Тема 7 Основы квантовой механики

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

1. Фотоэффект эффект и эффект Комптона. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. Фотоны и их характеристики: масса, импульс, энергия. Применение фотоэффекта в фотореле, фотоэлементах и телевидении.

2. Теория атома по Бору. Постулаты Бора. Излучение фотонов возбужденными электронами атома. Квантование круговых орбит электрона в атоме, момента импульса, энергия.

3. Волновые свойства частиц. Дифракция электронов, атомов. Волны де Бройля.

4. Уравнение Шредингера. Принцип неопределенности. Волновая функция и ее физический смысл. Уравнение Шредингера для атома водорода. Квантовые числа.

5. Квантовая электроника. Спонтанные, вынужденные и индуцированные переходы электронов. Вынужденное оптическое излучение. Квантовые генераторы (лазеры) и их применение в экспертизе качества товаров, записи и воспроизведении звука и изображения.

Тема 8 Элементы физики ядра и элементарных частиц

1. Состав и строение атомного ядра. Модели ядра (капельная, оболочечная). Ядерные силы и энергия связи нуклонов в ядре атома. Природа сил. Единицы измерения энергии в атомной физике.

2. Радиоактивность. Радиоактивные процессы. Закон радиоактивного распада. Способы регистрации радиоактивного излучения. Биологическая активность излучения. Методы защиты. Дозиметрия. Использование излучений в производстве, хранении и контроле качества товаров.

3. Ядерные реакции. Деление тяжелых ядер и синтез легких ядер. Применение цепных реакций деления ядер для получения энергии на атомных электростанциях.

4. Элементарные частицы. Виды взаимодействия и классы элементарных частиц. Античастицы и аннигиляция частиц. Понятие о кварках.

Методические указания к выполнению первого задания

Формулы и законы

Разделы: механика, молекулярная физика, электростатика, постоянный электрический ток.

Основные формулы и законы. В таблицах используются общепринятые обозначения величин [1].

Таблица 2. Механика

Величина, закон	Формула
1	2
Мгновенная скорость:
Мгновенное ускорение:
Тангенциальное ускорение:
Нормальное ускорение:
Полное ускорение:
Угловая скорость:
Угловое ускорение:
Уравнение движений:
Связь между величинами:
Второй закон Ньютона:

1	2
Закон тяготения:
Напряженность гравитационного поля:
Потенциальная энергия тяготения:
Сила трения скольжения:
Вращающий момент:
Моменты инерции тел: а) кольца или обруча
б) полого и сплошного цилиндров:
в) шара:
г) тонкого однородного стержня:
Теорема Гейгенса-Штейнера:
Уравнение динамики вращения
Закон сохранения импульса:
Работа при поступательном и вращательном движении:
Кинетическая энергия поступательного и вращательного движения:
Потенциальная энергия деформации и поля тяготения земли:

Таблица 3. Молекулярная физика

Величина, закон	Формула
1	2
Уравнение Менделеева-Клайперона:
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории:
Средняя кинетическая энергия молекулы:
Закон Дальтона:
Внутренняя энергия идеального газа:
Первое начало термодинамики:
Работа при изобарическом процессе:
Работа при изотермическим процессе:
Работа при адиабатическом процессе:
Уравнение адиабатического процесса:
Уравнение Майера:
К.П.Д. цикла Карно:

Таблица 4. Электростатика. Электрический ток

Величина, закон	Формула
1	2
Закон Кулона:
Напряженность поля:
а) точечного заряда:
б) заряженной нити:
в) заряженной плоскости:
г) заряженной сферы:
Связь векторных характеристик поля:
Потенциал поля точечного заряда:
Работа перемещения заряда в поле:
Связь между потенциалом и напряженностью поля:
Электроемкость проводники и конденсатора:
Электроемкость плоского конденсатора:
Электроемкость сферического проводника:
1	2
Энергия заряженного проводника:
Объемная плотность энергии поля:
Сила и плотность электрического поля:
Закон Ома для участка и полной цепи:
Закон Джоуля-Ленца:
Законы Кирхгрофа:

Примеры решения задач

Пример 1. Тело брошено горизонтально с начальной скоростью 25 м/с с высоты 19,6 м. найти нормальное, тангенциальное, полное ускорение и скорость в момент падения на Землю. Какова дальность полета? Трение воздуха не учитывать.

Дано: Н = 19,6м

v/c g = 9,8 м/с²

- ?

