Теория функций комплексного переменного



1. Разложить функцию    в ряд Лорана в кольцах

 и   

 

2. Исследовать характер изолированных особых точек функции , включая и точку  . Найти вычеты функции f в этих точках.

 

3. C помощью теории вычетов вычислить интеграл

                                                 .

 

4. Построить дробно-линейное отображение круга

на полуплоскость

Функциональный анализ и интегральные уравнения

 

1. Пусть m – мера Лебега на R. Найти

, где D – функция Дирихле,  - характеристическая функция (индикатор) множества А, m – мера Лебега.

 

2.  Проверить, является ли последовательность  точек метрического пространства С[0;1] сходящейся, фундаментальной.

 

3. Является ли оператор , действующий по формуле

Ax = (x3, x4, …, xn, …),  линейным, ограниченным? Если да, то найти его норму.

 

4.  Пусть оператор  действует по формуле Ax = (x1, 2x2, 5x3,0,…). Найти спектр этого оператора.

 

5. Найти сопряжённый к оператору

A: L [0;1]  L [0;1], (Ax)(t) =  .

 

6. Определить, при каких значениях  L [0;1] уравнение

  

имеет решение в пространстве L [0;1].

 

Теория вероятностей и математическая статистика

 

1. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае вероятность вытащить неизвестный билет будет для него наименьшей, когда он будет тащить первым или вторым?

 

2. Среди 25 экзаменационных билетов 5 "хороших". Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятность следующих событий:

A = {первый студент взял "хороший" билет};

В = {второй студент взял "хороший" билет};

C = {оба студента взяли "хорошие" билеты}.

 

3. На отрезок АВ длины 3 наудачу брошено пять точек. Найти вероятность того, две точки будут находиться от точки А на расстоянии, меньшем 2, а три – на расстоянии, большем 2.

 

4. В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартных. На удачу отобраны 2 детали. Найти математическое ожидание и дисперсию числа нестандартных деталей среди отобранных.

 

5. Плотность распределения вероятностей абсолютно непрерывной случайной величины  имеет форму

 

Найти константу с, функцию распределения и дисперсию .

Алгебра и теория чисел

 

1. Исследовать систему на совместимость и решить методом Крамера.

 

                       

 

 

2. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

                           .

 

3. Разложить пространство R4 на прямую сумму подпространств размерности 2.

 

4. Докажите, что в пространстве M(2, R) система векторов  линейно независима.

 

5. Найдите жорданову нормальную форму матриц: .

 

 

6. Исследовать, являются ли векторы

векторного пространства  линейно зависимыми.

 

7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора пространства R2, заданного в некотором базисе матрицей

                                                        .

 

8. Найти все значения , при которых вектор  линейно выражается через векторы

 

 9. Найти базис и размерность линейной оболочки  векторов из , где

 

10. Докажите, что линейные пространства  и  изоморфны:

 

C над R ,  R2.

11. Найти матрицу, обратную матрице А

 

                                                 .

 

12. Вычислить: а) ; б) .

 

13. С помощью алгоритма Евклида найти наибольший общий делитель (96,165) и выразить его через исходные числа.

 

14. Составить таблицы сложения и умножения в кольце классов вычетов .

 

 

15. Даны два базиса  и  пространства  

Найти матрицу перехода от базиса   к .

 

16. Найти ранг матрицы А

 

 

Аналитическая геометрия

 

1. Вычислите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах  и  где  и   – единичные векторы, угол между которыми 600.

 

2. Вычислите площадь параллелограмма, диагонали которого определяют векторы  и , если

 

3 .Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А (12, 6) так, чтобы площадь треугольника, образованного ею и координатными осями, была равна 150 кв. ед.

 

4. Найдите основание перпендикуляра, проведенного из точки А (1, 3, 5) к прямой, по которой пересекаются плоскости 2x + 2y + z – 1 = 0,

3x + y +2z – 3 = 0.

 

5. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми:  

 

 и

 

6. Через прямую x = 2 + 5t, y = 3 + t, z = –1 + 2t проведите плоскость,  перпендикулярную к плоскости 4x + 3y – z + 3 = 0.

    

 

7. Какая плоская фигура задана уравнением:

x2 – 4y2 + 4x + 24y – 36 = 0.

 

 


Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 234; Мы поможем в написании вашей работы!






Мы поможем в написании ваших работ!