Уравнения регрессии для всех результирующих показателей
Повторим постановку задачи построения математической модели в виде совокупности уравнений регрессии.
где: yj – j-й результативный показатель эффективности (отклик);
К – общее количество результативных показателей эффективности;
хi – i-й фактор, влияющий на отклики;
М – общее количество факторов.
Основной показатель качества представления экспериментальных данных. В т.ч. результатов имитационного моделирования, уравнениями регрессии – величина стандартной ошибки.
Полученные значения стандартной ошибки, критерия Фишера, коэффициента множественной детерминации и скорректированного коэффициента множественной детерминации приведем ниже, после полученных уравнений.
Для построения уравнений регрессии применяем программу «СТАТИСТИКА 12.0»
Найдём уравнение регрессии для Y1:
Первый отчёт для Y1:
ВторойотчётдляY1:
Таким образом, получили уравнение множественной регрессии для переменной у1:
y1 = -582521+ x1*238211 + x2* 73808 - x3*45905 - x4*494 - x1*x1*25162- x2*x2*1246 + x3*x3*4313 + x4*x4*0,32 + x1*x4*28 + x2*x4*5 + x3*x4*33
Настораживает величина стандартной ошибки Sст= 34194. Хорошо это, или плохо можно сказать после сравнения со средним значением у1. Для этого получим таблицу остатков.
Таблица Анализ остатков у1
По таблице у1ср=1015553.
Вычислим Sст1/у1ср=34194/1015553=0,03363. Так какэтот показатель не превышает 0,10 будем считать результаты регрессионного анализа приемлимыми.
|
|
|
Найдём уравнение регрессии для Y2:
Первый отчёт для Y2:
ВторойотчётдляY2:
Таким образом, получили уравнение множественной регрессии для переменной у2:
y2 = 2.7513 + x1*2.50702 + x2*1.01783 - x3*2.39650 + x4*0.00991 - x1*x1*0.28933 - x2*x2* 0,02087+ x3*x3* 0,18721+ x1*x4*0,00050 - x2*x4*0,00042+ x3*x4*0,00025
Вычислим Sст1/у1ср=0.722/21.0582=0,03423. Так какэтот показатель не превышает 0,10 будем считать результаты регрессионного анализа приемлимыми.
Найдём уравнение регрессии для Y4:
Первый отчёт для Y4:
ВторойотчётдляY4:
Таким образом, получили уравнение множественной регрессии для переменной у4:
y3 = 2,75130 + x1* 2,50702 + x2* 1,01783 - x3* 2,39650 + x4* 0,00991 - x1*x1* 0,28933 - x2*x2* 0,02087+ x3*x3* 0,18721 + x1*x4*0,00050 - x2*x4*0,00042+ x3*x4*0,00025
Вычислим Sст1/у1ср=0.1148/21.0582=0.0147. Так какэтот показатель не превышает 0,10 будем считать результаты регрессионного анализа приемлимыми.
Найдём уравнение регрессии для Y5:
Первый отчёт для Y5:
ВторойотчётдляY5:
Таким образом, получили уравнение множественной регрессии для переменной у5:
y4 = 0,758064 - x1* 0,065778 - x2*-0,066336 + x3* 0,059742 + x4* 0,000760 + x1*x1*0,007141+ x2*x2* 0,001446 - x3*x3* 0,004739 - x1*x4* 0,000007 - x2*x4* 0,000005 - x3*x4*0,000004
|
|
|
Вычислим Sст1/у1ср=0.02841/0.6002=0.0229. Так какэтот показатель не превышает 0,10 будем считать результаты регрессионного анализа приемлимыми.
Найдём уравнение регрессии для Y6:
Первый отчёт для Y6:
ВторойотчётдляY6:
Таким образом, получили уравнение множественной регрессии для переменной у6:
y5 = 1,013940 - x1* 0,069257 - x2*0,037255 - x3* 0,185716 + x4* 0,000825 + х1*x1*0,007251 + x2*x2* 0,000933 + x3*x3* 0,013276 - x1*x4* 0,000007 + x2*x4* 0,000006 - x3*x4* 0,000029
Вычислим Sст1/у1ср=0.01661/0.3012=0.0043. Так какэтот показатель не превышает 0,10 будем считать результаты регрессионного анализа приемлимыми.
