Случай 1.Система устойчива в разомкнутом состоянии
Лабораторная работа № 8. Частотные критерии устойчивости (Михайлова, Найквиста).
Время выполнения работы: 2 часа
Цель работы: изучить частотные критерии устойчивости (Михайлова, Найквиста) и научиться их использовать.
Содержание:
· Цель работы
· Краткие сведения из теории
· Критерий устойчивости Михайлова
· Критерий устойчивости Найквиста.
· Задание
· Отчет по лабораторной работе
· Контрольные вопросы
Краткие сведения из теории:
Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости систем автоматического управления по их частотным характеристикам. Эти критерии являются графоаналитическими и получили широкое распространение, так как позволяют сравнительно легко исследовать устойчивость систем высокого порядка, а так же имеют простую геометрическую интерпретацию и наглядность.
Мы рассмотрим два частотных критерия устойчивости: критерий Михайлова и критерий Найквиста.
Критерий устойчивости Михайлова
Критерий устойчивости Михайлова относится к частотным критериям и используется для исследования устойчивости замкнутых систем. Рассмотрим замкнутую систему управления структурная схема которой имеет вид
Пусть передаточная функция разомкнутой системы равна
и пусть 
– степень полинома 
, 
– степень полинома 
.
Передаточная функция замкнутой системы
|
|
|
.
Полином 
- имеем степень -степень полинома
.
Составим характеристический полином замкнутой системы
. (1)
Если подставим в 
, то получим комплексное число
.
В последнем равенстве выделим действительную и мнимую части комплексного числа:
, (2)
где
. (3)
На плоскости 
и 
комплексное число 
изображается вектором 
(см. рис. 2). При из изменении частоты 
от 0 до 
вектор изменяется по величине и направлению. Конец вектора в комплексной плоскости описывает некоторую кривую, которая называется годографом Михайлова.
Формулировка критерия Михайлова.
Для того, чтобы замкнутая система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до , начинался при 
на вещественной положительной полуоси, обходил последовательно квадрантов координатной плоскости против часовой стрелки, где - порядок характеристического полинома.
Заметим, что для устойчивых систем автоматического управления годограф Михайлова начинается при на вещественной положительной полуоси, поскольку, поскольку 
все коэффициенты характеристического полинома положительны и 
.
|
|
|
Кроме того, для устойчивых систем фаза 
с ростом частоты должна возрастать монотонно, т.е. вектор должен поворачиваться только против стрелки, поскольку с ростом частоты монотонно возрастают имеющие одинаковые знаки фазы элементарных векторов 
,являющиеся слагаемыми вектора .
Кривая Михайлова для устойчивых систем всегда плавную спиралевидную форму, причём конец её ( 
) уходит в бесконечность в том квадранте координатной плоскости, номер которого равен степени характеристического полинома.
Признаком неустойчивости системы является нарушение числа и последовательности пройденных кривой Михайлова квадрантов координатной плоскости, вследствие чего угол поворота вектора оказывается меньшим, чем 
.
Примеры годографов Михайлова для неустойчивых систем:
Критерий устойчивости Найквиста.
Частотный критерий устойчивости Найквиста базируется на частотных характеристиках разомкнутых систем управления. Он дает правила, согласно которых по виду частотных характеристик разомкнутой системы можно судить об устойчивости замкнутой системы.
Случай 1.Система устойчива в разомкнутом состоянии.
Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:
|
|
|
, 
(1)
Этот случай соответствует сигналам автоматического управления без астатизма. Введем вспомогательную функцию:
, (2)
где 
- характеристический полином замкнутой системы; 
- характеристический полином разомкнутой системы.
Подставим в (2) 
, получим 
. По критерию Михайлова изменение аргумента 
при 
равно 
, т.к. предполагается, что разомкнутая цепь устойчива. С другой стороны требуется, чтобы система была устойчива в замкнутом состоянии. Для этого нужно потребовать, чтобы изменение аргумента 
при также равнялось . Отсюда следует, что изменение аргумента 
должно быть равно
.
Это значит, что годограф не должен охватывать начало координат (см. рис. 8 и рис. 9).
Вернемся теперь к функции, 
, которая представляет собой амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы (рис. 10 и рис 11).
Формулировка частотного критерия Найквиста.
Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазо-частотная характеристика разомкнутой системы не охватывала точку 
.
Первый график (рис. 9) соответствует случаю, когда устойчивость системы нарушается только с увеличением общего коэффициента усиления разомкнутой системы. Второй график (рис. 10) соответствует случаю, когда уменьшение к может привести к неустойчивости замкнутой системы (с уменьшением к меняются радиусы-векторы всех точек характеристики).
|
|
|
Годографы неустойчивых систем.
Имея в виду очертания амплитудно-фазовых характеристик, к сформулированному критерию устойчивости добавим разъяснения, что значит «не охватывает точки с координатами ».
Характеристика может пересекать отрицательную ось левее точки , но тогда число положительных (сверху вниз) переходов характеристики через ось абсцисс левее точки должно равняться числу отрицательных переходов (снизу вверх).
Случай 2. Система нейтральна в разомкнутом состоянии.
Характеристический полином разомкнутой системы имеет нулевые корни, а остальные все корни имеют отрицательные вещественные части. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
, .
Это соответствует системам с астатизмом порядка 
. Рассмотрим случай, когда 
, тогда 
. Плоскость корней имеет вид, примерно, как показано на рисунке.
Подстановка при 
означает перемещение вдоль оси 
от точки 0 вверх. При этом, чтобы все корни оставить слева, обойдем точку 0 по окружности малого радиуса 
, тогда 
; 
. И при 
получим 
; , где 
при 
.Следовательно, точки соответствует 
окружности бесконечно большого радиуса в плоскости корней 
. Поскольку при этом все корни остались слева, то формулировка критерия устойчивости осталась такой же как и для случая устойчивости разомкнутой системы (случай 1), т.е. годограф Найквиста не должен охватывать точку 
.
В случае 
аналогично получается та же формулировка критерия – не охват точки как показано на рисунках
Для сложных очертаний годографа Найквиста в число отрицательных переходов надо включать и переход пунктирной окружности бесконечно большого радиуса при .
Случай 3. Система неустойчива в разомкнутом состоянии.
Пусть характеристический многочлен разомкнутой системы имеет корней с положительной действительной частью. Тогда функция
при замене 
на 
, согласно критерию Михайлова для устойчивости замкнутой системы должна иметь следующее изменение аргумента
при изменении частоты от 0 до . Это значит, что для устойчивости замкнутой системы требуется, чтобы амплитудно-фазо-частотная характеристика разомкнутой цепи охватила точку против часовой стрелки на угол 
, где - число полюсов с положительной вещественной частью в передаточной функции неустойчивой разомкнутой системы. Другими словами, левее точки разность между положительными и отрицательными переходами годографа Найквиста через ось абсцисс должна равняться 
.
Задание:
Задания выполняются по вариантам из курсовой работы
1. Изучить предложенную функциональную схему.
2. Определить передаточные функции звеньев и составить структурную схему.
3. Ввести параметры звеньев и определить передаточную функцию замкнутой системы.
4. Рассчитать теоретически и построить годограф Михайлова.
5. Определить устойчивость системы, используя критерий Найквиста.
Отчет по лабораторной работе
Отчет оформляется в соответствии с требованиями, предъявляемыми к оформлению лабораторных работ в вузе, и должен содержать:
1. Титульный лист.
2. Формулировку цели работы.
3. Результаты работы.
4. Выводы.
Контрольные вопросы:
1. Что такое встречно-параллельное соединение звеньев?
2. Что такое годограф Михайлова и как его построить?
3. Какие входные сигналы подразумеваются при исследовании по критерию Михайлова?
4. Как определить характеристическое уравнение замкнутой системы?
5. Назовите условие устойчивости системы по критерию Михайлова?
6. Как влияют параметры звеньев на устойчивость системы?
7. Для каких систем можно использовать критерий Найквиста?
8. В чём принципиальное отличие критерия Найквиста от критерия Михайлова?
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 371; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!