Инвариантное преобразование импульсной характеристики



Лабораторная работа 6

РАЗРАБОТКА ФИЛЬТРОВ С БЕСКОНЕЧНОЙ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

Цель работы: получить навыки разработки БИХ–фильтров.

Задачи работы:

1. Познакомиться с основными методами разработки БИХ-фильтров

2. Изучить команды MATLAB, позволяющие выполнить синтез БИХ-фильтров

Оглавление

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.. 2

1.1. Методы расчета коэффициентов БИХ–фильтра. 2

1.1.1. Расчет коэффициентов фильтра путем размещения нулей и полюсов. 2

1.1.2. Инвариантное преобразование импульсной характеристики. 4

1.1.3. Билинейное z-преобразование. 8

1.1.4. Выбор метода расчета коэффициентов БИХ-фильтров. 12

1.2. Эффект Найквиста. 12

1.3. Разработка БИХ–фильтров с помощью MATLAB.. 16

2. ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ.. 18

3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.. 20

4. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.. 24

 


ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Методы расчета коэффициентов БИХ–фильтра

 

На этом этапе вначале выбирается метод аппроксимации, который затем используется для расчета значений коэффициентов ak и bk , при которых спецификации частотной характеристики, полученные на первом этапе разработки, будут удовлетворены. (Про этапы разработки и задание спецификаций фильтра подробнее в 4-й лабораторной работе).

Для простого получения коэффициентов БИХ–фильтра можно разумно разместить полюса и нули на комплексной плоскости, чтобы получающийся в результате фильтр имел нужную частотную характеристику. Данный подход, известный как метод размещения нулей и полюсов, полезен только при разработке простых фильтров, например, узкополосных режекторных фильтров, где параметры фильтра (такие как неравномерность в полосе пропускания) не обязательно задавать точно. Более эффективный подход – вначале разработать аналоговый фильтр, удовлетворяющий желаемой спецификации, а затем преобразовать его в эквивалентный цифровой. Большинство цифровых БИХ–фильтров разрабатываются именно так. Данный подход получил широкое распространение потому, что на настоящий момент в литературе имеется масса информации по аналоговым фильтрам, которую можно использовать при разработке цифровых фильтров. Тремя наиболее распространенными методами конвертации аналоговых фильтров в эквивалентные цифровые являются метод инвариантного преобразования импульсной характеристики, согласованное z–преобразование и билинейное z–преобразование.

В следующих разделах рассмотрены такие методы расчета коэффициентов БИХ–фильтров:

метод размещения нулей и полюсов;

метод инвариантного преобразования импульсной характеристики;

билинейное z–преобразование.

 

Расчет коэффициентов фильтра путем размещения нулей и полюсов

 

Если в некоторую точку комплексной плоскости поместить нуль, частотная характеристика в этой точке будет равной нулю. Полюс, с другой стороны, порождает максимум (рис. 1). Полюса, расположенные близко к единичной окружности, дают большие пики, тогда как нули, расположенные близко к единичной окружности или лежащие на ней, дают минимумы характеристики. Следовательно, стратегическое размещение полюсов и нулей на комплексной плоскости позволяет получить простой фильтр нижних частот или другой частотно-избирательный фильтр.

При разработке фильтра стоит помнить один важный момент: чтобы коэффициенты фильтра были действительными, полюса и нули должны либо быть действительными, либо образовывать комплексно сопряженные пары. Проиллюстрируем описанный метод на примерах.

 

       

а)                                                                      б)

 

Рис. 1. Диаграмма нулей и полюсов простого фильтра (панель а); схематическое изображение частотной характеристики этого фильтра (панель б)

 

Пример 1. Иллюстрация расчета коэффициентов фильтра с помощью простого метода нулей и полюсов. Требуется цифровой полосовой фильтр, удовлетворяющий следующим спецификациям:

полная режекция сигнала на 0 и 250 Гц;

узкая полоса пропускания, центрированная на 125 Гц;

ширина полосы пропускания по уровню 3 дБ равна 10 Гц.

Считая частоту дискретизации равной 500 Гц, определите передаточную функцию фильтра, подходящим образом расположив на комплексной плоскости полюса и нули, и запишите разностное уравнение.

