего рассматриваются как логические константы. Введем следующие соглашения относительно обозначений переменных:

– x,y, z, х₁, y₁, z₁ и т. д. – индивидные переменные (вместо них можно подставлять имена предметов из некоторой выбранной области возможных значений этих переменных);

– p,q,r, s,p₁,q₁, r₁, s₁ и т. д. – пропозициональные переменные (вместо них разрешается подставлять конкретные предложения).

Все осмысленные выражения языка, с точки зрения синтаксического аспекта, подразделяются на простые и сложные. Выражение называется простым, если в его составе нет частей, которые могут рассматриваться как самостоятельные выражения того же типа. Выражение называется сложным, если в его составе имеются такие части, которые могут рассматриваться как самостоятельные категории того же типа.

В языке все другие выражения строятся из простых составляющих. К числу последних относятся собственные имена, индивидные переменные, предметные функторы, предикаторы, пропозициональные переменные и логические термины. Из них строятся более сложные языковые конструкции, такие как имена и предложения.

Именные и высказывательные формы бывают двух видов: замкнутые и незамкнутые. Незамкнутые выражения – это выражения, в состав которых входят переменные, если говорить нестрого, т. е. это либо сами индивидные переменные, либо выражения, образуемые за счет сочленения (конкатенации) индивидных переменных с предметными функторами.

Значение имен называется денотатом. Имена могут нести определенную информацию о своих денотатах. Содержание имен называется индивидным концептом. Последнее индивидуализирует предмет, обозначенный именем (рис. 3). Значение имен всегда релятивизировано относительно той или иной области (множества) объектов. С этой точки зрения все имена делятся на действительные (непустые) и мнимые (пустые).

Рис. 3. Знаковая характеристика имени

Имя является действительным относительно некоторого множества предметов, если его денотат содержится в этом множестве. Имя является мнимым относительно некоторого множества предметов, если денотат имени не содержится в этом множестве.

Смыслы имен подразделяют на собственные и приданные. С синтаксической точки зрения, все имена подразделяются на простые и сложные. Сложные имена образуются из простых за счет сочленения с предметными функторами разной местности. Такие имена называются функциональными именами. Кроме того, сложными также являются описательные имена. К их числу относятся те имена, которые строятся из ненасыщенных высказывательных форм с помощью дескрипторов.

Значением декларативного предложения могут быть два абстрактных объекта – «истина» и «ложь». Смыслом его является суждение (рис. 4). Все предложения делятся на простые и сложные. Простое единичное предложение порождается путем сочленения предикатора с именем.

В каждом простом предложении выделяют два логических термина: субъект (логическое подлежащее) и предикат (логическое сказуемое). Субъект простого предложения – это простое или сложное выражение, обозначающее тот объект, о котором нечто говорится в данном предложении. Предикат – это выражение, обозначающее то, что утверждается или отрицается об объекте, обозначаемом субъектом данного предложения.

 

Рис. 4. Значение и смысл предложения

Имена играют роль субъектов, а незамкнутые высказывательные формы – роль предикатов. Однако простые предложения можно строить не только сочленяя предикатор с именем, но и сочленяя предикатор с предикатором. Построенные таким способом предложения называются простыми множественными предложениями. Когда субъекты выражены предикаторами, требуется обязательно употребить тот или иной квантор. Сложные предложения образуются из простых при помощи пропозициональных связок. Они подразделяются на конъюнктивные, дизъюнктивные, импликативные, эквивалентные и отрицательные (с внешним отрицанием).

В современной логике сформулирован ряд принципов, которые нейтрализуют негативные эффекты указанных выше недостатков естественного языка при его использовании в познавательных целях.

1. Принцип однозначности: каждый знак внутри некоторого контекста должен употребляться ровно в одном значении.Этот принцип не запрещает использование многозначных выражений, но требует четкой фиксации значений используемых знаков и указывает на недопустимость их произвольного изменения в рамках одного контекста. Данный принцип выражает сформулированный в традиционной логике закон тождества.

2. Принцип предметности: употребляя знаки, говорят не о знаках, а об их значениях.Переход к метаязыку связан с требованием, чтобы в нем в обязательном порядке имелись имена для тех лингвистических конструкций, которые содержит язык-объект. Общим методом получения таких имен является закавычивание соответствующих выражений языка-объекта (кавычечные имена).

3. Принцип взаимозаменимости: если выражения А и В являются равными по значению (А=В), то контекст К, содержащий знак А, равен по значению этому же контексту, в котором знак А заменен на знак В, т. е. еслиА=В, тоК(А)=К(А:В),
где К(А) – контекст, содержащий А, а К(А:В) – тот же контекст с заменой вхождений А(не обязательно всех) на В.

