Затухающие колебанияфизического маятника
Сила сопротивления движению шара в воздухе направлена противоположно его скорости 
и зависит от 
сложным образом (см. в [21] работу № 1.6). При медленном движении шара диаметром 
сила сопротивления пропорциональна скорости
, (9.34)
где 
- динамическая вязкость воздуха, 
18,1 мкПа×с. Применимость этой формулы Стокса ограничена значениями числа Рейнольдса
. (9.35)
При более точном рассмотрении движения жидкости вдали от шарика К. Осееном было получено следующее выражение для силы, применимое при 
[21]
. (9.36)
При колебаниях маятника шар движется с переменной скоростью, поэтому при вычислении числа Рейнольдса в качестве скорости можно использовать ее среднее значение за полупериод, в течение которого шар движется в одном направлении
, (9.37)
где 
- амплитуда линейных смещений математического маятника. Для уменьшения значений 
в данной работе необходимо использовать большую длину нити 
и малый диаметр шарика.
Скорость движения шара (сферы) на нити связана с угловой скоростью 
, (9.38)
где вектор 
направлен из точки подвеса в центр сферы. Сила сопротивления направлена противоположно вектору скорости , поэтому ее момент относительно оси вращения
. (9.39)
С использованием математической формулы для двойного векторного произведения
|
|
|
, (9.40)
и перпендикулярности векторов и получим выражения для вектора момента сил сопротивления
. (9.41)
Проекция момента сил сопротивления на ось 
(см. рис. 9.1) с учетом (9.4) равна
. (9.42)
С учетом сопротивления воздуха изменятся уравнение (9.5)
, (9.43)
и уравнение (9.6) для малых углов 
, (9.44)
. (9.45)
Это уравнение является примером общего уравнения свободных затухающих колебаний
, (9.46)
со значениями параметров
, 
, (9.47)
для математического маятника с длиной нити 
, 
. . (9.48)
Решения уравнения (9.46) в случае слабого затухания, 
представляют собой затухающие колебания (графики затухающих колебаний есть на рис. 10.13, 10.14 работы 2.10)
, (9.49)
с циклической частотой
, (9.50)
периодом
, (9.51)
и убывающей по экспоненциальному закону амплитудой
. (9.52)
Затухающие колебания характеризуют следующие величины:
|
|
|
1) время релаксации 
и время уменьшения амплитуды вдвое 
, 
; (9.53)
2) декремент затухания – отношения амплитуд двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период
; (9.54)
3) логарифмический декремент затухания
, (9.55)
где 
- число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в 
раз, которое можно выразить через число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды вдвое 
; (9.56)
4) добротность
. (9.57)
В модели (9.47) логарифмический декремент затухания 
и числа , являются постоянными.
Измерение периода малых колебаний математического маятника и определение ускорения свободного падения
Измерения выполняются с физическим маятником № 1, нить которого может наматываться на стержень подвеса. Отмотайте ее на длину 
, так чтобы маятник можно было бы считать математическим.
| № | Математический маятник №1 | |||||
| t, с | Dt, с | T, с | g, м/с2 | Dg, м/с2 | e , % | |
| 1. |
|
|
|
|
| |
| 2. | ||||||
| 3. | ||||||
| ср. | ||||||
Выполните измерения в следующем порядке.
|
|
|
1. Приведите математический маятник в колебания с малым углом отклонения (6° ÷ 7° или 1,5 ÷ 2 см от положения равновесия).
2. Определите период колебаний математического маятника. Для этого измерьте с помощью секундомера – время десяти колебаний, тогда . Измерения времени проведите не менее трех раз. Результаты внесите в табл. 9.1.
Таблица 9.1
3. Найдите ускорение свободного падения по формуле (9.12). Сравните его значение с табличным значением.
4. Рассчитайте относительную и абсолютную погрешности.
5. Найдите ускорение свободного падения по формуле для физического маятника
. 
(9.58)
Оцените погрешность, обусловленную применением к физическому маятнику №1 формул, справедливых для математического маятника.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 382; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!