Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей

Определения

Рассмотрим некоторое произвольное поперечное сечение стержня (рис. 3.1), площадь которого равна А. Выделим малую площадку dА, центр которой имеет координаты z и y и находится на расстоянии ρ от начала координат. Ось Оx направлена вдоль стержня и здесь не показана.

Рис 3.1. К определению геометрических характеристик поперечного сечения стержня

Геометрическими характеристиками сечения будут являться следующие интегралы.

1. Площадь сечения (см², м²):

(3.1)

2. Статические моменты площади сечения относительно осей Oz и Оy (см³, м³):

(3.2)

3. Осевые моменты инерции сечения относительно осей Oz и Oy (см⁴, м⁴):

(3.3)

4. Центробежный момент инерции сечения относительно осей Oz и Oy (см⁴, м⁴):

(3.4)

5. Полярный момент инерции сечения относительно полюса O (см⁴, м⁴):

(3.5)

Так как , то

Осевые J_z и J_y и полярный J_p моменты инерции всегда положительные, так как под знаком интеграла находятся координаты во второй степени. Статические моменты S_z и S_y, а также центробежный момент инерции J_zy могут быть как положительными, так и отрицательными.

В сортаменте прокатной стали для уголков приводятся значения центробежных моментов по модулю. В расчет следует вводить их значения с учетом знака.

Для определения знака центробежного момента уголка (рис. 3.2) мысленно представим его в виде суммы трех интегралов, которые вычисляются отдельно для частей сечения, расположенных в четвертях системы координат. Очевидно, что для частей, расположенных в I и III четвертях будем иметь положительное значение этого интеграла, так как произведение zydA будет положительным, а интегралы, вычисляемые для частей, расположенных во II и IV четвертях будут отрицательными (произведение zydA будет отрицательным). Таким образом, для уголка на рис. 3.2,а значение центробежного момента инерции будет отрицательным.

a)	б)
Рис 3.2. Определение знака центробежного момента инерции

Рассуждая подобным образом для сечения, имеющего хотя бы одну ось симметрии (рис. 3.2,б) можно прийти к заключению, что центробежный момент инерции J_zy равен нулю, если одна из осей (Оz или Оy) является осью симметрии сечения. Действительно, для частей треугольника, расположенных в 1 и 2 четвертях центробежные моменты инерции будут отличаться только знаком. Тоже можно сказать относительно частей, которые находятся в III и IV четвертях.

Статические моменты. Определение центра тяжести

Вычислим статические моменты относительно осей Оz и Оy прямоугольника, показанного на рис. 3.3.

Рис 3.3. К вычислению статических моментов

Тот же результат дают следующие формулы:

(3.6)

Здесь: А – площадь сечения, y_C и z_C – координаты его центра тяжести. Центр тяжести прямоугольника находится на пересечении диагоналей.

Очевидно, что, если оси, относительно которых вычисляются статические моменты, проходят через центр тяжести фигуры, то его координаты равны нулю (z_C = 0, y_C = 0), и, в соответствии с формулой (3.6), статические моменты также будут равны нулю. Таким образом, центр тяжести сечения – это точка, обладающая следующим свойством: статический момент относительно любой оси, проходящей через нее, равен нулю.

Формулы (3.6) позволяют найти координаты центра тяжести z_C и y_C сечения сложной формы. Если сечение можно представить в виде n частей, для которых известны площади и положение центров тяжести, то вычисление координат центра тяжести всего сечения можно записать в виде:

(3.7)

Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей

Пусть известны моменты инерции J_z, J_y и J_zy относительно осей Oyz. Необходимо определить моменты инерции J_Z , J_Y и J_ZY относительно осей O₁YZ, параллельных осям Oyz (рис. 3.4) и отстоящих от них на расстояния a (по горизонтали) и b (по вертикали)

Рис 3.4. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей

Координаты элементарной площадки dA связаны между собой следующими равенствами: Z = z + a; Y = y + b.

Вычислим моменты инерции J_Z, J_Y и J_ZY.

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Если точка O пересечения осей Oyz совпадает с точкой С – центром тяжести сечения (рис. 3.5) статические моменты S_z и S_y становятся равными нулю, и формулы упрощаются

Рис 3.5. Оси Oyz проходят через центр тяжести сечения

(3.11)

Представим, что сечение состоит из n частей и нам нужно найти моменты инерции относительно центральных осей. Учитывая, что a_i и b_i равны, соответственно, координатам центров тяжести каждой фигуры Z_i и Y_i в системе центральных осей, формулы приобретают следующий вид

;

(3.12)

Отметим, что координаты Y_i и Z_i нужно брать с учетом знаков. На осевые моменты инерции знаки координат не повлияют (координаты возводятся во вторую степень), а вот на центробежный момент инерции знак координаты окажет существенное влияние (произведение Z_iY_iA_i может оказаться отрицательным).

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 2068; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!