Системы массового обсЛуживания



Задание 1.

  В систему массового обслуживания (СМО) поступает в среднем λ заявок [1/час]. Найти вероятность того, что за время t [мин] в СМО поступит:

а) ровно k заявок;

б) менее k заявок;

в) более k заявок.

 

Варианты задания:

1.    λ = 60;   t = 5;   k = 4.

2.    λ = 120;  t = 2;   k = 3.

3.    λ = 40;    t = 6;   k = 5.

4.   λ = 30;   t = 4;  k = 4.

5.   λ = 150;  t = 3;  k = 3.

6. λ = 80;   t = 2;   k = 5.

7.    λ = 40;   t = 3;   k = 4.

8.    λ = 100;  t = 2;   k = 3.

9.    λ = 60;   t = 5;   k = 4.

10. λ = 40;   t = 4;   k = 5.

 

Задание 2.

  Испытывают три элемента, работающих независимо друг от друга. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону и равна t1, t2, t3 [час]. Найти вероятность того, что в интервале времени [0, tотк] откажут:

а) только один элемент;

б) не более 2-х элементов;

в) все три элемента.

Варианты задания:

1.    t1 = 20;    t2 = 50;      t3 = 40;    tотк = 18.

2.  t1 = 10;    t2 = 20;      t3 = 25;    tотк = 15.

3.    t1 = 20;    t2 = 8;        t3 = 10;    tотк = 6.

4.    t1 = 8;      t2 = 4;        t3 = 5;    tотк = 3.

5.   t1 = 10;   t2 = 5;        t3 = 4;      tотк = 5.

6.  t1 = 12;   t2 = 9;        t3 = 12;    tотк = 8.

7.  t1 = 16;    t2 = 12;      t3 = 26;    tотк = 12.

8.  t1 = 14;  t2 = 10;      t3 = 18;    tотк = 18.

9.  t1 = 10;  t2 = 25;      t3 = 14;    tотк = 16.

10.  t1 = 22;   t2 = 16;      t3 = 18;    tотк = 15.

 

Задание 3.

  Рассматривается система с дискретными состояниями и дискретным временем (цепь Маркова). Задана матрица вероятностей перехода за один шаг. Требуется:

а) построить размеченный граф состояний;

б) найти распределение вероятностей для первых 3-х шагов, если известно, что в начальный момент времени (t0 = 0) система находилась в j-ом состоянии с вероятностью pj(0).

 

Варианты задания:

1    
2               
3      
4      
5      
6      
7      
8      
9      
10      

 

Задание 4.

  Рассматривается система с дискретными состояниями и непрерывным временем. Заданы размеченный граф состояний и интенсивности переходов. Все потоки событий простейшие. Требуется:

а) составить матрицу интенсивностей переходов;

б) составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний;

в) найти предельное распределение вероятностей.

Варианты задания:

 1  6
 2  7
 3  8
 4  9
 5 10

 

 

Задание 5.

  Рассматривается n-канальная система массового обслуживания (СМО) с отказами. Поток заявок, поступающих в СМО, простейший с интенсивностью λ [1/час]. Среднее время обслуживания заявки равно tоб [мин]. Время обслуживания распределено по показательному закону. Определить:

а) число каналов, при котором вероятность того, что заявка получит отказ, не больше α;

б) абсолютную пропускную способность СМО;

в) среднее число каналов, занятых обслуживанием заявок;

г) среднее время пребывания заявки в СМО;

д) среднее время простоя одного (произвольно взятого) канала.

Варианты задания:

 1.  λ = 12;    tоб = 12;     α = 0,07.   6.λ = 6;    tоб = 15;   α = 0,02.

2.  λ = 13;    tоб = 12;     α = 0,08.        7.λ = 7;      tоб = 15;   α = 0,03.

3.   λ = 19;    tоб = 6;       α = 0,04.        8.λ = 11;    tоб = 12;   α = 0,05.

4.   λ = 9;      tоб = 15;     α = 0,06.        9.λ = 5;      tоб = 30;   α = 0,07.

5.   λ = 9;      tоб = 12;     α = 0,03.       10.λ = 11;   tоб = 15;   α = 0,09.

 

Задание 6.

  Рассматривается n-канальная система массового обслуживания (СМО) с ожиданием. Поток заявок, поступающих в СМО, простейший с интенсивностью λ [1/час]. Среднее время обслуживания заявки равно tоб [мин]. Время обслуживания распределено по показательному закону. Определить:

а) существует ли стационарный режим работы СМО;

б) среднее число заявок, находящихся в СМО;

в) среднее время пребывания заявки в СМО;

г) вероятность того, что все каналы заняты;

д) среднее время простоя одного (произвольно взятого) канала.

