Алгоритм нахождения критического пути



 

Cетевые модели имеют ряд характеристик, которые позволяют определить степень напряженности выполнения отдельных работ, а также всего их комплекса и принять решение о перераспределении ресурсов.

Работа характеризует материальное действие, требующее использования ресурсов, или логическое, требующее лишь взаимосвязи событий. При графическом представлении работа изображается стрелкой, которая соединяет два события. Она обозначается парой заключенных в скобки чисел (i,j), где i — номер события, из которого работа выходит, а j — номер события, в которое она входит.

Работа не может начаться раньше, чем свершится событие, из которого она выходит. Каждая работа имеет определенную продолжительность t (i,j). Например, запись t(2,5) = 4 означает, что работа (2,5) имеет продолжительность 5 единиц. К работам относятся также такие процессы, которые не требуют ни ресурсов, ни времени выполнения. Они заключаются в установлении логической взаимосвязи работ и показывают, что одна из них непосредственно зависит от другой; такие работы называются фиктивными и на графике изображаются пунктирными стрелками.

Событиями называются результаты выполнения одной  или нескольких работ. Они не имеют протяженности во времени. Событие свершается в тот момент, когда оканчивается последняя из работ, входящая в него. События обозначаются одним числом и при графическом представлении сетевая модель изображаются кружком (или иной геометрической фигурой), внутри которого проставляется его порядковый номер (i = 1, 2, ..., n).

В сетевой модели имеется начальное событие (с номером 1), из которого работы только выходят, и конечное событие (с номером N), в которое работы только входят.

Путь — это цепочка следующих друг за другом работ, соединяющих начальную и конечную вершины, например, в приведенной выше модели путями являются L1 = (1, 2, 3, 7, 10, 11), L2 = (1, 2, 4, 6, 11) и др.

 

Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих его работ. Путь, имеющий максимальную длину, называют критическим и обозначают LKp, а его продолжительность — tкр. Работы, принадлежащие критическому пути, называются критическими. Их несвоевременное выполнение ведет к срыву сроков всего комплекса работ.

Cетевая модель имеют ряд характеристик, которые позволяют определить степень напряженности выполнения отдельных работ, а также всего их комплекса и принять решение о перераспределении ресурсов.

Перед расчетом СМ следует убедиться, что она удовлетворяет следующим основным требованиям:

1. События правильно пронумерованы, т. е. для каждой работы (i, j) i <j. При невыполнении этого требования необходимо использовать алгоритм пере нумерации;

2. На приведенном рисунке такая проблема возникает с работами (3,2) и (4,3).

3. Отсутствуют тупиковые события (кроме завершающего), т. е. такие, за которыми не следует хотя бы одна работа (событие 5);

4. Отсутствуют события (за исключением исходного), которым не предшествует хотя бы одна работа (событие 7);

5.  Отсутствуют циклы, т. е. замкнутые пути, соединяющие событие с ним же самим (см. путь (2,4,3)).

При невыполнении указанных требований бессмысленно приступать к вычислениям характеристик событий, работ и критического пути.

 

Для событий рассчитывают три характеристики: ранний и поздний срок совершения события, а также его резерв.

Ранний срок свершения события определяется величиной наиболее длительного отрезка пути от исходного до рассматриваемого события, причем tр(1) = 0, a tр (N) = tKp(L):

tр(j)=max {tр(j) +(i,j)}; j=2,N


Поздний сроксвершения события характеризует самый поздний допустимый срок, к которому должно совершиться событие, не вызывая при этом срыва срока свершения конечного события:

tn (i) = min { tn (i) - t(i,j)}; j=2,N-1


Этот показатель определяется «обратным ходом», начиная с завершающего события, с учетом соотношения tn(N)= tp(N).Все события, за исключением событий, принадлежащих критическому пути, имеют резерв R(i):

R(i)=tn (i) - tp (i)

 

Все события, за исключением событий, принадлежащих критическому пути, имеют резерв R(i):R(i)=tn(i) - tp(i)

Резерв показывает, на какой предельно допустимый срок можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения всего комплекса работ. Для всех работ (i,j) на основе ранних и поздних сроков свершения всех событий можно определить показатели:

Ранний срок окончания- tpo(i,j) =tp(i) +t(i,j)


Поздний срок окончания- tno(U)=tn(j)

 
Поздний срок начала - tпн(i,j) =tn(j) - t(i,j)

Полный резерв времени- Rn(i,j)= tn(j) -tp(i) - t(i,j),

Независимый резерв- Rн(i,j)=max{0;tp(j)–tn(i) - t(i,j)}== max {0; Rn(i,j)-R(i)-R(j)}.


