Свойства определенного интеграла
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
;
6) Если 
, то 
;
Если 
, то 
.
Следствие. Если 
, то 
.
7) Если f(x) непрерывна на [a, b], m, M- ее соответственно наименьшее и наибольшее значение на [a, b], то справедлива оценка
8) (Теорема о среднем) . Если f(x) непрерывна на [a, b], то существует хотя бы одна точка 
такая, что
Формула Ньютона-Лейбница
Пусть f(x) – непрерывна на [a, b], F(x) – первообразная функции f(x) на [a,b], тогда определенный интеграл равен приращению первообразной (т.е. неопределенного интеграла) на этом отрезке:
Примеры
1) 
;
2) 
Интегрирование по частям
(см. интегрирование по частям в разделе "Неопределенный интеграл")
Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид
Пример.
Замена переменной в определенном интеграле
Теорема. Пусть f(x) непрерывна на [a, b], введем подстановку 
. Если
1) 
непрерывны при 
,
2) при изменении t от 
до 
, функция 
изменяется от a до b, 
, то справедлива формула замены переменной:
Пример (см. задание 2):
Вычисление площадей плоских фигур
– площадь криволинейной трапеции.
Площадь фигуры, ограниченной линиями 
, находим по формуле
Эта формула остается справедливой при любом расположении рассматриваемой фигуры.
Пример (см. задание 3):
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 
, 
.
|
|
|
1) Найдем точки пересечения данных кривых.
;
;
;
; 
.
2) Построим графики данных функций.
(для прямой )
(парабола 
).
4 Дифференциальные уравнения
Основные понятия
1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные:
.
2. Наивысший порядок производной искомой функции, входящей в ДУ, называется порядком ДУ.
3. Решить ДУ – это значит найти все функции, которые ему удовлетворяют, т. е. при подстановке их в уравнение, оно обращается в тождество.
4. Нахождение решений ДУ называется интегрированием ДУ, график решения ДУ называется интегральной кривой.
Дифференциальные уравнения 1 порядка
ДУ первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную:
или в явном виде
| (1) |
Теорема Коши. Если в уравнении (1) функции 
, 
определены и непрерывны в некоторой области изменения переменных x и y , то какова бы ни была внутренняя точка 
этой области, ДУ имеет единственное решение y=y(x) , удовлетворяющее начальным условиям
| (2) |
Геометрически это означает, что через каждую внутреннюю точку проходит единственная интегральная кривая.
|
|
|
Определение . Функция y=y(x, С), зависящая от аргумента и произвольной постоянной С, называется общим решением ДУ, если
1) при любых значениях С функция y =y(x, С) является решением уравнения (1);
2) Какова бы ни была точка , существует единственное значение постоянной 
такое, что 
– есть решение (1), удовлетворяющее начальным условиям (2).
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 165; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!