Пример 2. Пересекающиеся прямые
Рассмотрим две штриховые линии АВ и EF на рис 4.3, конечные точки которых имеют координаты
[А] = [-1 -1], [В] = [3 5/3]
и
[E] = [-1/2 3/2], [F] = [3 -2].
Уравнение прямой АВ имеет вид –(2/3)х + у = –1/3, а прямая EF задается уравнением х + у = 1.
В матричном виде пучок прямых представляется как
используя матрицу обратного преобразования (4.21), получим точку пересечения этих прямых
.
Теперь преобразуем эти линии с помощью матрицы
Результирующие прямые А*В* и E*F* показаны на рис. 4.3. В матричном виде уравнение преобразованных линий имеет вид
с точкой пересечения .
Преобразуя точку пересечения исходных линий, получим
что тождественно точке пересечения преобразованных линий.
Из рис. 4.3 и примера 2 видно, что исходные штриховые прямые АВ и EF не перпендикулярны друг другу. Однако преобразованные прямые A*B* и E*F*, показанные сплошной линией, являются перпендикулярными. Таким образом, преобразование [Т] переводит две пересекающиеся неперпендикулярные прямые в две пересекающиеся перпендикулярные. Смысл обратного преобразования [Т]-1 состоит в переводе двух пересекающихся перпендикулярных прямых в две пересекающиеся, но не перпендикулярные, что может привести к неприятным геометрическим последствиям. Значительный интерес представляет вопрос: при каком условии перпендикулярные прямые преобразуются в перпендикулярные? Рассмотрим сначала более общий вопрос: в каких случаях угол между пересекающимися прямыми сохраняется?
|
|
Напомним, что скалярное произведение двух векторов
(4.27)
а векторное произведение двух векторов, принадлежащих плоскости ху, определяется как
(4.28)
где индексы х и у относятся к компонентам х и у вектора, q – острый угол между векторами, а – единичный вектор, перпендикулярный к плоскости ху.
Проведем преобразование , используя (2´2)-матрицу общего преобразования
. (4.29)
Векторным произведением векторов будет
(4.30)
Аналогично, скалярное произведение будет равно
(4.31)
Требуется, чтобы значения векторов, как и угол между ними, оставались постоянными. Сравнивая уравнения (4.27), (4.31) и (4.28), (4.30), а также приравняв коэффициенты подобных членов, получим:
a2 + b2=1,
c2 + d2=1, (4.32)
ac + bd=0, ,
ad – bc =+1. (4.33)
Выражения (4.32) соответствуют условиям ортогональности матрицы, т. е.
[Т] [Т]-1 = [T] [T]T = [I]
или
.
Выражение (4.33) требует, чтобы определитель матрицы преобразования был равен +1.
|
|
Таким образом, при полном повороте углы между пересекающимися прямыми сохраняются. Данный результат распространяется также и на операцию отражения, ортогональная матрица которого имеет определитель, равный –1. В этом случае величины векторов сохраняются, но угол между преобразованными векторами в действительности равен (2p – q). Следовательно, в общем случае угол не сохраняется. Однако перпендикулярные прямые преобразуются в перпендикулярные прямые. Поскольку sin(2p – q) = –sinq, ad – bc = –1, полные повороты и отражения называются преобразованиями жесткой конструкции. Кроме того, несколько минут анализа или экспериментирования приводят к выводу, что равномерное масштабирование также сохраняет неизменным угол между пересекающимися прямыми, но не величину преобразуемых векторов. Поскольку ортогональная матрица сохраняет угол между векторами и их величины, матрица однородного масштабирования не является ортогональной.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 535; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!