Однако последний принцип может вызвать затруднения. Дело в том, что иногда, употребляя знаки, мы говорим о предметах, охарактеризованных тем или иным образом. Причина невыполнения принципа взаимозаменимости для целого ряда контекстов состоит в том, что в этих контекстах оказываются существенными не только экстенсиональные, но и интенсиональные характеристики языковых выражений, т. е. оказывается важным не только то, что обозначают те или иные выражения, но и как они это делают. Те контексты, в которых принцип взаимозаменимости выполняется, называются экстенсиональными контекстами. Те же контексты, для которых этот принцип не выполняется, называются интенсиональными контекстами. Более точно их определение звучит так: контекст К(А)называется экстенсиональным относительно выражения, аконтекстК(А)называется интенсиональным относительно выражения,где знаки с надстрочными точками – это метазнаки квантора общности, квантора существования, материальной импликации и конъюнкции, а « » – метаязыковой знак материальной эквиваленции.

К числу интенсиональных относятся так называемые модальные контексты, содержащие логические константы «необходимо», «возможно», «случайно» и другие модальные операторы, а также контексты с косвенной речью, контексты мнения, содержащие эпистемические логические константы типа «знает, что ...», «считает, что ...» и другие.

Функциональный анализ языка

Множества и кортежи. Рассмотренная типология знаков языка страдает отсутствием четких и единообразных оснований для их классификации. Функциональный анализ позволяет все выражения трактовать либо как знаки функций, либо как знаки их аргументов.

Функциональный анализ языка опирается на ряд основополагающих понятий теории множеств – универсальной общеметодологической теории. Основным является понятие множества (класса), которое представляет собой объект, образованный за счет мысленного собирания в единое целое каких-либо предметов, в том числе и самих множеств. Множества полностью характеризуются теми предметами, которые в них собраны. Чтобы задать множество, достаточно тем или иным способом указать каждый элемент (предмет), содержащийся в нем. Факт вхождения предмета ив множество М выражается записью « » (отношение принадлежности элемента классу), а факт невхождения – « ». В логике множества изображают графически с помощью так называемых кругов Эйлера, а элементы множеств – точками.

Множество может быть задано тремя способами:

1) перечислительно – списком элементов, если число элементов конечно и практически легко обозримо. Списки, задающие множества, заключаются в фигурные скобки, например: {u₁, u₂, u₃};

2) аналитически – посредством некоторого признака, присущего всем его и только его элементам. Например, фраза «множество чисел таких, что они делятся на 2» задает множество четных чисел и записывается так: ;

3) алгоритмически – некоторым конструктивным процессом (алгоритмом), порождающим из одних элементов множества другие его элементы. Например: а) 1 – натуральное число; б) если n есть натуральное число, то n + 1есть натуральное число; в) ничто, кроме указанного в пунктах а и б, натуральным числом не является.

Множества различаются между собой по мощности, т. е. по количеству входящих в них элементов. По мощности множества делятся на пустые (обозначаются знаком
«») и непустые. Непустые множества бывают конечными и бесконечными. В теории множеств различают сам объект u и одноэлементное множество {u}. Бесконечные множества бывают разной мощности. Наименьшими по мощности являются счетные множества – множества, элементы которого можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с натуральными числами, т. е. каждому элементу такого множества можно присвоить свой собственный номер. Все остальные множества являются несчетными.

Множества могут находиться в различных отношениях друг к другу. Если каждый элемент множества M₁ является одновременно и элементом множества M₂,
т. е. справедливо утверждение , то говорят, что M₁ является подмножеством M₂.Это отношение называют отношением включения и обозначается так: . Из данного определения следует:  и . Пустое множество и само множество Mназывается несобственным подмножеством множества M. Остальные подмножества называются собственными (правильными) подмножествами множества М. Если множества М₁ и М₂ включаются друг в друга, то для них справедливо отношение равенства:  или . Если множество М₁ (вид)включается в множество М₂ (род), но не наоборот, то говорят
о строгом включении: .

Кроме этих трех отношений существуют и другие виды отношений между множествами, а также операции над множествами: сложение, умножение, деление и возведение в степень, а также декартово произведение множеств.

Операцией степени называется операция, которая по произвольному множеству М порождает все его подмножества:.Если М – конечное n-элементное множество, то чтобы образовать множество всех его подмножеств, надо собрать в один класс все нульэлементные, одноэлементные, …, n-элементные подмножества, которые могут быть образованы из элементов множества М.