Варианты n λ tоб
1 5 18 15
2 4 5 30
3 3 18 6
4 5 30 6
5 4 19 6
6 3 10 12
7 5 22 12
8 4 20 7,5
9 3 14 7,5
10 3 12 12

 

Задание 7.

  Рассматривается n-канальная система массового обслуживания (СМО) с ожиданием и ограничением на длину очереди. Число мест в очереди равно m. Поток заявок, поступающих в СМО, простейший с интенсивностью λ [1/час]. Среднее время обслуживания заявки равно tоб [мин]. Время обслуживания распределено по показательному закону.

Варианты задания:

 

 1.n = 4; m = 3; λ = 6; tоб = 40. Определить:

а) среднее число заявок, находящихся под обслуживанием;

б) вероятность того, что заявка сразу же будет принята к обслуживанию;

в) вероятность того, что в СМО будет не более 2-х заявок.

 

 2.n = 3; m = 4; λ = 8; tоб = 15. Определить:

а) вероятность того, что заявка получит отказ в обслуживании;

б) среднее число каналов, не занятых обслуживанием;

в) среднее время пребывания заявки в СМО;

 

3.n = 4; m = 2; λ = 4; tоб = 60. Определить:

а) среднее число заявок в СМО;

б) среднее время пребывания заявки в очереди;

в) вероятность того, что будет простаивать не более одного канала.

4. n = 3; m = 3; λ = 6; tоб = 20. Определить:

а) относительную пропускную способность СМО;

б) среднее число каналов, занятых обслуживанием заявок;

в) среднее время пребывания заявки в СМО.

5.n = 3; m = 4; λ = 9; tоб = 20. Определить:

а) абсолютную пропускную способность СМО;

б) среднее число заявок в очереди;

в) вероятность того, что не более 2-х каналов будут заняты обслуживанием заявок.

6.n = 3; m= 3; λ = 5; tоб = 30. Определить:

а) вероятность того, что заявка получит отказ в обслуживании;

б) среднее число заявок, находящихся под обслуживанием;

в) вероятность того, что менее 2-х заявок будут находиться в очереди на обслуживание.

 7.n = 2; m = 4; λ = 6; tоб = 15. Определить:

а) среднее число свободных каналов;

б) вероятность того, что заявка будет принята в СМО;

в) вероятность того, что заявка, поступившая в СМО, встанет в очередь на

обслуживание.

 8. n = 4; m = 3; λ = 5; tоб = 30. Определить:

а) среднее число заявок, находящихся в СМО;

б) вероятность того, что заявка сразу же будет принята к обслуживанию;

в) вероятность того, что не более 2-х каналов будет занято обслуживанием заявок.

 9.n = 4; m= 3; λ = 9; tоб = 20 . Определить:

а) абсолютную пропускную способность;

б) среднее время пребывания заявки в СМО;

в) среднее число заявок в очереди.

10.n = 3; m= 4; λ = 6; tоб = 15 . Определить:

а) относительную пропускную способность СМО;

б) среднее время ожидания заявки в очереди;

в) среднее число занятых каналов.

 

Задание 8.

  Рассматривается n-канальная система массового обслуживания (СМО) без ограничения на длину очереди, но с ограничением на время ожидания. Заявка ожидает обслуживания в среднем tож [мин], а затем покидает СМО. Поток заявок, поступающих в СМО, простейший с интенсивностью λ [1/час], среднее время обслуживания заявки равно tоб [мин].

Варианты задания:

 

 1.n = 4; λ = 8; tоб = 15; tож = 5. Определить:

а) абсолютную пропускную способность СМО;

б) среднее число заявок в очереди;

в) вероятность того, что в очереди будут находиться не более 2-х заявок.

2.n = 3; λ = 6; tоб = 30; tож = 15. Определить:

а) среднее число заявок, находящихся под обслуживанием;

б) вероятность того, что заявка уйдет из очереди не обслуженной;

в) вероятность того, что менее 3-х заявок будут находиться в очереди на обслуживание.

3.n = 4; λ = 9; tоб = 20; tож = 10. Определить:

а) вероятность того, что заявка будет обслужена;

б) среднее время пребывания заявки в СМО;

в) среднее число свободных каналов.

4.n = 3; λ = 10; tоб = 15; tож = 12. Определить:

а) среднее число заявок, находящихся в СМО;

б) вероятность того, что заявка сразу же будет принята к обслуживанию;

в) среднее время простоя канала.

