Вероятность произведения событий. Независимость событий



Теорема.Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие произошло:

  .                         (1)

По определению, событие В не зависит от события А, если

                             .                                                    (2)

В этом случае также , т.е. событие А не зависит от события В. Свойство независимости событий является взаимным. Если события А и В независимы, то независимы события  и ,  и ,  и . Если события А и В независимы, то формулы (1) с учетом равенства (2) принимают вид

,

т.е. вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

Пример.

В урне 10 шаров, из которых 4 белые. Наугад выбираются 3 шара. Найти вероятность того, что хотя бы один шар белый.

Решение.

Пусть событие А – хотя бы один шар из трех вынутых – белый, наступит, если будет осуществлено любое из трех несовместных событий: B - один шар белый, C - два шара белые, D - три шара белые. Имеем . По теореме 1: . Вероятности событий B, C, D численно равны

.

Отсюда

.

 

Пример.

Вероятность попадания в цель при одном залпе двух стрелков равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым стрелком, если известно, что вероятность поражения цели вторым стрелком равна 0,8.

Решение.

Пусть событие А1 – попадет в цель первый стрелок, А2 – второй, тогда соответствующие вероятности . Пусть событие D – цель поражена, тогда

.

Следовательно,

.

Так как по условию

,

то получаем

.

 


Задачи.

16.46.В урне 40 шаров: 15 синих, 5 зеленых и 20 белых. Какова вероятность того, что из урны будет извлечен цветной шар?

16.47.Подбрасываются два игральных кубика. Найти вероятность события – «сумма выпавших очков не превосходит четырех».

16.48.Брошены 3 игральные кости. Найти вероятности событий: а) на каждой из выпавших граней появятся три очка; б) на всех гранях одинаковое число очков.

16.49.Вероятность поражения одной мишени для данного стрелка равна 2/3. Если при первом выстреле зафиксировано попадание, то стрелок получает право на второй выстрел по второй мишени. Вероятность поражения обеих мишеней при 24 выстрелах равна 0,5. Найти вероятность поражения второй мишени.

16.50.Игра между игроками А и В ведется на следующих условиях: в результате первого хода, который всегда делает А, он может выиграть с вероятностью 0,3. Если первым ходом А не выигрывает, то ход делает В и может выиграть с вероятностью 0,5. Если в результате этого хода В не выигрывает, то А делает второй ход, который может привести его к выигрышу с вероятностью 0,4. Найти вероятности выигрышей для А и В.

16.51.Разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя бы один из трех последовательно соединенных элементов. Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи, если элементы выходят из строя соответственно с вероятностями 0,3; 0,4; 0,6. Как изменится искомая вероятность, если первый элемент не выходит из строя?

16.52.Завод изготавливает 95% годных изделий, причем 86% из них первого сорта. Найти вероятность того, что изделие, изготовленное на этом заводе, окажется первого сорта.

16.53.Монета бросается 3 раза. Какова вероятность того, что все 3 раза появится герб?

16.54.Из колоды в 36 карт вынимаются одна за другой 3 карты. Найти вероятность, что среди взятых карт будет хотя бы один туз.

16.55.Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания для первого стрелка 0,9, для второго 0,8. Определить вероятность поражения цели, т.е. вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель.

16.56.В механизм входят две одинаковые детали. Механизм не будет работать, если будут поставлены две детали уменьшенного размера (бракованные). У сборщика всего 10 деталей, из них 3 меньше стандарта. Найти вероятность того, что механизм будет нормально работать, если сборщик берет наудачу и первую, и вторую детали.

 16.57.Производится 3 выстрела по одной и той же мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно 0,4; 0,5; 0,7. Найти вероятности того, что в результате этих трех выстрелов а) по мишени будет ровно одно попадание; б) по мишени будет хотя бы одно попадание: в) по мишени будет ровно два попадания; г) по мишени будет хотя бы два попадания; д) по мишени будет ровно три попадания.

16.58.Вероятность того, что студент перейдет на второй курс, равна 0,9, а вероятность окончить институт 0,8. Какова вероятность того, что студент второго курса окончит институт?

16.59.Монета подбрасывается три раза. Какова вероятность того, что цифра выпадет ровно два раза?

16.60.В каждом из трех ящиков находится по 30 деталей. В первом ящике 27, во втором 28, в третьем 25 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Какова вероятность того, что все три детали окажутся стандартными?

 


Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 523; Мы поможем в написании вашей работы!






Мы поможем в написании ваших работ!