Полный резерв времени показывает, на сколько можно увеличить время выполнения конкретной работы при условии, что срок выполнения всего комплекса работ не изменится.

Независимый резерв времени соответствует случаю, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие — начинаются в ранние сроки. Использование этого резерва не влияет на величину резервов времени других работ.

 

Путь характеризуется двумя показателями — продолжительностью и резервом. Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих его работ.

Резерв определяется как разность между длинами критического и рассматриваемого путей. Из этого определения cледует, что работы, лежащие на критическом пути, и сам критический путь имеют нулевой резерв времени. Резерв времени пути показывает, на сколько может увеличиться продолжительность работ, составляющих данный путь, без изменения продолжительности общего срока выполнения всех работ.

Перечисленные выше характеристики СМ могут быть получены на основе приведенных аналитических формул, а процесс вычислений отображен непосредственно на графике, либо в матрице (размерности N*N), либо в таблице.

Рассмотрим последний указанный способ для расчета СМ, которая представлена на рисунке .

 

Результаты расчета приведены в таблице

 

   приведенном рисунке такая проблема возникает с работами (3,2) и (4,3) Кпр (i,j) t(i,j) t(i,j)= tp tpo(i,j) t(i,j) tno(i,j)= tn Rn Rн Кн
1 2 3 4 5=4+3 6=7-3 7 8 9 10
0 (1,2) 6 0 6 0 6 0 0 1
1 (2,3) 5 6 11 12 17 6 0 0,67
1 (2,4) 3 6 9 6 9 0 0 1
1 (2,5) 4 6 10 11 15 5 5 0,44
1 (3,7) 1 11 12 17 18 6 0 0,67
1 (4,5) 6 9 15 9 15 0 0 1
1 (4,6) 4 9 13 17 21 8 0 0,47
1 (4,9) 7 9 16 14 21 5 0 0,67
2 (5,8) 3 15 18 17 20 2 0 0,78
2 (5,10) 9 15 24 15 24 0 0 1
1 (6,9) 0 13 13 21 21 8 0 0,38
1 (6,11) 5 13 18 28 33 15 7 0,38
1 (7,10) 6 12 18 18 24 6 0 0,67
1 (8,10) 4 18 22 20 24 2 0 0,78
2 (9,10) 3 16 19 21 24 5 0 0,67
4 (10,11) 9 24 33 24 33 0 0 1

Перечень работ и их продолжительность перенесем во вторую и третью графы таблицы. При этом работы следует последовательно записывать в гр. 2: сперва начинающиеся с номера 1, затем с номера 2 и т.д.

В первой графе поставим число Кпр, характеризующее количество работ, непосредственно предшествующих событию, с которого начинается рассматриваемая работа. Для работ, начинающихся с номера «1», предшествующих работ нет. Для работы, начинающейся на номер «k», просматриваются все верхние строчки второй графы таблицы и отыскиваются строки, оканчивающиеся на этот номер. Количество найденных работ записывается во все строчки, начинающиеся с номера «k». Например, для работы (5,8) в гр. 1 поставим цифру 2, так как в гр. 2 на номер 5 оканчиваются две работы: (2,5) и (4,5).

Заполнение таблицы начинается с расчета раннего срока начала работ. Для работ, имеющих цифру «ноль» в первой графе, в гр. 4 также заносятся нули, а их значение в гр. 5 получается в результате суммирования гр. 3 и 4. В нашем случае таких работ только одна — (1, 2), поэтому в гр. 4 в соответствующей ей строке проставим 0, а в гр. 5 — 0+6 = 6.