 

Решение

Вначале нужно определить, где на комплексной плоскости поместить полюса и нули. Поскольку полная режекция требуется на 0 и 250 Гц, в соответствующих точках комплексной плоскости следует поместить нули. Эти точки лежат на единичной окружности в местах, соответствующих углам 0° и 360° х 250/500 = 180°. Чтобы полоса пропускания была центрирована на 125 Гц, требуется поместить полюс в точках ±360° х 125/500 = ±90°. Чтобы коэффициенты были действительными, нужна пара комплексно-сопряженных полюсов.

Радиус r полюсов определяется желаемой шириной полосы. Для определения приблизительной ширины полосы (шп) при r > 0,9 используется следующее соотношение:

 

 

Рис. 2. Диаграмма нулей и полюсов (панель а).

 

В данной задаче шп = 10 Гц и Fs = 500 Гц, откуда r = 1 - (10/500)π = 0,937. Получающаяся диаграмма нулей и полюсов изображена на рис. 2. С помощью этой диаграммы записываем передаточную функцию:

 

 

 

Разностное уравнение:

 

y(n) = -0,877969у(n - 2) + x(n) - x(n - 2).

 

Сравнивая передаточную функцию H(z) с общим уравнением БИХ–фильтров, находим, что фильтр представляет собой блок второго порядка со следующими коэф­фициентами:

 

b0=1 a1=0

b1=0 a2=0.877969

b3=-1

 

Инвариантное преобразование импульсной характеристики

 

Второй способ построения цифровых фильтров заключается в таком преобразование параметров исходного аналогового фильтра в параметры дискретного фильтра, при котором импульсные характеристики фильтров (аналогового и дискретного) совпадали бы в дискретные моменты времени при .

Математически условие совпадения импульсных характеристик фильтров (аналоговых и дискретных) записывается как

 

,                                          (1)

 

где, ,  – импульсные характеристики аналоговых и дискретных фильтров, соответственно.

Определим передаточную функцию аналогового фильтра, а затем представим ее в виде простых дробей

 

,                                 (2)

 

где, – различные полюса (корни) передаточной функции аналогового фильтра; – коэффициенты, определенные любым из известных методов; – степень характеристического уравнения знаменателя.

Аналогично уравнению (2) могут быть получены соотношения, определяющие Z–передаточную функцию дискретного фильтра, которые затем так же можно представить в виде суммы дробей

 

.                            (3)

 

Сравнивая выражения (2) и (3), получаем соотношение перехода от аналоговых фильтров к цифровым фильтрам по методу инвариантного преобразования импульсной переходной характеристики

 

,                          (4)

.

 

Пример 2. Пусть задана передаточная функция аналогового фильтра

 

.

 

Найти методом инвариантного преобразования импульсной переходной функции цифровой фильтр. Представим передаточную функцию  в виде простых дробей

 

.                           (5)

 

Определим  и  методом Хевисайда

 

,

.

 

Используя соотношение (4) запишем Z–передаточную функцию цифрового фильтра

 

.                  (6)

 

Упрощая выражение (6), получим

 

.                       (7)

 

При , получим

 

.                                (8)

 

Все трудоемкие вычисления, связанные с переходом от непрерывных передаточных функций к дискретным, можно исключить с помощью команды MATLABimpinvar

[bd,ad]=impinvar(b,a,Fs),

 

где, ,  – заданные векторы коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции аналогового прототипа,  – частота дискретизации сигнала в герцах, а ,  – вычисленные коэффициенты числителя и знаменателя дискретной передаточной функции дискретного фильтра.

Процедура определения параметров дискретного фильтра по его аналоговому прототипу, базируется на совпадении импульсных характеристик обоих фильтров в точках квантования сигналов, представлена программой MATLAB.

h=tf([2],[1,3,3]) %Передаточная функция непрерывного фильтра.

Tp=0.1;       %Интервал дискретности.

hd=c2d(h,Tp)   %Передаточная функция дискретного фильтра.

[n,d,t]=tfdata(h,'v') %Определение коэффициентов передаточной

                %функции непрерывного фильтра.