Рис. 1. Схема движения

Согласно принципу независимости движений, тело, брошенное с горизонтальной скоростью в поле силы тяжести Земли участвует в равномерном горизонтальном движении с постоянной скоростью и равноускоренным вертикальном движении с ускорением а = g, падая свободно с высоты Н и проходя этот путь за время:

За это время дальность полета тела составит путь

Скорость тела в момент падения на Землю находится векторной суммой горизонтальной и вертикальной скоростей , где т.е. = = 25,4 м/с

Из подобия треугольников, построенных из скоростей и ускорений (см. рис.1), следует, что

или м/с²

и м/с²

Пример 2. Тело в виде диска радиусом 10 см и массой 4 кг вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр по закону . Найти угловое ускорение тела, угловую скорость и время в момент, когда тело сделает 5 оборотов от начала отсчета времени, а также работу при вращении в этот момент времени.

Дано: R = 10 см m = 4 кг

= 5 – 2t + 8t² N = 5 t - ?

А - ?

Решение: По определению, угловая скорость определяется выражением:

а угловое ускорение:

По условию задачи тело совершает N оборотов, т.е. . Это возможно в момент времени от начала движения: , или

Работа при вращении диска определяется по формуле: , где - из основного уравнения динамики вращательного движения.

I - момент инерции диска. Он равен

уже найдено, задано условием задачи.

Дж

Пример 3. Молот массой 250 кг падает на паковку с наковальней. КПД удара молота о паковку равен 90%, а энергия, полученная наковальней с паковкой, составляет 50Дж. Определить массу паковки с наковальней и скорость молота в момент удара.

Дано: m₁ = 250 кг

W_нак = 50 Дж

m₂ - ?

- ?

Решение: Назначение молота – путем ударов о паковку вызвать ее деформацию. Следовательно, КПД удара молота о наковку численно равен отношению энергии, затраченной на деформацию паковки, ко всей затраченной энергии (энергии молота).

Если до удара молот обладал энергией ;

Чтобы выразить энергию, переданную наковальне, следует предварительно найти скорость системы молот – паковка с наковальней сразу после удара, для чего нужно применить закон сохранения импульса, который в случае неупругого удара выражается формулой:

; ,

где: - скорость молота перед ударом и энергия наковальни с паковкой равна

Подставив в выражение для получим:

можно определить

Зная энергию, полученную наковальней и воспользовавшись ранее полученным выражением, можно определить скорость молота до удара

;

Пример 4. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы забросить тело массой 100 кг с поверхности Земли на Луну, полагая, что масса Земли в 81 раз больше массы Луны, а расстояние между их центрами равно 60 радиусам Земли. Масса Луны 7,33 · 10²²кг, радиус Земли 6,4 ·10⁶м. Считать, что при перемещении тела взаимное положение Луны и Земли не меняется и сопротивление воздуха ничтожно мало.

Дано: m = 100 кг М₃ = 81 Мл = 60 R Мл = 7,33·10²² кг К = 6,4 ·10⁶ м A - ?

Рис. 2. Схема движения

Движение тела от Земли до Луны будет неравномерным, т.к., оно будет совершаться в гравитационном поле двух массивных тел. сначала от поверхности Земли движение будет замедленным до некоторой точки С, глее равнодействующая сил притяжения движущегося тела к Земле и Луне одинакова. Затем от точки С до Луны - ускоренным, т.к. на этом участке F_л > F_з.

Для (•) С F_з = F_л;

; 9 - 9х = х извлекая и подставляя значения М₃ и , получаем:

Работа будет минимальной, когда тело достигнет точки С с минимальной скоростью, т.е. равной нулю, а следовательно, кинетическая энергия этого тела тоже: будет ровна нулю, а потому минимальная работе будет численно равна работе сил поля, определяемой изменением потенциальной энергии тела

чтобы правильно вычислить потенциальные энергии тела на поверхности Земли и в точке С, следует учесть, что тело все время находится в суммарном гравитационном поле Земли, и Луны. Поэтому П₁ - потенциальная энергия тела на поверхности Земли

и П₂ – потенциальная энергия тела в точке С

тогда

Знак « - » указывает на то, что работа совершается силами не гравитационного поля – внешними. При движении тела от точка С до Луны совершение дополнительной работы не потребуется. Следовательно,

Пример 5. На вал массой 20кг в виде цилиндра намотана невесомая нерастяжимая нить, к концу которой привязан груз массой 1 кг. Определить ускорение груза, натяжение нити.

Дано: М_В = 20 кг m = 1 кг а - ? Т - ?