5.n = 3; λ = 8; tоб = 30; tож = 10. Определить:

а) среднее число заявок в очереди;

б) абсолютную пропускную способность СМО;

в) среднее время пребывания заявки в СМО.

6.n = 4; λ = 10; tоб = 15; tож = 6. Определить:

а) среднее число занятых каналов;

б) относительную пропускную способность СМО;

в) среднее время ожидания заявки в очереди.

7.n = 3; λ = 6; tоб = 20; tож = 12. Определить:

а) вероятность  того, что заявка сразу же будет принята к обслуживанию;

б) среднее число заявок, находящихся под обслуживанием;

в) вероятность того, что в СМО будет не более 4-х заявок.

8.n = 4; λ = 12; tоб = 12; tож = 6. Определить:

а) вероятность того, что заявка уйдет из СМО не обслуженной;

б) среднее время пребывания заявки в СМО;

в) среднее число каналов, не занятых обслуживанием.

 

9.n = 3; λ = 15; tоб = 12; tож = 3. Определить:

 а) среднее число заявок в СМО;

б) среднее время простоя канала;

в) вероятность того, что будет простаивать не более одного канала.

10.n = 4; λ = 10; tоб = 12; tож = 3. Определить:

а) относительную пропускную способность СМО;

б) среднее время пребывания заявки в СМО;

в) среднее число каналов, занятых обслуживанием заявок.

Задание 9.

  Рассматривается n-канальная система массового обслуживания (СМО) замкнутого типа с m источниками заявок. Поток заявок, поступающих в СМО, простейший с интенсивностью λ [1/час], среднее время обслуживания заявки равно tоб [мин].

 

Варианты задания:

 

 1.n = 2; m = 7; λ = 3; tоб = 15. Определить:

а) среднее число заявок, находящихся под обслуживанием;

б) среднее время ожидания заявки в очереди;

в) вероятность того, что не менее 4-х источников будут находиться в активном

состоянии.

 2.n = 3; m= 8; λ= 2; tоб = 20. Определить:

а) среднее число заявок в очереди;

б) среднее время простоя источника;

в) вероятность того, что не более 5-ти источников будут находиться в пассивном

состоянии.

 

3.n = 2; m = 8; λ = 1; tоб = 30. Определить:

а) среднее число заявок в СМО;

б) вероятность того, что поступившая заявка сразу же будет принята к обслуживанию;

в) вероятность того, что не менее 4-х заявок будут ожидать в очереди на обслуживание.

 4.n = 3; m = 7; λ= 2; tоб = 15. Определить:

а) среднее число простаивающих каналов;

б) вероятность того, что поступившая заявка встанет в очередь для ожидания начала

обслуживания;

в) вероятность того, что будет простаивать не более одного канала.

 5.n = 4; m = 8; λ = 3; tоб = 12. Определить:

а) среднее число занятых каналов;

б) среднее время простоя канала;

в) вероятность того, что более 2-х источников будут находиться в активном состоянии.

 6.n = 3; m = 7; λ= 4; tоб = 10. Определить:

а) вероятность того, что произвольный источник находится в активном состоянии

(коэффициент готовности);

б) среднее время пребывания заявки в СМО;

в) вероятность того, что в очереди на обслуживание будет более 2-х заявок.

 

7.n = 3; m = 8; λ = 3; tоб = 10. Определить:

а) среднее число заявок в очереди;

б) вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к

обслуживанию;

в) вероятность того, что заняты все каналы.

 8.n = 2; m = 8; λ = 2; tоб = 12. Определить:

а) среднее число источников, находящихся в пассивном состоянии;

б) вероятность того, что поступившая заявка встанет в очередь для ожидания начала

обслуживания;

в) вероятность того, что в очереди на обслуживание окажется не более 3-х заявок.

 9.n = 4; m = 7; λ = 6; tоб = 7,5. Определить:

а) вероятность того, что произвольный источник находится в активном состоянии

(коэффициент готовности);

б) среднее число простаивающих каналов;

в) среднее время ожидания заявки в очереди.

10.n = 3; m= 8; λ= 9; tоб = 4. Определить:

а) среднее число занятых каналов;

б) среднее время простоя канала;

в) вероятность того, что в СМО будет менее 6-ти заявок.

 

Формулы для вычислений

 

 -интенсивность потока заявок

 -интенсивность потока обслуживания

- интенсивность нагрузки

T -интервал времени между двумя заявками (случайная величина)

 длина очереди (число мест)

 количество заявок, поступающих в СМО


Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 1101;