Для заполнения следующих строк гр.4, т. е. строк, начинающихся с номера 2, просматриваются заполненные строки гр. 5, содержащие работы, которые оканчиваются на этот номер, и максимальное значение переносится в гр. 4 обрабатываемых строк. В данном случае такая работа лишь одна (1, 2), о чем можно судить по гр. 1. Цифру 6 из гр. 5 переносим в гр.4 для всех работ, начинающихся с номера 2, т. е. в три последующие строки с номерами (2, 3), (2, 4), (2, 5). Далее для каждой из этих работ путем суммирования их значений гр. 3 и 4 сформируем значение гр.5.:

tpo(2.3) = 5 + 6 =11   tpo(2.4) = 3 + 6 = 9

Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет заполнена последняя строка таблицы. Графы 7 и 6 заполняются «обратным ходом», т. е. снизу вверх. Для этого просматриваются строки, оканчивающиеся на номер последнего события, и из гр. 5 выбирается максимальная величина, которая записывается в гр. 7 по всем строчкам, оканчивающимся на номер последнего события (см. формулу tn(N) = tp(N)). В нашем случае t(N) = 33. Затем для этих строчек находится содержимое гр. 6 как разность между гр. 7 и 3. Имеем: tpo(10,11) = 33 - 9 = 24.

Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на номер события, которое непосредственно предшествует завершающему событию (10). Для определения гр.7 этих строк (работы (5,10), (7,10), (8,10), (9,10)) просматриваются все строчки гр.6, лежащие ниже и начинающиеся с номера 10. В гр. 6 среди них выбирается минимальная величина, которая переносится в гр. 7 по обрабатываемым строчкам. В нашем случае она одна — (10,11), поэтому заносим во все строки указанных работ цифру «24». Процесс повторяется до тех пор, пока не будут заполнены все строки по гр. 6 и 7.

Содержимое гр. 8 равно разности гр. 6 и 4 или гр. 7 и 5 . Гр. 9 проще получить, воспользовавшись формулой. Учитывая, что нулевой резерв времени имеют только события и работы, которые принадлежат критическому пути, получаем, что критическим является путь

LKp = (1,2,4,5,10,11), а tкр= 33 дня.

Для оптимизации сетевой модели, выражающейся в перераспределении ресурсов с ненапряженных работ на критические для ускорения их выполнения, необходимо как можно более точно оценить степень трудности своевременного выполнения всех работ, а также «цепочек» пути. Более точным инструментом решения этой задачи по сравнению с полным резервом является коэффициент напряженности, который может быть вычислен одним из двух способов по приводимой ниже формуле:

KH=(i,j)=t(Lmax)-tкp /tкp - tkp= 1- Rn - Rn (i,j)/ tкp – tкp

где t(L max) — продолжительность максимального пути, проходящего через работу (i,j);

tкp - продолжительность отрезка рассматриваемого пути, совпадающего с критическим путем.

Коэффициент напряженности изменяется от нуля до единицы, причем, чем он ближе к единице, тем сложнее выполнить данную работу в установленный срок. Самыми напряженными являются работы критического пути, для которых он равен 1. На основе этого коэффициента все работы СМ могут быть разделены на три группы:

1. напряженные (KH(i,j) > 0,8);

2. под критические (0,6 < KH(i,j) < 0,8);

3. резервные ( KH (i,j) < 0,6).

В результате перераспределения ресурсов стараются максимально уменьшить общую продолжительность работ, что возможно при переводе всех работ в первую группу. При расчете этих показателей целесообразно пользоваться графиком СМ. Итак, для работ критического пути (1,2), (2,4), (4,5),(5,10),(10,11) Kн=1. Для других работ:

Kн(2,3) = 1 - (6: (33 - (6 + 9)) = 1- 0,33 = 0,67

Kн (4,9) - 1 - (5: (33 - (6 + 3 + 9)) = 1 - 0,33 = 0,67

Kн (5,8) = 1 - (2: (33 - (6 + 3 + 6 + 9)) = 1 - 0,22 = 0,78 и т.д.