Решение: Рис. 3. Схема движения

Груз m, на который действуют силы и опускается вниз с ускорением а, которое можем выразить по закону Ньютона в скалярной форме, считая положительными силы, совпадающими по направлению с вектором , и отрицательными противоположно направленными по отношению к

Т – сила натяжения веревки, посредством которой опускающийся груз взаимодействует с валом и по закону Ньютона . Сила , приложенная к поверхности вала, создает вращающий момент который сообщает валу угловое ускорение, связанное с линейной зависимостью и которое можно выразить, пользуясь основным уравнением динамики вращательного движения

I – момент инерции вала (цилиндра) относительно оси, проходящий через центр.

Решая совместные уравнения (1-5), получим

Т можно определить из

Пример 6. В физический маятник, представляющий собой однородный шар радиусом 20 см, и массой 10 кг, жестко скрепленный с тонким стержнем пренебрежимо малой массы, длиной равной радиусу шара, имеющий ось колебания, проходящую через конец стержня, попадает пуля массой 20г, летящая горизонтально нормально к поверхности шара со скоростью 1000 км/ч. Считая удар неупругим, определить на какой угол отклонится маятник и какая часть энергии пули пойдет на нагревание маятника.

Дано: R = 20 см L = R = 20 см М = 10 кг m = 20 г

Решение: Рис. 4. Схема движения

Как видно из чертежа, искомый угол связан с высотой подъема цилиндра шара соотношением или . Величина h определяет потенциальную энергию маятника в результате неупругого попадания в него пули, часть кинетической энергии которой пошла на направление маятника (превратилась в тепло), а часть перешла в кинетическую энергию вращательного движения маятника, т.е.

При подъеме шара с застрявшей в нем пулей кинетическая энергия вращательного движения системы будет превращаться в потенциальную энергию, т.к. масса пули мала по сравнению с массой шара, поэтому и моментом инерции пули при отклонении маятника и потенциальной энергии пули можно пренебречь, тогда

Момент инерции маятника относительно оси вращения следует определить по теореме Гюйгенса-Штейнера

Для определения угловой скорости вращения следует воспользоваться законом сохранения момента импульса

- момент инерции пули перед ударом

- угловая скорость пули перед ударом

Таким образом получим:

Долю энергии пули, пошедшей на нагревание маятника можно определить так:

Пример 7. В сосуде объемом 8 л находится воздух при нормальном давлении и комнатной (27 ^°С) температуре. В сосуд впускают 4 г водяного пара и под закрытой крышкой нагревают его до 400 К. определить установившееся в сосуде давление.

Дано: P₀= 10⁵Па V = 8л=8*10^-3м³ T₁= t+273=300K m₁= 4г=4*10^-3кг

= 18кг/кмоль

= 29кг/кмоль Т₂= 400К р - ?

Решение: По закону Дальтона Р = Р₁ + Р₂, где Р – давление смеси, Р₁ – давление воздуха и Р₂ – давление водяного пара. Все это при температуре 400 К. из закона Менделеева - Клапейрона для начального состояния

можно найти массу воздуха. После нагревания при изохарическом процессе воздух будет оказывать на стенки сосуда давление:

и водяные пары:

Давление смеси газов будет равно:

Пример 8. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы азота при температуре 500К, а также полную внутреннюю энергию азота, заключенного в сосуде объемом 10 л при давлении 3 атм. При данной температуре.

Дано: I=5

Т = 500К Р = 3*10⁵ Па V=10л=10^-2 м³ W_вр - ? U - ?

Решение: Средняя кинетическая энергия молекулы

определяется суммой кинетических энергий поступательного движения центра масс молекул

и вращательного движения вокруг осей симметрий

где К- постоянная Больцмана.

Внутренняя энергия молекул всей массы газа, заключенного в определенном объеме . Неизвестную массу можно определить из уравнения Менделеева-Клайперона или где

Пример 9. Кислород занимает объем V₁=1м³ и находится под давлением P₁=0,2 Мпа. Газ нагрели сначала при постоянном давлении до объема V₂= 3м³, а затем при постоянном объеме до давления P₂=0,5 Мпа. Найти изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу, количество теплоты, переданное газу.

Дано: V₁ = 1м³ Р₁ =2·10⁵ Па V₂ = 3м³ Р₂ = 5·10⁵Па

Q - ?

Решение: Изменение внутренней энергии газа при переходе его из начального состояния в конечное выражается формулой

где i=5 (кислород – двухатомный газ) – число степеней свободы. Температура Т₁ и Т₃ выразим из уравнения Менделева-Клайперона

с учетом этого найдем

Полная работа, совершаемая газом, равна работе при изобарическом расширении, так как при постоянном объеме работа на совершается

Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты, переданное газу, равно сумме работы, совершенной газом, и изменения внутренней энергии газа: . Определим размерность Q: [Q] = Дж. Произведем вычисления:

;

Пример 10. Кислород, занимавший объем 1 л под давлением 1,2Мпа, адиабатически расширился до объема 10 л. Определить работу расширения газа.