Кортеж – линейно упорядоченная последовательность предметов. В кортеж один и тот же элемент может входить несколько раз. Для обозначения кортежа используются угловые скобки. Например, <u₁, u₂, u₁, u₁> обозначает кортеж, представляющий собой четверку элементов. Каждый элемент, входящий в кортеж на определенном месте, называется компонентой.

Кортежи бывают пустыми и непустыми (конечными). Пустой кортеж – это кортеж, не содержащий ни одной компоненты, его длина равна 0 («<>»). Конечные кортежи бывают однокомпонентными, двухкомпонентными и т. д. Для однокомпонентного кортежа выполняется условие: <u> = u.

Два кортежа ,если и только если выполняются следующие условия:

– ,т. е. оба кортежа имеют одинаковое количество компонент (одинаковую длину);

– , т. е. какие бы i-е компоненты обоих кортежей мы не взяли, должно быть верно, что эти компоненты обоих кортежей представляют собой один и тот же элемент – .

Все выражения естественных языков представляют собой конечные линейно упорядоченные последовательности букв алфавита, поэтому к ним применимо все, что говорится о кортежах. Равенство указанного типа называется графическим равенством и будет обозначаться знаком « ».

Декартовым произведением двух множествМ₁ иМ₂ ( )называется множество всех возможных пар<x, y > таких, чтоxявляется элементом первого множества, аy– элементом второго множества, т. е.

.

Порядок перемножения множеств значим. Аналогично можно ввести операцию декартова произведения трех, четырех и вообще n множеств.

Декартовым произведением n множеств  является множество  всех упорядоченныхn-значений  таких,что
x₁ – элемент первого множества,x₂ – элемент второго множества,…,x_n – элементn-го множества, т. е.

.

Когда некоторое множество М перемножается n раз само на себя, декартово произведение обозначается выражением Mⁿи называется n-й декартовой степенью множества М.

Теоретико-множественная трактовка свойств и отношений.Термины «свойства» и «отношения» при их экстенсиональном понимании трактуются как некоторые множества.

СвойствомR, заданном на множестве М, называется любое подмножество множестваМ, т. е..

ОтношениемR, заданным на множествах,является любое подмножество декартова произведения, т. е. .

Если некоторый кортеж длины  декартова произведения является элементом подмножества R, что записывается как , то говорят о том, что переменные  находятся в отношении R, что записывается так: . В случае, когда Rявляется подмножеством декартовой степени Mⁿ, т. е. , говорят, что R задано на множестве М. Если , где М¹– первая декартова степень множества М, то в силу соответствия <u> = u, т. е. . В этом случае R является свойством, заданным на множестве М.

Если хотя бы одно из множеств  заменяется другим множеством, мы имеем дело с другим отношением. При употреблении предикатора, выражающего отношение, необходимо каждый раз уточнять, на каких конкретно множествах оно задано. Для любых двух n-местных отношений R₁и R₂(n = 1, 2, …) справедливо:

.

Свойства двухместных отношений. Пусть R будет двухместным отношением, заданным на множестве A, а индивидные переменные x, y и z пробегают по этому множеству. Будем тогда говорить, что:

– R рефлексивно, е. т. е. ;

– R антирефлексивно, е. т. е. ;

– R нерефлексивно, е. т. е. ;

– R симметрично, е. т. е. ;

– R несимметрично, е. т. е. ;

– R асимметрично, е. т. е. ;

– R антисимметрично, е. т. е. ;

– R транзитивно, е. т. е. .

На основе этих отношений можно ввести отношения равенства и порядка. R – отношение равенства, если и только если R обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. R – отношение порядка, если и только если R антирефлексивно, асимметрично и транзитивно.Множество, на котором задано отношение порядка, называется упорядоченным множеством.

Элемент xмножестваМназывают наименьшим, если для любогоy Î М, не совпадающего сx, верно, чтоx <y.

Порядок на множествеМ, заданном отношениемR, называется линейным, если любые два несовпадающие элементаМсравнимы, т. е. для них верна запись:  или . Про множество в этом случае говорят, что оно линейно упорядочено или является цепью.

Упорядоченное множествоМназывается деревом, если: 1) из того, что y < xиz < x,следует, чтоyиzсравнимы; 2) в множествеМсуществует наименьший элемент, называемый корнем дерева.

Функции. Для логики большое значение имеет понятие функции, которое позволяет уточнить смысл ряда семантических категорий: n + 1-местное отношение,заданное на декартовом произведении,называется функциональным отношением, если и только если для каждого упорядоченного множества объектов  существует ровно один предмет  такой, что.

