Расстояние от точки до прямой
Дано: прямая lзадана нормальным уравнением в векторной форме Требуется найти расстояние от точки до прямой.
Возможны 2 случая:
1. т. М0 и начало координат лежат по разные стороны от прямой
2. т. М0и начало координат лежат по одну сторону от прямой
Рассмотрим 1 случай.
соединим и 0 - радиус вектор точки М0
Опустим из точки перпендикуляр на l,обозначим точкой K(x,y)
- расстояние от точки до прямой. Соединим точкуО с точкойK, получим - радиус-вектор точки К.
Из треугольника ОМ0К видно, что
с одной стороны, а с другой стороны
, а так как точка Кпринадлежит l, значит, координаты ее радиус вектора координаты удовлетворяют уравнению подставляем и получаем по свойству скалярного произведения , отсюда - расстояние от точки до прямой
Во втором случае - общий случай
- расстояние от точки до прямой в координатной форме.
-отклонение точки от прямой
Если Δ>0, то и 0 лежат по разные стороны от прямой
Если Δ<0, то по одну сторону от прямой
Вывод.: чтобы найти расстояние от точки до прямой, нужно уравнение привести к нормальному виду и подставить вместо х и у координаты заданной точки.
Пр.: 12х+15у+9=0
Каноническое уравнение прямой.
Параметрическое уравнение прямой.
Дано: прямая l, такая что , , - направляющий вектор прямой l, возьмем произвольную точку M на прямой l и рассмотрим ,так как ,то и коллинеарные, следовательно их коэффициенты пропорциональны.
|
|
- каноническое уравнение прямой
- параметрическое уравнение прямой, t – параметр.
Уравнение прямой проходящей через две заданные точки
Дано: прямая l, и Возьмем точку и рассмотрим два вектора и - эти вектора коллинеарны, следовательно коэффициенты пропорциональны
- уравнение прямой проходящей через две заданные точки
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- угловой коэффициент
-уравнение прямой с угловым коэффициентом
Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку
Возьмем (1), и т.к. точка , то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой: (2), из (2) вычтем (1), получаем: - уравнение прямой, проходящей через заданную точку.
Угол между двумя прямыми
и - угловой коэффициент
так как - внешний угол, то
Условие параллельности двух прямых
=0 -условие параллельности прямых
Условие перпендикулярности двух прямых
-условие перпендикулярности двух прямых
Уравнение пучка прямых
Дано: две пересекающиеся прямые 1: , пусть т. М0 (x0, y0)точка пересечения, тогда (*)
Первое уравнение умножим на , второе – на и сложим:
|
|
- это уравнение определяет прямую Покажем, что она проходит через точку М0 (x0, y0):
- см. (*).
Таким образом, - уравнение пучка прямых.
Разделим обе части на :
уравнение пучка прямых -
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 328; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!