Сравнение выборочных средних. Дисперсионный анализ

⇐ ПредыдущаяСтр 16 из 17Следующая ⇒

В ходе исследований часто возникает необходимость сравнения резуль-татов измерения, представленных двумя выборками (например, производительность новой машины сравнивается с базовым вариантом). Сравнивая выборочные средние, нужно быть уверенным, что разница между ними значима, т.е. вызвана изменениями в конструкции машины, а не является результатом погрешностей опытов.

Таблица 6.4 – Значения критерия G_α(f₁, f₂) при уровне значимости α = 0,05

G_0,05		Число степеней свободы числителя f₁
G_0,05		1	2	3	4	5	6	10	16	36	∞
Число степеней свободы знаменателя f₂	2	0,9985	0,9750	0,9392	0,9057	0,8534	0,8534	0,7880	0,7341	0,6602	0,5000
	3	0,9669	0,8709	0,7977	0,7457	0.6071	0,6771	0,6025	0,5466	0,4748	0,3333
	4	0,9065	0,7679	0,6841	0,6287	0,5895	0,5598	0,4So4	0,4366	0,3720	0,2500
	5	0,8412	0,6838	0,5981	0,5440	0,5063	0,4733	0,4118	0,3645	0,3066	0,2000
	6	0,7808	0,6161	0,5321	0,4803	0,4447	0,4184	0,3568	0,3135	0,2612	0,1667
	8	0,6798	0,5157	0,4377	0,3910	0,3595	0,3362	0,2829	0,2462	0,2022	0,1250
	10	0,6020	0,4450	0,3733	0,3311	0,3029	0,2823	0,2353	0,2032	0,1655	0,1000
	15	0,4709	0,3346	0,2758	0,2419	0,2195	0,2034	0,1671	0,1429	0,1144	0,0677
	20	0,3894	0,2705	0,2205	0,1921	0,1735	0,1602	0,1303	0,1108	0,0879	0,0500
	24	0,3434	0,2354	0,1907	0,1656	0,1493	0,1374	0,1113	0,0942	0,0743	0,0417
	30	0,2929	0,1980	0,1593	0,1377	0,1237	0,1137	0,0921	0,0771	0,0604	0,0333
	40	0,2370	0,1576	0,1259	0,1082	0,0968	0,0887	0,0713	0,0595	0,0462	0,0250
	∞	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000

Пусть для каждой из выборок определены выборочные средние , и дисперсии и , причем дисперсии выборок однородны (в противном случае сравнивать выборочные средние нельзя!). Обозначим разницу между выборочными средними

. (6.36)

Поскольку выборочные средние есть случайные величины, величина Z также случайна. Доверительный интервал для этой величины

где m_Z и S_Z – математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение Z.

Исходя из выражения (6.36) с учетом свойств (6.21) и (6.25) дисперсии, дисперсия Z составит

или , (6.38)

где и – дисперсии выборочных средних; n₁ и n₂ – объемы первой и второй выборок.

Предположим, что различие между и незначимо, т.е. обусловлено случайными погрешностями. Тогда математическое ожидание Z равно нулю и доверительный интервал

, или . (6.37)

Следовательно, если Z выходит за пределы указанного интервала, можем утверждать, что различие между выборочными средними и значимо.

Критерий t_f,α берется для соответствующего уровня значимости и суммарного числа степеней свободы двух дисперсий f = n₁ + n₂ – 2.

Если эксперимент проводится с целью аппроксимации зависимости некоторого параметра от одного или нескольких факторов, необходимо определить значимость влияния каждого из факторов на параметр. Такая процедура называется дисперсионным анализом.

Предположим, что необходимо установить, влияет ли изменение в заданном интервале фактора x на параметр y. Установим m уровней фактора. На каждом уровне поставим по n параллельных опытов и определим выборочное среднее и дисперсию значений y для каждого уровня:

и , (6.38)

где y_ui — значение y, измеренное в i-м опыте из серии опытов, проведенных при u-м уровне фактора x. Результаты сведем в табл. 6.5.

Если дисперсии однородны, что проверяется по критерию Кохрена, то можем определить средневзвешенную дисперсию погрешностей всех выборок:

. (6.39)

Таблица 6.5 – Данные для дисперсионного анализа

Уровни фактора	Номер опыта при заданном уровне фактора						Выборочное среднее	Дисперсия
Уровни фактора	1	2	…	і	…	n	Выборочное среднее	Дисперсия
1	y₁₁	y₁₂	…	y_1i	…	y_1n
2	y₂₁	y₂₂	…	y_2i	…	y_2n
…	…	…	…	…	…	…	…	…
u	y_u₁	y_u₂	…	y_ui	…	y_un
…	…	…	…	…	…	…	…	…
m	y_m₁	y_m₂	…	y_mi	…	y_mn

Рассмотрим совокупность выборочных средних как реализации некоторой случайной величины, образующие выборку объемом m. Найдем среднее и дисперсию этой выборки:

и . (6.40)

Дисперсия обусловлена двумя факторами: погрешностями определения выборочных средних и влиянием фактора x. Для выяснения значимости последнего выполним проверку однородности дисперсий и . Если

, (6.40)

— дисперсии однородны, следовательно изменение выборочных средних обусловлено случайными погрешностями, а влияние фактора — не значимо. В противном случае — дисперсии неоднородны, и можем утверждать, что фактор x оказывает значимое влияние на параметр.

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 371; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 151617 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!