Формула полной вероятности. Формула Байеса



Предположим, что событие А может осуществляться с одним из несовместных событий , для которых известны вероятности  и условные вероятности . Другими словами положим, что , тогда

                    .                                                (3)

Соотношение (3) называется формулой полной вероятности.

Пусть в результате опыта произошло событие А. Требуется найти условные вероятности . Согласно теореме умножения вероятностей

,

откуда

                 ,                                             (4)

или

, где .

Полученная формула называется формулой Байеса.

Пример.

В тире имеется 6 ружей. Вероятность попадания в цель для двух из них равна 0,8, для трех – 0,9, а для одного – 0,3. Определить вероятность поражения цели при одном выстреле, если ружье выбрано произвольно.

Решение.

Гипотеза H1 – выбор ружья с вероятностью попадания 0,8, H2 – с вероятностью 0,9, H3 – с вероятностью 0,3. Вероятности гипотез

.

Событие А – попадание в цель. Условные вероятности

заданы в условиях задачи. Тогда по формуле (3) имеем

.

Задачи.

16.61.На полигоне расставлены 4 мишени первого типа, 1 мишень второго типа, 5 мишеней третьего типа и 10 мишеней четвертого типа. Вероятности поражения мишеней различных типов равны соответственно 0,4; 0,2; 0,08; 0,05. Найти вероятность поражения мишени, если сделан один выстрел, а мишень выбрана произвольно.

16.62.На фабрике, изготавливающей болты, первая машина производит 30%, вторая – 25%, третья – 45% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 2%, 1%, 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный болт оказался дефектным.

16.63.В пяти ящиках находятся одинаковые шары. В двух ящиках – по 6 голубых и 4 красных шара. В двух других ящиках – по 8 голубых и 2 красных шара. В одном ящике – 2 голубых и 8 красных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар оказался красным?

16.64.В группе студентов 5 отличников, 10 хорошо успевающих и 6 занимающихся слабо. На предстоящем экзамене отличники могут получить только отличные оценки, хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки, слабо занимающиеся студенты, могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена приглашается наудачу один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

16.65.Имеются три урны с шарами. В первой находится 5 голубых и 3 красных шара, во второй – 4 голубых и 4 красных, в третьей – 8 голубых. Наугад выбирается одна из урн и из нее наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется красным?

16.66.Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложено два шара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Найти вероятность вынуть после этой процедуры из второй урны белый шар.

16.67.В тире имеется 6 ружей. Вероятность попадания в цель для двух из них равна 0,8, для трех - 0,9, а для одного - 0,3. Какова вероятность того, что выстрел был произведен из ружья, вероятность попасть из которого равна 0,8?

16.68.Вероятность того, что при технологическом процессе изготовленное изделие удовлетворяет стандарту, равна 0,95. Завод выпускает изделие лишь в случае, если оно трижды выдержит упрощенное испытание. Каждое такое испытание дает положительный результат для изделий, удовлетворяющих стандарту, с вероятностью 0,8, а для изделий, не удовлетворяющих стандарту, с вероятностью 0,3. Какова вероятность того, что изделие, выпущенное заводом, удовлетворяет стандарту?

16.69.Электролампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0,3; 0,2; 0,5. Вероятности, что лампа проработает заданное число часов Т, равны для этих партий соответственно 0,1; 0,2; 0,4. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.

16.70.Три стрелка произвели залп, причем две пули попали в цель. Найти вероятность того, что первый стрелок попал в цель, если вероятности попаданий в цель первым, вторым и третьим стрелком соответственно равны 0,4, 0,3 и 0,5.

16.71.Из 18 стрелков 5 попадает в мишень с вероятностью 0,8, 7 с вероятностью 0,7, 4 с вероятностью 0,6 и 2 с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежит этот стрелок?

16.72.В ящике находятся одинаковые изделия, изготовленные на двух автоматах: 40% изготовлено первым автоматом, остальные – вторым. Брак в продукции первого автомата составляет 3%, второго – 2%. Найти вероятность того, что случайно выбранное изделие изготовлено первым автоматом, если оно оказалось бракованным.

16.73.На складе находятся детали, изготовленные на двух заводах. Известно, что объем продукции первого завода в 4 раза превышает объем продукции второго завода. Вероятность брака на первом заводе равна 0,05, на втором – 0,01. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена первым заводом?

16.74.В пяти ящиках находятся одинаковые шары. В двух ящиках – по 6 голубых и 4 красных шара (это ящик первого состава). В двух других ящиках – по 8 голубых и 2 красных шара. В одном ящике – 2 голубых и 8 красных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Извлеченный шар оказался голубым. Какова вероятность того, что голубой шар извлечен из ящика первого состава?

16.75.На предприятии изготавливаются изделия определенного вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 30% изделий, на второй – 25%, на третьей – остальная часть продукции. Каждая линия характеризуется соответственно следующими процентами годности линий: 97%, 98%, 96%. Наугад взятое изделие, оказалось бракованным. Определить вероятности того, что это изделие изготовлено на первой, второй и третьей линиях.

    


Случайные величины

Числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий , называется случайной величиной (СВ). Таким образом, СВ Х представляет собой отображение пространства W в новое пространство, элементами которого служат числовые значения СВ Х. Например, игральная кость выбрасывается заданное число раз. Число появлений определенного числа очков после заданной серии бросков есть случайная величина.

Вероятность события, состоящего в том, что СВ Х принимает значения меньшие, чем х, рассматриваемая как функция аргумента х, называется функцией распределения СВ Х:

.

Свойства функции распределения:

1. ,

2. .

3. .

4.  - неубывающая функция.

5. Функция распределения непрерывна слева, т.е.:
                            .

Различают дискретные случайные величины (ДСВ) и непрерывные случайные величины (НСВ).


Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 1210; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!