Найдём уравнение регрессии для Y7:
Первый отчёт для Y7:
ВторойотчётдляY7:
Настораживает величина стандартной ошибки Sст= 2204,5. Хорошо это, или плохо можно сказать после сравнения со средним значением у1. Для этого получим таблицу остатков.
Таблица Анализ остатков у7
По таблице у6ср=135374.
Вычислим Sст1/у1ср=2204,5/135374=0,016284. Так какэтот показатель не превышает 0,10 будем считать результаты регрессионного анализа приемлимыми.
При проведении регрессионного анализа для всех результативных показателей выполнены все требования, принятые при постановке задачи. Построим таблицу результатов регрессионного анализа (таблица 9).
|
|
|
Таблица 9. - Сводная таблица результатов регрессионного анализа
| Код перемен-ной | Стандартная ошибка (Error of estimate) | Критерий Фишера (F) | Mean | Error of estimate / Mean | Коэффициент множественной детерминации (R) | Скорректированный коэффициент множественной детерминации (R?) |
| y1 | 28805 | 152,66 | 1015553 | 0,03363 | 0,99851 | 0,99703 |
| y2 | 0.72241 | 72.872 | 21.0582 | 0,03423 | 0,99689 | 0,99380 |
| y4 | 0.02641 | 7.7872 | 0.1148 | 0.0147 | 0,99689 | 0,99380 |
| y5 | 0,0281 | 26,169 | 0.6002 | 0.0229 | 0,99142 | 0,98292 |
| y6 | 0,01661 | 68,892 | 0.3012 | 0.0043 | 0,99671 | 0,993444 |
| y7 | 2204.5 | 1095.7 | 135374 | 0,016284 | 0,99979 | 0,999585 |
Оптимизация
Перед началом оптимизации оценим качество полученного уравнения регрессии для у1:
Уравнение регрессии имеет вид:
y1 = -582521+ x1*238211 + x2* 73808 - x3*45905 - x4*494 - x1*x1*25162- x2*x2*1246 + x3*x3*4313 + x4*x4*0,32 + x1*x4*28 + x2*x4*5 + x3*x4*33
Подставив в полином кодированные значения x1,x2x3x4, получим значения f(x1,x2,x3,x4).
| № Эксперимента | x1 | x2 | x3 | х4 | y1 | f (x1,x2,x3,x4) | ||
| 1 | 5 | 18 | 6 | 1000 | 1 056 000 | 1 039 514 | ||
| 2 | 3
| 12 | 4 | 500 | 477 000 | 467 296,6 | ||
| 3 | 7 | 12 | 4 | 1500 | 1 026 000 | 1 006 988 | ||
| 4 | 3 | 24 | 4 | 1500 | 1 339 200 | 1 340 322 | ||
| 5 | 7 | 24 | 4 | 500 | 873 000 | 853 002,6 | ||
| 6 | 3 | 12 | 8 | 1500 | 1 096 200 | 1 124 202 | ||
| 7 | 7 | 12 | 8 | 500 | 562 800 | 564 882,6 | ||
| 8 | 3 | 24 | 8 | 500 | 927 000 | 934 216,6 | ||
| 9 | 7 | 24 | 8 | 1500 | 1 669 200 | 1 665 908 | ||
| 10 | 3 | 18 | 6 | 1000 | 936 000 | 902 598,7 | ||
| 11 | 8 | 18 | 6 | 1000 | 946 200 | 958 784,6 | ||
| 12 | 5 | 12 | 6 | 1000 | 793 800 | 794 657,1 | ||
| 13 | 5 | 24 | 6 | 1000 | 1 200 000 | 1 202 177 | ||
| 14 | 5 | 18 | 4 | 1000 | 945 000 | 982 817,1 | ||
| 15 | 5 | 18 | 8 | 1000 | 1 173 000 | 1 138 217 | ||
| 16 | 5 | 18 | 6 | 500 | 816 000 | 833 764,5 | ||
| 17 | 5 | 18 | 6 | 1500 | 1 428 000 | 1 413 270 |
Вычислим СКО. Для вычислений воспользуемся пакетом прикладных программ MicrosoftExcel:
n - q - 1 = 17 - 11 - 1 = 5
= 5846033528
= 5846033528 / 5 = 34193,6647
= 34193,6647
Поставим задачу оптимизации как задачу нахождения минимального значения результативного показателя эффективности у1 - стоимость затрат на сборку ПК, за счет выбора оптимальных значений xi, i = 
при ограничениях на другие результативные показатели эффективности и факторы.