[nd,dd]=impinvar(n,d,10) %Определение коэффициентов передаточной

                   %функции дискретного фильтра.

f=filt(nd,dd,0.1)  %Передаточная

               %функция дискретного фильтра.

bode(h,hd,f),grid on %Логарифмические характеристики

                %проектируемых фильтров.

legend h hd f

Следует отметить, что усиление цифрового фильтра на нулевой частоте равно , а усиление аналогового фильтра на  составляет 1. Поэтому, если сравнить выражение (8) с аналогичным выражением, полученным в пакете MATLAB, то наблюдается расхождение, определяемой множителем . Поэтому, чтобы привести в соответствие результаты расчетов, полученные аналитическим путем (выражения 5–8), с результатами расчетов, полученными в пакете MATLAB, следует пронормировать выражение (8), умножив его на интервал дискретности.

Результаты выполнения этой программы показывают, что передаточные функции, полученные путем трудоемких расчетов (выражения 5–8) и с помощью процедуры impinvar, совпадают. Логарифмические характеристики, полученные применением разных процедур, отличаются: меньшую ошибку дает процедура impinvar.

Рис.3. Логарифмические характеристики фильтров (1 ‑ аналоговый; 2 ‑ дискретный (процедурыimpinvar); 3 ‑ дискретный (процедурыc2d)).

 

1.1.3. Билинейное z-преобразование

Известно, что метод преобразования импульсной переходной функции базируется на связи точек плоскости S с точками плоскости Z, определяемой отношением

 

,                                      (9)

 

где,  – угол между действительной осью плоскости Z и векторами, определяющими точки на окружности единичного радиуса плоскости Z.

Из (9) следует, что связь между точками плоскости S и Z неоднозначна, что вносит наложение и может исказить результаты, т.е. синтезированный таким образом цифровой фильтр не будет адекватен его аналоговому прототипу. Действительно, частот ;  и  на плоскости Z отображаться в одну точку z=1.

Для исключения нежелательного эффекта наложение введено билинейное преобразование, которое однозначно преобразует точки мнимой оси плоскости S на точки мнимой оси плоскости Z. Таким образом, переход от мнимой оси плоскости S на плоскость Z осуществляется двумя преобразованиями: выражениями (9) и (10). Выражение (9) преобразует мнимую ось плоскости S в окружность единичного радиуса плоскости Z, а выражение (10) преобразует мнимую ось плоскости S в мнимую ось плоскости Z. Последнее преобразование (выражение (10) известно как W преобразование и плоскость Z при таком преобразовании обозначается как плоскость W.

 

                                                 (10)

 

Решая уравнение (10) относительно z получим выражение, определяющее переходу из плоскости W в плоскость S

 

.                                                (11)

 

Используя соотношения (9-11) обоснуем методику расчета цифровых фильтров, которая не отличается от рассмотренной ранее и состоит из следующих шагов.

1. Исходя из технических требований, определяем передаточную функцию требуемого аналогового фильтра .

2. Применяем к  билинейное преобразование и получаем Z‑передаточную функцию цифрового фильтра

 

.                                   (12)

 

При преобразовании (12) будут сохраняться частотные характеристики и свойства устойчивости аналогового фильтра. Однако это не означает, что частотные характеристики аналогового и цифрового фильтров одинаковы, одинакова только их форма. Например, если амлитудно–частотная характеристика аналогового фильтра спадает монотонно при изменении частоты от 0 до бесконечности, амлитудно–частотная характеристика цифрового фильтра будет монотонно спадать при изменении цифровой частоты  от 0 до ; если амлитудно–частотная характеристика аналогового фильтра имеет  подъемов и спадов в частотном диапазоне от 0 до бесконечности, то и амплитудно–частотная характеристика соответствующего цифрового фильтра будет иметь  подъемов и спадов в диапазоне цифровой частоты от 0 до . Причем, связь между  и  нелинейная

,              (13)

.                                               (14)

 

Анализируя выражения (13) и (14) можно сделать выводы: cвязь между цифровой частотой  и аналоговой частотой  взаимообразна, т. е. по заданной круговой частоте можно определить цифровую частоту, а по заданной цифровой частоте можно определить круговую частоту. Изменением интервала дискретности можно менять коэффициент пропорциональности между  и  (14), что позволяет изменять формы амплитудно–частотных характеристик цифровых фильтров в нужную сторону.

