Каноническое и параметрическое уравнения прямых в пространстве



Дано: прямаяl, т.  - направляющий вектор прямой l,

Возьмем произвольную т. M на прямой  и рассмотрим  - каноническое уравнение прямой.

, t – параметр,

 - параметрическое уравнение прямой.

 

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки

Дано:  и

Используем каноническое уравнение прямой: ;

В качестве направляющего вектора прямой используем вектор , так как он лежит на прямой.

 - уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

 

Общее уравнение прямой

Даны две пересекающиеся плоскости, заданные общим уравнением:

(*)

Так как они пересекаются, их нормальные векторы не коллинеарны. Линия пересечения – прямая, следовательно, система двух уравнений (*) называется общим уравнением прямой в пространстве.

 

Приведение общего уравнения к каноническому виду

 - канонический вид;

 - направляющий вектор

 - нормальный вектор плоскости Р1

 - нормальный вектор плоскости Р2

В качестве направляющего вектора прямой возьмем ;

В качестве точки  используем частное решение системы (*), так как система имеет бесконечное множество решений (ранг меньше количества неизвестных).

 - канонический вид уравнения

Уравнение пучка плоскостей

Совокупность плоскостей, проходящих через одну и туже  прямую, называется пучком плоскостей.

Даны две пересекающиеся плоскости:

Пересечение – прямая l;

Умножим второе уравнение на  и сложим с первым уравнением;

(*)

Покажем, что это уравнение определяет плоскость; для этого возьмем т. , принадлежащую линии пересечения двух плоскостей и покажем что (*) проходит через прямую ;

(см. (**)), следовательно, - уравнение пучка плоскостей в пространстве.

 

Совокупность прямых в пространстве, проходящих через одну точку, называется связкой.

 

Угол между двумя прямыми в пространстве

   Даны 2 прямые в пространстве, заданные каноническими уравнениями прямых в пространстве, следовательно, известны их направляющие векторы;

За угол между двумя прямыми в пространстве принимается угол между их направляющими векторами:

Условие параллельности: так как прямые параллельны, их направляющие векторы коллинеарны, следовательно,  - условие параллельности прямых;

Условие перпендикулярности: если прямые перпендикулярны, то их направляющие векторы тоже перпендикулярны, следовательно,  - условие перпендикулярности прямых в пространстве

 

Угол между прямой и плоскостью

Дано: плоскость P, под

 - направляющий вектор прямой;

 – угол между  и

Условие параллельности прямой и плоскости: , т.е.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости: , т.е.

 

Угол между двумя плоскостями

Дано: Р1 и Р2 – две плоскости;

 - нормальный вектор плоскости Р1

 - нормальный вектор плоскости Р2

Две плоскости, пересекаясь, образуют 4 двухгранных угла, равных попарно. Один из них равен углу между нормальными векторами. Обозначая один из этих углов через , имеем:

Выбирая знак «+», получаем , выбирая знак « - «, получаем

 


Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 524; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!