Таким образом, ставится задача поиска минимального значения стоимости затрат:
f1(x1, x2, x3, x4, x5, х6, х7) →min
При ограничениях на переменные хi, j=1,3
3 
7;
12 
24;
4 
8;
х4 = 1000.
Ограничения на показатели эффективности y2,y4, y5, y6, y7 заданы так, что фактически не превышают лучшие результаты, достигнутые путем проведения экспериментов по стратегическому планированию, и представляют собой минимальные и максимальные из ранее достигнутых значений.
| № Эксперимента | y2 | у4 | у5 | у6 | y7 |
| 1 | 22 | 0.101 | 0.566 | 0.278 | 130 680 |
| 2 | 15 | 0.130 | 0,516 | 0,325 | 68 760 |
| 3 | 30 | 0.082 | 0,754 | 0,482 | 256 680 |
| 4 | 24 | 0.232 | 0.701 | 0.576 | 151 560 |
| 5 | 15 | 0.054 | 0.395 | 0.321 | 61 200 |
| 6 | 29 | 0.192 | 0.771 | 0.234 | 224 940 |
| 7 | 14 | 0.056 | 0.544 | 0.169 | 83 580 |
| 8 | 15 | 0.128 | 0.399 | 0.160 | 49 440 |
| 9 | 26 | 0.093 | 0.683 | 0.273 | 195 360 |
| 10 | 20 | 0.190 | 0.647 | 0.321 | 117 300 |
| 11 | 19 | 0.073 | 0.658 | 0.321 | 144 300 |
| 12 | 21 | 0.106 | 0.727 | 0.293 | 166 260 |
| 13 | 20 | 0.115 | 0.589 | 0.319 | 120 240 |
| 14 | 21 | 0.108 | 0.615 | 0.448 | 131 880 |
| 15 | 23 | 0.099 | 0.559 | 0.203 | 130 440 |
| 16 | 16 | 0.072 | 0.396 | 0.149 | 62 460 |
| 17 | 28 | 0.121 | 0.685 | 0.250 | 206 280 |
Объективный факторы x4 в процессе оптимизации не меняется.
Для нахождения точки минимума функции воспользуемся методом Ньютона. Метод Ньютона требует, чтобы оптимизируемая функция была дважды дифференцируема. В экстремальной точке производная функции 
равна нулю и корень уравнения 
можно искать приближённо методом касательных, который заключается в построении последовательных приближённых 
, 
следующим образом. В точке 
строится касательная и точка пересечения касательной с осью абсцисс берётся в качестве следующего приближения 
.
, (1.0)
Вычисления 
по формуле (1.0) продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство 
, после чего полагают экстремальное значение 
.
Вычислим первую и вторую производные функции для каждого фактора отдельно.
-582521+ x1*238211 + x2* 73808 - x3*45905 - x4*494 - x1*x1*25162- x2*x2*1246 + x3*x3*4313 + x4*x4*0,32 + x1*x4*28 + x2*x4*5 + x3*x4*33
Производные для фактора х1:
= 238211 - x1*25162*2 + x4*28
= -25162*2
Производные для фактора х2:
= 73808 - 2*x2*1246 + x4*5
= - 2*1246
Производные для фактора х3:
= - 45905 + x3*2*4313 + x4*33
=2*4313
Диапазон поиска экстремального значения от х1лев=3 до х1прав=7, от х2лев=12 до х2прав=20, от х3лев=4 дох3прав=8. Убедимся, что на выбранном диапазоне поиска первая производная хотя бы один раз поменяла знак, для этого воспользуемся ППП Excel:
(Х1лев) = 115239, (Х1прав) = -86057
(Х2лев) = 28904, 
(Х2прав) = -1000
(Х3лев) = -8401, 
(Х3прав) = 26103
Требуемое условие выполнено. Начнём процедуру поиска. Для нахождения экстремума используем программу следующего вида, где исходные точки х1=3, x2=12, х3=4.
