Каноническое и параметрическое уравнения прямых в пространстве
Дано: прямаяl, т. - направляющий вектор прямой l,
Возьмем произвольную т. M на прямой и рассмотрим - каноническое уравнение прямой.
, t – параметр,
- параметрическое уравнение прямой.
Уравнение прямой, проходящей через 2 точки
Дано: и
Используем каноническое уравнение прямой: ;
В качестве направляющего вектора прямой используем вектор , так как он лежит на прямой.
- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Общее уравнение прямой
Даны две пересекающиеся плоскости, заданные общим уравнением:
(*)
Так как они пересекаются, их нормальные векторы не коллинеарны. Линия пересечения – прямая, следовательно, система двух уравнений (*) называется общим уравнением прямой в пространстве.
Приведение общего уравнения к каноническому виду
- канонический вид;
- направляющий вектор
- нормальный вектор плоскости Р1
- нормальный вектор плоскости Р2
В качестве направляющего вектора прямой возьмем ;
В качестве точки используем частное решение системы (*), так как система имеет бесконечное множество решений (ранг меньше количества неизвестных).
- канонический вид уравнения
Уравнение пучка плоскостей
Совокупность плоскостей, проходящих через одну и туже прямую, называется пучком плоскостей.
Даны две пересекающиеся плоскости:
Пересечение – прямая l;
Умножим второе уравнение на и сложим с первым уравнением;
|
|
(*)
Покажем, что это уравнение определяет плоскость; для этого возьмем т. , принадлежащую линии пересечения двух плоскостей и покажем что (*) проходит через прямую ;
(см. (**)), следовательно, - уравнение пучка плоскостей в пространстве.
Совокупность прямых в пространстве, проходящих через одну точку, называется связкой.
Угол между двумя прямыми в пространстве
Даны 2 прямые в пространстве, заданные каноническими уравнениями прямых в пространстве, следовательно, известны их направляющие векторы;
За угол между двумя прямыми в пространстве принимается угол между их направляющими векторами:
Условие параллельности: так как прямые параллельны, их направляющие векторы коллинеарны, следовательно, - условие параллельности прямых;
Условие перпендикулярности: если прямые перпендикулярны, то их направляющие векторы тоже перпендикулярны, следовательно, - условие перпендикулярности прямых в пространстве
Угол между прямой и плоскостью
Дано: плоскость P, под
- направляющий вектор прямой;
– угол между и
Условие параллельности прямой и плоскости: , т.е.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости: , т.е.
|
|
Угол между двумя плоскостями
Дано: Р1 и Р2 – две плоскости;
- нормальный вектор плоскости Р1
- нормальный вектор плоскости Р2
Две плоскости, пересекаясь, образуют 4 двухгранных угла, равных попарно. Один из них равен углу между нормальными векторами. Обозначая один из этих углов через , имеем:
Выбирая знак «+», получаем , выбирая знак « - «, получаем
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 524; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!