Дано: V₁=10^-3 м³ Р₁ = 1,2*10⁶ Па V₂ = 10^-2 м³ А - ?

Решение: Для нахождения работы адиабатического расширения газа воспользуемся формулой:

где Т₁ – начальная температура кислорода, которая может быть определена из уравнения Менделеева-Клайперона

- постоянная адиабаты.

Вычислим ее, учитывая, что число степеней свободы i для кислорода (двухатомного газа) равно 5: . С учетом этого получим:

Пример 11. С какой силой электрическое поле равномерно заряженной бесконечной плоскости действует на единицу длины равномерно заряженной бесконечно длинной нити, помещенной в это поле? Линейная плотность заряда на нити 6 мкКл/м, а поверхностная плотность заряда на плоскости 10мкКл/м².

Дано:

Кл/м l =1м

Кл/м² F - ?

Решение: Сила, с которой поле плоскости действует на каждый метр нити, может быть найдена по формуле

- напряженность поля, создаваемого плоскостью,

- заряд нити длиной l.

Произведем вычисления, учитывая, что l = 1м, Кл²/Н·м² – электрическая постоянная, - диэлектрическая проницаемость вакуума (воздуха):

Пример 12. медный шар диаметром 1 см помещен в масло, плотность которого равна 800 кг/м. найти заряд шара, если в однородном электрическом поле напряженностью 4,6 МВ/м, направленном вертикально вверх, шар оказался взвешенным в масле. Плотность меди равна 8600 кг/м³.

Дано: R = 10^-2м

= 800 кг/м³ Е = 46 ·10⁵ В/м

= 8600 кг/м³ q - ?

Решение: Рис. 5. Схема сил

На шар действуют три силы (рис. 5) сила тяжести mg (вниз), сила Архимеда F_A (выталкивающая) и сила электрического поля F_Э (вверх). Согласно условию равновесия или в проекции на ось ОУ: F_A + F_Э – mg = 0, где F_Э = qЕ;

F_A = m_ж; mg =

С учетом этих выражений условие равновесия примет вид:

Вычислим величину заряда:

Пример 13. В вершинах при основании прямоугольного равнобедренного треугольника расположены одинаковые точечные заряды по 20 нКл (рис. 6). расстояние между зарядами равно 60 см. определить напряженность электрического поля и потенциал в вершине прямого угла и на пересечении высоты с основанием треугольника. Рассмотреть случаи одноименных и разноименных зарядов.

Дано:

Е_с - ? Е_д -?

_д - ?

Решение:

Если поле создано несколькими электрическими зарядами, то результирующая напряженность будет, согласно принципу суперпозиции, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых отдельными зарядами. В данном случае где - напряженность полей, создаваемых зарядами в точке C.

Электрический потенциал поля в точке С созданного каждым зарядом в отдельности определяется формулой , а потенциал суммарного поля будет равен алгебраической сумме потенциалов и , созданных в заданной точке зарядами q₁ и q₂.

Найдем модуль . Так как угол между и равен /2, то Е_С1может быть найдена, как гипотенуза в прямоугольном треугольнике. Причем результирующая напряженность в точке С направлено вертикально вверх для положительных (одноименных) зарядов и горизонтально, если заряды разноименные (рис.6). модуль напряженности в обеих случаях одинаков и равен вычислим Е_с, учитывая, что

Электрический потенциал в точке С, созданный каждым зарядом

потенциал результирующего поля, образованного двумя положительными зарядами в точке С, определяется как алгебраическая сумма потенциалов и , т.е.

если заряды разноименные, то поскольку точка Д расположена по середине отрезка, соединяющего заряды, напряженности и равен по модулю:

В случае одноименных зарядов результирующая напряженность (рис.6), так как векторы и направлены вдоль донной прямой в противоположные стороны, в случае разноименных зарядов (рис. 6) напряженность равна

и направлена в строну отрицательного заряда. Электрический потенциал в точке Д₁ равен

В случае равноименных зарядов

Пример 14. Какую работу нужно совершить, чтобы перенести в вакууме точечный электрический заряд 20нКл из бесконечности на расстояние 28 см. от поверхности уединенного проводящего заряженного шара, радиус которого равен 2 см., а потенциал составляет 300В? Определить также заряд шара.

Дано:

А - ? Q - ?