 

Пример 3. Задана передаточная функция аналогового фильтра

 

.

 

Используя (13) определим передаточную функцию цифрового фильтра

         (15)

 

Процедуру определения параметров цифрового фильтра на основе метода билинейного преобразования можно ускорить, воспользовавшись процедурами bilinear или c2dпакета MATLAB.

К процедуре bilinearможно обратиться тремя путями

 

[bd,ad]=bilinear(b,a,Fs,Fp)                                                           (16)

[zd,pd,kd]=bilinear(z,p,kFs,Fp)                                                   (17)

[Ad,Bd,Cd,Dd]=bilinear(А,В,С,D,Fs,Fp)                                       (18)

Исходные данные для выполнения процедуры bilinear параметра аналогового фильтра, заданные в форме LTI. Параметр Fs задает частоту дискретизации в герцах. Параметр Fp не обязателен. Он определяет частоту в герцах, для которой значение АЧХ до и после выполнения преобразования должна совпадать.

Выражение (16)-(18) отличается исходными данными. В (16) определяться коэффициенты числителя bd и знаменателя adдискретного фильтра по коэффициентам числителя b и знаменателя a, аналогового прототипа. В выражении (17) исходными данными аналогового прототипа являются нули z, полюса ри коэффициент усиления k. Обращение к выражению (17) позволяет вичислить нули zd,полюса pdи коэффициент усиления kd дискретного фильтра. И, наконец, выражение (18) определяет дискретную матрицу пространства состояния фильтра по известным непрерывным матрицам пространства состояния это фильтра.

Процедура c2d определяет параметры дискретного фильтра по непрерывной передаточной функции h и интервалу дискретности TП

 

hd=c2d(h,Tp,‘метод’)                                                                         (19)

 

MATLAB предлагает несколько методов аппроксимации: нулевого порядка, первого порядка, метод билинейной аппроксимации Тастина, билинейной аппроксимации Тастина с коррекцией и метод соответствия нулей и полюсов. При выборе метода аппроксимации выражение (19) конкретизируется (применена билинейная аппроксимации Тастина)

 

hd=c2d(h,Tp,‘TUSTIN’).                                                                     (20)

Рис.4. Логарифмические характеристики фильтров (1 ‑ аналоговый; 2 ‑ дискретный (процедуры билинейного преобразования); 3 ‑ дискретный (процедурыc2d))

 

Все выше приведенные теоретические положения по расчету цифровых фильтров с помощью билинейного преобразования проиллюстрированы программой :

h=tf([2],[1,3,2])   %Исходные данные

syms z s          %Ввод символьных переменных

Tp=0.1;

k=2;                 %Ввод символьных переменных.

s=(2/Tp)*(1-z^-1)/(1+z^-1) %Переход на плоскость W.

hs=k/(s^2+3*s+3)     %Применение преобразования к

                     %аналоговому фильтру.

hs1=simplify(hs)     %Алгебраические преобразования

hs2=filt([1,2,1],[1,-794/463,343/463],Tp)*(2/463)%Уравнение

                %цифрового фильтра при билинейном преобразовании.

[n,d,t]=tfdata(h,'v') %Определение коэффициентов

              %передаточной функции непрерывного фильтра.

[nd,dd]=bilinear(n,d,10) %Уравнение цифрового фильтра при

                   %билинейном преобразовании.

Tp=0.1;

hdt=c2d(h,Tp,'TUSTIN')     %Уравнение цифрового фильтра при

                      %преобразовании Тастина.

hdv=filt(nd,dd,Tp)     %Приведения уравнения к форме фильтра.

bode(h,hdt,hdv,hs2),grid on %Логарифмические

         %характеристики аналоговых и цифровых фильтров.

Результаты расчетов этой программы приведены на рис.4, из которого следует, что графики частотных характеристик, полученные путем трудоемких расчетов (выражение (15)) и с помощью процедур bilinearи c2d, совпадают.

 


Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 1201; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!