#include"stdafx.h"
#include"conio.h"
#include"stdio.h"
#include"math.h"
int main()
{
int n = 0;
float x0, y0, x1,x2,x3, y1, f, A1,A2,A3, E=0.001,x10,x20,x30;
x10 = 3;
x20 = 12;
x30 = 4;
float y,x4;
x4=1000;
do
{
y=-582521+ x10*238211 + x20* 73808 - x30*45905 - x4*494 - x10*x10*25162- x20*x20*1246 + x30*x30*4313 + x4*x4*0.32 + x10*x4*28 + x20*x4*5 + x30*x4*33;
x1=x10-(238211 - x10*25162*2 + x4*28)/(-25162*2);
x2=x20-(73808 - 2*x2*1246 + x4*5 )/(- 2*1246);
x3=x30-(- 45905 + x3*2*4313 + x4*33)/(2*4313 );
A1=fabs(x1-x10);
A2=fabs(x2-x20);
A3=fabs(x3-x30);
n++;
printf("%d %.4f %.4f %.4f %.4f\n", n, x10, x20, x30, y);
x10=x1;
x20=x2;
x30=x3;
}
while(A1>E || A2>E || A3>E);
getch();
return 0;
}
В результате решения программы получено экстремальное значение равное 5.28, 31.62, 1.49.
Значение функции в этой точке менялось по шагам от 727455.23 в исходной точке и до 1184073,7500 после 11-го шага, т.е. поиск вел к точке максимума заданной функции. Следовательно, за точку минимума принимаем минимальное полученное значение в ходе решения программы.
Этой точке соответствует значение 727455.2500, и переменные соответственно:
х1=2.75, x2=12.25, х3=4.15.
Подставим значения х1=3, x2=12, х3=4 в программу, в результате получим:
GPSS World Simulation Report - Untitled Model 1.8.1
Tuesday, May 27, 2014 16:48:08
START TIME END TIME BLOCKS FACILITIES STORAGES
0.000 10724.667 42 12 3
NAME VALUE
BRAK 36.000
BRAKOV 10008.000
FINAL 40.000
KOL 10009.000
KONTR 10005.000
KONTRA 10002.000
KONTRR 2.000
RAZBOR 27.000
SBOR 7.000
SBORSH 10006.000
SBORSHA 10003.000
SMENI 10011.000
TESTA 10004.000
TESTI 17.000
TESTR 10007.000
TIME 10001.000
VIHOD 32.000
VREMA 10000.000
ZATRATI 10010.000
LABEL LOC BLOCK TYPE ENTRY COUNT CURRENT COUNT RETRY
1 GENERATE 1000 0 0
KONTRR 2 GATE 1052 0 0
3 ENTER 1052 0 0
4 ADVANCE 1052 0 0
5 LEAVE 1052 0 0
6 TRANSFER 1052 0 0
SBOR 7 QUEUE 930 0 0
8 GATE 930 0 0
9 DEPART 930 0 0
10 ENTER 930 0 0
11 SELECT 930 0 0
12 GATE 930 0 0
13 SEIZE 930 0 0
14 ADVANCE 930 0 0
15 RELEASE 930 0 0
16 LEAVE 930 0 0
TESTI 17 GATE 930 0 0
18 ENTER 930 0 0
19 ADVANCE 930 0 0
20 LEAVE 930 0 0
21 ADVANCE 930 0 0
22 GATE 930 0 0
23 ENTER 930 0 0
24 ADVANCE 930 0 0
25 LEAVE 930 0 0
26 TRANSFER 930 0 0
RAZBOR 27 GATE 52 0 0
28 ENTER 52 0 0
29 ADVANCE 52 0 0
30 LEAVE 52 0 0
31 TRANSFER 52 0 0
VIHOD 32 TABULATE 878 0 0
33 SAVEVALUE 878 0 0
34 TEST 878 0 0
35 TERMINATE 877 0 0
BRAK 36 TABULATE 122 0 0
37 SAVEVALUE 122 0 0
38 TEST 122 0 0
39 TERMINATE 122 0 0
FINAL 40 SAVEVALUE 1 0 0
41 SAVEVALUE 1 0 0
42 TERMINATE 1 0 0
FACILITY ENTRIES UTIL. AVE. TIME AVAIL. OWNER PEND INTER RETRY DELAY
1 76 0.350 49.435 1 0 0 0 0 0
2 78 0.349 48.015 1 0 0 0 0 0
3 78 0.350 48.055 1 0 0 0 0 0
4 78 0.347 47.711 1 0 0 0 0 0
5 77 0.350 48.738 1 0 0 0 0 0
6 77 0.348 48.482 1 0 0 0 0 0
7 77 0.347 48.311 1 0 0 0 0 0
8 77 0.349 48.554 1 0 0 0 0 0
9 79 0.350 47.539 1 0 0 0 0 0
10 78 0.348 47.906 1 0 0 0 0 0
11 77 0.349 48.660 1 0 0 0 0 0
12 78 0.348 47.902 1 0 0 0 0 0
QUEUE MAX CONT. ENTRY ENTRY(0) AVE.CONT. AVE.TIME AVE.(-0) RETRY
SBORSH 647 0 930 26 207.303 2390.600 2459.356 0