В соответствии с результатами вычислений Кн для остальных работ, которые представлены в последней графе табл.1, можно утверждать, что оптимизация СМ возможна в основном за счет двух резервных работ: (6,11) и (2,5).

 

Варианты заданий

Вариант 1.

Рассчитать основные параметры сетевого графика (модели), представленного на рисунке.

Вариант 2.

На рисунке приведен сетевой график с указанием продолжительности работ (в сутках).

Требуется:

 1) пронумеровать события;

 2) определить критический путь и его длину;

 3) резервы времени каждого события;

 4) полные резервы времени работ, не лежащих на критическом пути;

 5) коэффициенты напряженности некритических работ.

 

Вариант 3.

 В таблице приведены оценки времени выполнения работ сетевого графика, составленные ответственными исполнителями и экспертами.

Требуется:

1) построить сетевой график;

2) определить средние значения продолжительности работ;

3) проведя расчет сетевого графика, определить топологию критического пути и его продолжительность.

Предполагая, что случайная величина t(Lкр) имеет нормальное распределение, найти:

4) вероятность того, что время выполнения всего проекта не превышает: а) 23 суток; б) 17 суток; 5) максимальное значение продолжительности выполнения проекта, которое гарантируется с вероятностью 0,95.

 

Вариант 4.

 В таблице приведены оценки времени сетевого графика, данные ответственными исполнителями и экспертами.

Требуется:

1) построить сетевой график;

 2) произвести полный расчет сетевого графика.

Предполагая, что случайная величина tкр имеет нормальное распределение, найти:

 3) вероятность того, что время выполнения всего проекта составит: а) 34 сут.; б) 28 сут.;

4) минимальное время, необходимое для выполнения проекта с надежностью 90%.

 

Вариант 5.

В таблице приведены оценки времени выполнения работ сетевого графика, данные специалистами, ответственными за выполнение проекта.

Указание. Для вычисления среднего значения времени выполнения работ использовать формулу

а для дисперсии

 

1. Требуется определить критический путь и его длину.

2. Предполагая, что случайная величина tкр имеет нормальное

распределение, найти:

а) вероятность выполнения проекта за 25 сут. и 18 сут. соответственно; ) минимальное время, необходимое для выполнения проекта с надежностью 90%.

 

Вариант 6.

В таблице приведены оценки времени выполнения работ сетевого графика, составленные ответственными исполнителями и экспертами.

Работа (i,j)

Время выполнении

tmin(i,j) tmax(i,j)
(1,2) 2 4
(1,3) 4 7
(2,4) 5 8
(3,4) 3 5
(2,5) 8 11
(3,6) 4 7
(4,8) 9 12
(5,9) 2 5
(6,7) 7 9
(6,8) 9 11
(8,9) 12 16
(8,10) 3 5
(7,10) 6 9
(9,11) 8 11
(10,11) 5 7

 

Требуется:

1) построить сетевой график;

2) определить средние значения продолжительности работ;

3) проведя расчет сетевого графика, определить топологию критического пути и его продолжительность.

 

Вариант 7.

Рассчитать основные параметры сетевого графика (модели), представленного на рисунке.

Вариант 8.

Рассчитать основные параметры сетевого графика (модели), представленного на рисунке.

 

 Вариант 9.

Рассчитать основные параметры сетевого графика (модели), представленного на рисунке.

Вариант 10.

Рассчитать основные параметры сетевого графика (модели), представленного на рисунке.

Вариант 11.

В таблице приведены оценки времени выполнения работ сетевого графика, составленные ответственными исполнителями и экспертами.

Работа (i,j)

Время выполнении

tmin(i,j) tmax(i,j)
(1,2) 2 5
(1,3) 5 8
(2,4) 6 7
(3,4) 2 4
(2,5) 6 9
(3,6) 3 5
(4,8) 8 11
(5,9) 3 6
(6,7) 7 9
(6,8) 8 12
(8,9) 11 15
(8,10) 4 5
(7,10) 7 9
(9,11) 6 10
(10,11) 5 8

 

Требуется:

1) построить сетевой график;

2) определить средние значения продолжительности работ;

3) проведя расчет сетевого графика, определить топологию критического пути и его продолжительность.

 

Вариант 12.

В таблице приведены оценки времени выполнения работ сетевого графика, составленные ответственными исполнителями и экспертами.

Работа (i,j)

Время выполнении

tmin(i,j) tmax(i,j)
(1,2) 3 5
(1,3) 4 6
(1,4) 5 8
(2,7) 3 7
(2,3) 2 6
(3,6) 6 8
(3,8) 5 7
(3,9) 3 5
(4,6) 5 8
(6,9) 7 9
(6,11) 2 5
(7,8) 5 7
(7,10) 9 11
(8,10) 6 9
(9,11) 3 6
(9,12) 4 6
(10,12) 5 8
(11,13) 5 7
(12,13) 2 4

 

Требуется:

1) построить сетевой график;

2) определить средние значения продолжительности работ;

3) проведя расчет сетевого графика, определить топологию критического пути и его продолжительность.

Вариант 13.

На рисунке приведен сетевой график с указанием продолжительности работ (в сутках).

 

Требуется:

 1) пронумеровать события;

 2) определить критический путь и его длину;

 3) резервы времени каждого события;

 4) полные резервы времени работ, не лежащих на критическом пути;

 5) коэффициенты напряженности некритических работ.

Вариант 14.

На рисунке приведен сетевой график с указанием продолжительности работ (в сутках).

Требуется:

 1) пронумеровать события;

 2) определить критический путь и его длину;

 3) резервы времени каждого события;

 4) полные резервы времени работ, не лежащих на критическом пути;

 5) коэффициенты напряженности некритических работ.

Вариант 15.

На рисунке приведен сетевой график с указанием продолжительности работ (в сутках).

Требуется:

 1) пронумеровать события;

 2) определить критический путь и его длину;

 3) резервы времени каждого события;

 4) полные резервы времени работ, не лежащих на критическом пути;

 5) коэффициенты напряженности некритических работ.

 

Вариант 16.

Рассчитать основные параметры сетевого графика (модели), представленного на рисунке.

Вариант 17.

Рассчитать основные параметры сетевого графика (модели), представленного на рисунке.

 

Вариант 18.

На рисунке приведен сетевой график с указанием продолжительности работ (в сутках).

Требуется:

 1) пронумеровать события;

 2) определить критический путь и его длину;

 3) резервы времени каждого события;

 4) полные резервы времени работ, не лежащих на критическом пути;

 5) коэффициенты напряженности некритических работ.

Вариант 19.

В таблице приведены оценки времени выполнения работ сетевого графика, составленные ответственными исполнителями и экспертами.

Работа (i,j)

Время выполнении

tmin(i,j) tmax(i,j)
(1,2) 3 5
(1,3) 4 6
(2,4) 5 8
(2,5) 3 7
(3,4) 2 6
(3,6) 6 8
(5,7) 5 7
(5,8) 3 5
(7,10) 5 8
(8,10) 7 9
(9,10) 2 5

 

 

Требуется:

1) построить сетевой график;

2) определить средние значения продолжительности работ;

3) проведя расчет сетевого графика, определить топологию критического пути и его продолжительность.

 

Вариант 20.

В таблице приведены оценки времени выполнения работ сетевого графика, составленные ответственными исполнителями и экспертами.

Работа (i,j)

Время выполнении

tmin(i,j) tmax(i,j)
(1,2) 2 5
(1,3) 5 8
(1,4) 3 7
(2,5) 6 7
(2,7) 2 4
(3,5) 6 9
(3,6) 3 5
(4,6) 4 6
(5,7) 3 5
(5,8) 4 7
(6,8) 8 11
(6,9) 3 6
(7,10) 7 9
(8,9) 8 12
(8,10) 4 5
(9,10) 5 8

 

Требуется:

1) построить сетевой график;

2) определить средние значения продолжительности работ;

3) проведя расчет сетевого графика, определить топологию критического пути и его продолжительность.

 


Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 329;