Более распространенным является нестрогое определение функции: n-местная функция f есть отображение, которое каждому элементу множества  ставит в соответствие ровно один элемент множества М.

При этом декартово произведение  называется областью определения n-местной функцииf, а множество М – областью ее значений. Каждое М_iявляется областью возможных значений переменнойx_i. Элементы x₁, x₂, …, x_nназываются аргументами функции f; а y – значением функции при данном наборе аргументов и обозначается выражением вида . Таким образом, можно вывести зависимость:

.

Таким образом, функция – это всюду определенное и однозначное отображение. Информацию о наличии отображения элементов множества  в множество М принято записывать в виде .

В случае отображения множества Mⁿв множество М, т. е. когда возможные области изменения каждого из аргументов совпадают между собой, а также с областью значений, эта информация записывается в форме. Тогда говорят, что функция f является операцией, заданной на множестве М.

Элементы области определения функции в зависимости от ее местности могут быть либо отдельно взятыми объектами или же кортежами разной длины. Местность функции определяется длиной кортежей, которые входят в область определения соответствующей функции. Неопределенноместная функция – это функция, область определения которой в разных случаях состоит из кортежей разной длины. Функции f₁ и f₂являются равными друг другу, если у них совпадают области определения и значения,
а также на одинаковых наборах аргументов они принимают одинаковые значения.

Из всего вышесказанного следует, что задать некоторую функцию – значит: 1) задать область определения функции, 2) задать область ее значения и 3) указать, какие элементы из области определения и области значения связываются этой функцией.

Функция может быть задана графически, таблично, аналитически. Наиболее распространенным является последний способ. В последнем случае формулируется некоторое правило, согласно которому элементам области определения функции сопоставляются элементы области значения функции. Это правило выражается в языке конструкцией вида , состоящей из знака функции (функтора) и переменных, причем с каждой переменной  связано свое множество (область пробега соответствующей переменной), а сами элементы этих множеств называются возможными значениями аргументов функции. Данная конструкция называется аналитическим представлением функции.

При аналитическом задании функции с помощью выражений  важным оказывается различение фиктивного и существенного вхождения переменных
в это значение. Переменная  входит в выражение  фиктивно, если любое изменение ее значений, которые она может принять в множествеМ_i,не влияет на изменения значения всего выражения. В противном случае переменная x_i 
входит в выражение  существенно. Зачастую аналитический способ предполагает формулирование некоторого правила, согласно которому элементам области определения функции сопоставляются элементы области значения функции.

Функции можно подразделить на виды в зависимости от того, какого типа объекты являются их возможными аргументами и возможными значениями. С точки зрения логики, значимым представляется подразделение объектов на индивиды и истинностные оценки. С учетом этого можно выделить предметно-предметные, (аргументы и значения – индивиды), предметно-истинностные (аргументами являются предметы, а значениями – истинностные оценки) и истинно-истинностные (аргументы и значения – истинностные оценки) функции. Последние два вида функций называют логическими.

Если проанализировать с точки зрения функционального подхода семантические категории естественного языка, то можно констатировать факт, что предметными функторы, предикаторы и логические константы – знаки функций.

Предметные функторы – это знаки предметно-предметных функций различной местности, а имена – это знаки нульместных предметно-предметных функций. Предметно-предметные функции выражаются посредством именных форм, т. е. такими выражениями, в результате подстановки в которые вместо предметных знаков имен получается новое имя.

Предикаторы – знаки предметно-истинностных функций различной местности,
а предложения – нульместных истинностных функций.Предметно-истинностные функции выражаются высказывательными формами.

Пропозициональные связки – это знаки истинностно-истинностных функций
различной местности.В классической логике к истинностно-истинностным функциям относят все функции вида . Функции этого вида называются булевыми функциями. К ним относятся конъюнкция (  – соединительная связка «и»),
дизъюнкция (  – разделительная связка «или»), импликация (  – условная
связка «если ..., то ...»), эквиваленция (  – связка «если и только если ..., то ...»)
и отрицание (  – унарная связка «неверно, что ...»). Однако необходимо помнить, что истинностно-функциональными являются далеко не все пропозициональные связки. Перечисленные связки трактуются в логике экстенсионально. Последовательная конъюнкция, релевантная импликация, модальные операторы (  – возможно,
 – случайно,  – необходимо) и другие связки не относятся к числу истинностно-функциональных знаков.

---

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 1008; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!