STORAGE CAP. REM. MIN. MAX. ENTRIES AVL. AVE.C. UTIL. RETRY DELAY
KONTR 3 3 0 3 1052 1 0.489 0.163 0 0
SBORSH 12 12 0 12 930 1 7.746 0.646 0 0
TESTR 4 4 0 4 1912 1 1.619 0.405 0 0
TABLE MEAN STD.DEV. RANGE RETRY FREQUENCY CUM.%
VREMA 4498.027 2372.654 0
0.000 - 1000.000 71 7.10
1000.000 - 2000.000 118 18.90
2000.000 - 3000.000 125 31.40
3000.000 - 4000.000 118 43.20
4000.000 - 5000.000 123 55.50
5000.000 - 6000.000 136 69.10
6000.000 - 7000.000 120 81.10
7000.000 - 8000.000 121 93.20
8000.000 - 9000.000 61 99.30
9000.000 - 10000.000 6 99.90
10000.000 - 11000.000 1 100.00
SAVEVALUE RETRY VALUE
TIME 0 5.000
KONTRA 0 3.000
SBORSHA 0 12.000
TESTA 0 4.000
BRAKOV 0 122.000
KOL 0 878.000
ZATRATINASMENU 0 31800.000
SMENI 0 22.343
Результаты:
| № Эксперимента | y1 | y2 | у4 | у5 | у6 | y7 |
| 18 | 731 400 | 23 | 0.163 | 0.646 | 0.405 | 143 400 |
Значения результативных показателей в области допустимых значений, следовательно из полученных результатов оптимальной точкой можно считать точку с координатами х1=3, х2=12, х3=4.
По результатам оптимизации проведем регрессионный анализ с помощью программы Statistica 12.0 и выведем формулу, характеризующую зависимость оптимизируемых факторов от объективного фактора.
Результаты множественной регрессии для оптимизируемого фактора Х1:
В результате регрессионного анализа было получено следующее уравнение для x1:
x1= 4,571429 + 0,001143 * х4 -0,000001 * х4*х4
Результаты множественной регрессии для оптимизируемого фактора Х2:
В результате регрессионного анализа было получено следующее уравнение для x2:
x2= 18,00000+ 0,0000014 * х4 - -0,000000000014 * х4*х4
Результаты множественной регрессии для оптимизируемого фактора Х3:
В результате регрессионного анализа было получено следующее уравнение для x3:
x3= 6,000000+ 0,00000027 * х4 - -0,00000000000027 * х4*х4
Для оптимизации выбран метод Ньютона и использована программа на С++.
По результатам оптимизации проведён регрессионный анализ с помощью стандартной процедуры программы Statistica 12.0 и выведены формулы для вычисления значений оптимизируемых факторов по объективным факторам.
Выводы
В ходе выполнения курсовой работы была создана имитационная модель функционирование сборки персональных компьютеров на языке GPSSWorld. В процессе работы была проведена оптимизация факторов, влияющих на поведение исследуемого объекта. За факторы, влияющие на исследуемый объект, были взяты х1, х2, х3 –диапазоны изменения количества работников и х4 - количество ПК.
В результате оптимизации были получены следующие результаты: при сборке 1000 ПК минимум затрат будет осуществляться при х1=3, х2=12 и х3=4, за 23 смены.
Используемая литература.
1. Якимов И.М., Трегубов В.М. “Основы программирования и отладки имитационных моделей на языке GPSS/PC” – Казань, КГТУ, 1996
2. Якимов И.М. “Моделирование систем” – Казань, КАИ, 1980
3. Шрайбер Т.Д. “Моделирование на GPSS-V” – Москва, Машиностроение, 1980
4. Венцель “Теория вероятностей ” 1954
5. Справочник “Статистика”, т. 2 1983
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 244; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!