Решение: Потенциал уединенного проводящего заряженность шара

где Q – искомый заряд шара, выразим Q:

. Работа поля по переносу заряда может быть выражена произведением величины переносимого заряда на разность потенциалов

. Работа внешней силы

Учитывая, что потенциал на бесконечности равен нулю, т.е. , а найдем работу

Произведем вычисления:

;

Пример 15. 125 маленьких капелек воды, заряженных до потенциала , соединились в одну большую сферическую каплю. Каким окажется потенциал такой большой капли по сравнению с потенциалом ?

Дано:

- ?

Решение: Потенциал

большой капли может быть найден по формуле

где С – электроемкость большой капли, а Q=nq - ее заряд, q – заряд малой капли.

Объем большой капли радиусом R равен 125 объемам маленьких капель, радиус которых r, т.е. откуда ; , тогда электроемкость С большой капли , но и ;

где С₀ – электроемкость малой капли.

Потенциал малой капли . Потенциал большой капли , откуда и

Пример 16. плоский конденсатор заполнен слюдой ( ). расстояние между пластинами равно 2 мм. Площадь каждой пластины равна 6,2·10^-3м². Определить электроемкость конденсатора, разность потенциалов на его пластинах, напряженность поля в конденсаторе и запасенную в нем энергию, если заряд каждой из пластин равен 40 нКл.

Дано:

s=6,2·10^-3 м²

С - ? U -? Е -? W -?

Решение: Электроемкость конденсатора определим по формуле емкости плоского конденсатора

Зная заряд q и емкость С, определим разность потенциалов U:

Напряженность поля внутри конденсатора и разность потенциалов на его пластинах связаны выражением: энергию конденсатора вычислим по формуле . Используя числовые данные из условия задачи, находим

Пример 17. От генератора с э.д.с., равной 110В требуется передать энергию на расстояние 250 м. потребляемая мощность 1 кВт. Найти минимальное сечение медных подводящих проводов, если потери мощности в сети не должны превышать 1%.

Дано:

S - ?

Решение: Сечение подводящих проводов может быть определенно из формулы зависимости величины сопротивления от размеров и материала проводника:

где l=2l₀, так как линия состоит из 2-х проводов. Сопротивление проводов определим, используя формулу мощности и соотношение потребляемой мощности и мощности потерь:

где - потребляемая мощность, следовательно

, отсюда тогда .

Выразим теперь площадь сечения: Произведем вычисления:

Пример 18. Имеется прибор с ценой деления 10мкА. Шкала прибора имеет 100 делений, внутреннее сопротивление прибора 50 Ом. Как из этого прибора сделать вольтметр для изменения напряжения до 200 В или миллиамперметр для измерения токов до 800 мА.

Дано:

R_g - ? R_ш - ?

Решение: Рис. 7. Схема цепи

Очевидно, что вся шкала прибора соответствует току, текущему через прибор где К – цена деления, а N – число делений шкалы.

Чтобы сделать из этого прибора вольтметр, необходимо включить последовательно с ним добавочное сопротивление (рис.7а), величину которого можно найти из условия равенства напряжения на зажимах сумме падений напряжений на приборе и добавочном сопротивлении, т.е. откуда и

Для измерения токов, превышающих J₀, необходимо параллельно прибору включить шунт (рис.7 в) из равенства напряжений на приборе в шунте имеем U₀=Uш или, вновь используя закон Ома для участка цепи откуда . Произведем вычисления:

Пример 19. Два элемента имеют равные э.д.с. и соответственно внутренние сопротивления и (рис. 8). Чему равно внешнее сопротивление R, если сила тока, текущего через (ток течет снизу в верх, как показано на рис.8), равна 1А? найти силы токов, идущих через сопротивление R и .

Дано:

R - ? J - ? J₂ - ?

Решение: Рис. 8. Схема цепи

Обозначим на схеме предполагаемые направления токов J₂ и J. Если в ответе какая либо сила тока будет иметь знак минус, это укажет, что ток на соответствует участке имеет обратное направление. Применим для узла А первый закон Кирхгофа: т.е. токи J₁ и J₂, входящие в узел имеют знак плюс, а ток J, выходящий из узла А – минус. Обойдем контур по часовой стрелке и используем второй закон Кирхгофа: . Обходя контур также по часовой стрелке и применяя второй закон Кирхгофа, аналогично имеем: . Складывая почленно два последних уравнения, получим: откуда найдем J₂: , вычислим J₂: т.е. на самом деле ток J₂ течет снизу вверх. Выразив из первого уравнения ток и поставив J во второе уравнение, найдем R: отсюда . Вычислим R: