Системы массового обсЛуживания

Задание 1.

В систему массового обслуживания (СМО) поступает в среднем λ заявок [1/час]. Найти вероятность того, что за время t [мин] в СМО поступит:

а) ровно k заявок;

б) менее k заявок;

в) более k заявок.

Варианты задания:

1. λ = 60; t = 5; k = 4.

2. λ = 120; t = 2; k = 3.

3. λ = 40; t = 6; k = 5.

4. λ = 30; t = 4; k = 4.

5. λ = 150; t = 3; k = 3.

6. λ = 80; t = 2; k = 5.

7. λ = 40; t = 3; k = 4.

8. λ = 100; t = 2; k = 3.

9. λ = 60; t = 5; k = 4.

10. λ = 40; t = 4; k = 5.

Задание 2.

Испытывают три элемента, работающих независимо друг от друга. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону и равна t₁, t₂, t₃ [час]. Найти вероятность того, что в интервале времени [0, t_отк] откажут:

а) только один элемент;

б) не более 2-х элементов;

в) все три элемента.

Варианты задания:

1. t₁ = 20; t₂ = 50; t₃ = 40; t_отк = 18.

2. t₁ = 10; t₂ = 20; t₃ = 25; t_отк = 15.

3. t₁ = 20; t₂ = 8; t₃ = 10; t_отк = 6.

4. t₁ = 8; t₂ = 4; t₃ = 5; t_отк = 3.

5. t₁ = 10; t₂ = 5; t₃ = 4; t_отк = 5.

6. t₁ = 12; t₂ = 9; t₃ = 12; t_отк = 8.

7. t₁ = 16; t₂ = 12; t₃ = 26; t_отк = 12.

8. t₁ = 14; t₂ = 10; t₃ = 18; t_отк = 18.

9. t₁ = 10; t₂ = 25; t₃ = 14; t_отк = 16.

10. t₁ = 22; t₂ = 16; t₃ = 18; t_отк = 15.

Задание 3.

Рассматривается система с дискретными состояниями и дискретным временем (цепь Маркова). Задана матрица вероятностей перехода за один шаг. Требуется:

а) построить размеченный граф состояний;

б) найти распределение вероятностей для первых 3-х шагов, если известно, что в начальный момент времени (t₀ = 0) система находилась в j-ом состоянии с вероятностью p_j(0).

Варианты задания:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Задание 4.

Рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным временем. Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов. Все потоки событий простейшие. Требуется:

а) составить матрицу интенсивностей переходов;

б) составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний;

в) найти предельное распределение вероятностей.

Варианты задания:

1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Задание 5.

Рассматривается n-канальная система массового обслуживания (СМО) с отказами. Поток заявок, поступающих в СМО, простейший с интенсивностью λ [1/час]. Среднее время обслуживания заявки равно t_об [мин]. Время обслуживания распределено по показательному закону. Определить:

а) число каналов, при котором вероятность того, что заявка получит отказ, не больше α;

б) абсолютную пропускную способность СМО;

в) среднее число каналов, занятых обслуживанием заявок;

г) среднее время пребывания заявки в СМО;

д) среднее время простоя одного (произвольно взятого) канала.

Варианты задания:

1. λ = 12; t_об = 12; α = 0,07. 6.λ = 6; t_об = 15; α = 0,02.

2. λ = 13; t_об = 12; α = 0,08. 7.λ = 7; t_об = 15; α = 0,03.

3. λ = 19; t_об = 6; α = 0,04. 8.λ = 11; t_об = 12; α = 0,05.

4. λ = 9; t_об = 15; α = 0,06. 9.λ = 5; t_об = 30; α = 0,07.

5. λ = 9; t_об = 12; α = 0,03. 10.λ = 11; t_об = 15; α = 0,09.

Задание 6.

Рассматривается n-канальная система массового обслуживания (СМО) с ожиданием. Поток заявок, поступающих в СМО, простейший с интенсивностью λ [1/час]. Среднее время обслуживания заявки равно t_об [мин]. Время обслуживания распределено по показательному закону. Определить:

а) существует ли стационарный режим работы СМО;

б) среднее число заявок, находящихся в СМО;

в) среднее время пребывания заявки в СМО;

г) вероятность того, что все каналы заняты;

д) среднее время простоя одного (произвольно взятого) канала.

Варианты	n	λ	t_об
1	5	18	15
2	4	5	30
3	3	18	6
4	5	30	6
5	4	19	6
6	3	10	12
7	5	22	12
8	4	20	7,5
9	3	14	7,5
10	3	12	12

Задание 7.

Рассматривается n-канальная система массового обслуживания (СМО) с ожиданием и ограничением на длину очереди. Число мест в очереди равно m. Поток заявок, поступающих в СМО, простейший с интенсивностью λ [1/час]. Среднее время обслуживания заявки равно t_об [мин]. Время обслуживания распределено по показательному закону.

Варианты задания:

1.n = 4; m = 3; λ = 6; t_об = 40. Определить:

а) среднее число заявок, находящихся под обслуживанием;

б) вероятность того, что заявка сразу же будет принята к обслуживанию;

в) вероятность того, что в СМО будет не более 2-х заявок.

2.n = 3; m = 4; λ = 8; t_об = 15. Определить:

а) вероятность того, что заявка получит отказ в обслуживании;

б) среднее число каналов, не занятых обслуживанием;

в) среднее время пребывания заявки в СМО;

3.n = 4; m = 2; λ = 4; t_об = 60. Определить:

а) среднее число заявок в СМО;

б) среднее время пребывания заявки в очереди;

в) вероятность того, что будет простаивать не более одного канала.

4. n = 3; m = 3; λ = 6; t_об = 20. Определить:

а) относительную пропускную способность СМО;

б) среднее число каналов, занятых обслуживанием заявок;

в) среднее время пребывания заявки в СМО.

5.n = 3; m = 4; λ = 9; t_об = 20. Определить:

а) абсолютную пропускную способность СМО;

б) среднее число заявок в очереди;

в) вероятность того, что не более 2-х каналов будут заняты обслуживанием заявок.

6.n = 3; m= 3; λ = 5; t_об = 30. Определить:

а) вероятность того, что заявка получит отказ в обслуживании;

б) среднее число заявок, находящихся под обслуживанием;

в) вероятность того, что менее 2-х заявок будут находиться в очереди на обслуживание.

7.n = 2; m = 4; λ = 6; t_об = 15. Определить:

а) среднее число свободных каналов;

б) вероятность того, что заявка будет принята в СМО;

в) вероятность того, что заявка, поступившая в СМО, встанет в очередь на

обслуживание.

8. n = 4; m = 3; λ = 5; t_об = 30. Определить:

а) среднее число заявок, находящихся в СМО;

б) вероятность того, что заявка сразу же будет принята к обслуживанию;

в) вероятность того, что не более 2-х каналов будет занято обслуживанием заявок.

9.n = 4; m= 3; λ = 9; t_об = 20 . Определить:

а) абсолютную пропускную способность;

б) среднее время пребывания заявки в СМО;

в) среднее число заявок в очереди.

10.n = 3; m= 4; λ = 6; t_об = 15 . Определить:

а) относительную пропускную способность СМО;

б) среднее время ожидания заявки в очереди;

в) среднее число занятых каналов.

Задание 8.

Рассматривается n-канальная система массового обслуживания (СМО) без ограничения на длину очереди, но с ограничением на время ожидания. Заявка ожидает обслуживания в среднем t_ож [мин], а затем покидает СМО. Поток заявок, поступающих в СМО, простейший с интенсивностью λ [1/час], среднее время обслуживания заявки равно t_об [мин].

Варианты задания:

1.n = 4; λ = 8; t_об = 15; t_ож = 5. Определить:

а) абсолютную пропускную способность СМО;

б) среднее число заявок в очереди;

в) вероятность того, что в очереди будут находиться не более 2-х заявок.

2.n = 3; λ = 6; t_об = 30; t_ож = 15. Определить:

а) среднее число заявок, находящихся под обслуживанием;

б) вероятность того, что заявка уйдет из очереди не обслуженной;

в) вероятность того, что менее 3-х заявок будут находиться в очереди на обслуживание.

3.n = 4; λ = 9; t_об = 20; t_ож = 10. Определить:

а) вероятность того, что заявка будет обслужена;

б) среднее время пребывания заявки в СМО;

в) среднее число свободных каналов.

4.n = 3; λ = 10; t_об = 15; t_ож = 12. Определить:

а) среднее число заявок, находящихся в СМО;

б) вероятность того, что заявка сразу же будет принята к обслуживанию;

в) среднее время простоя канала.

5.n = 3; λ = 8; t_об = 30; t_ож = 10. Определить:

а) среднее число заявок в очереди;

б) абсолютную пропускную способность СМО;

в) среднее время пребывания заявки в СМО.

6.n = 4; λ = 10; t_об = 15; t_ож = 6. Определить:

а) среднее число занятых каналов;

б) относительную пропускную способность СМО;

в) среднее время ожидания заявки в очереди.

7.n = 3; λ = 6; t_об = 20; t_ож = 12. Определить:

а) вероятность того, что заявка сразу же будет принята к обслуживанию;

б) среднее число заявок, находящихся под обслуживанием;

в) вероятность того, что в СМО будет не более 4-х заявок.

8.n = 4; λ = 12; t_об = 12; t_ож = 6. Определить:

а) вероятность того, что заявка уйдет из СМО не обслуженной;

б) среднее время пребывания заявки в СМО;

в) среднее число каналов, не занятых обслуживанием.

9.n = 3; λ = 15; t_об = 12; t_ож = 3. Определить:

а) среднее число заявок в СМО;

б) среднее время простоя канала;

в) вероятность того, что будет простаивать не более одного канала.

10.n = 4; λ = 10; t_об = 12; t_ож = 3. Определить:

а) относительную пропускную способность СМО;

б) среднее время пребывания заявки в СМО;

в) среднее число каналов, занятых обслуживанием заявок.

Задание 9.

Рассматривается n-канальная система массового обслуживания (СМО) замкнутого типа с m источниками заявок. Поток заявок, поступающих в СМО, простейший с интенсивностью λ [1/час], среднее время обслуживания заявки равно t_об [мин].

Варианты задания:

1.n = 2; m = 7; λ = 3; t_об = 15. Определить:

а) среднее число заявок, находящихся под обслуживанием;

б) среднее время ожидания заявки в очереди;

в) вероятность того, что не менее 4-х источников будут находиться в активном

состоянии.

2.n = 3; m= 8; λ= 2; t_об = 20. Определить:

а) среднее число заявок в очереди;

б) среднее время простоя источника;

в) вероятность того, что не более 5-ти источников будут находиться в пассивном

состоянии.

3.n = 2; m = 8; λ = 1; t_об = 30. Определить:

а) среднее число заявок в СМО;

б) вероятность того, что поступившая заявка сразу же будет принята к обслуживанию;

в) вероятность того, что не менее 4-х заявок будут ожидать в очереди на обслуживание.

4.n = 3; m = 7; λ= 2; t_об = 15. Определить:

а) среднее число простаивающих каналов;

б) вероятность того, что поступившая заявка встанет в очередь для ожидания начала

обслуживания;

в) вероятность того, что будет простаивать не более одного канала.

5.n = 4; m = 8; λ = 3; t_об = 12. Определить:

а) среднее число занятых каналов;

б) среднее время простоя канала;

в) вероятность того, что более 2-х источников будут находиться в активном состоянии.

6.n = 3; m = 7; λ= 4; t_об = 10. Определить:

а) вероятность того, что произвольный источник находится в активном состоянии

(коэффициент готовности);

б) среднее время пребывания заявки в СМО;

в) вероятность того, что в очереди на обслуживание будет более 2-х заявок.

7.n = 3; m = 8; λ = 3; t_об = 10. Определить:

а) среднее число заявок в очереди;

б) вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к

обслуживанию;

в) вероятность того, что заняты все каналы.

8.n = 2; m = 8; λ = 2; t_об = 12. Определить:

а) среднее число источников, находящихся в пассивном состоянии;

б) вероятность того, что поступившая заявка встанет в очередь для ожидания начала

обслуживания;

в) вероятность того, что в очереди на обслуживание окажется не более 3-х заявок.

9.n = 4; m = 7; λ = 6; t_об = 7,5. Определить:

а) вероятность того, что произвольный источник находится в активном состоянии

(коэффициент готовности);

б) среднее число простаивающих каналов;

в) среднее время ожидания заявки в очереди.

10.n = 3; m= 8; λ= 9; t_об = 4. Определить:

а) среднее число занятых каналов;

б) среднее время простоя канала;

в) вероятность того, что в СМО будет менее 6-ти заявок.

Формулы для вычислений

-интенсивность потока заявок

-интенсивность потока обслуживания

- интенсивность нагрузки

T -интервал времени между двумя заявками (случайная величина)

длина очереди (число мест)

количество заявок, поступающих в СМО

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 3040; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 678 9 10 11 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!