Расстояние от точки до прямой



Дано: прямая lзадана нормальным уравнением в векторной форме  Требуется найти расстояние от точки до прямой.

Возможны 2 случая:

1. т. М0 и начало координат лежат по разные стороны от прямой

2. т. М0и начало координат лежат по одну сторону от прямой

Рассмотрим 1 случай.

 соединим  и 0  - радиус вектор точки М0

Опустим из точки  перпендикуляр на l,обозначим точкой K(x,y)

 - расстояние от точки до прямой. Соединим точкуО с точкойK, получим  - радиус-вектор точки К.

Из треугольника ОМ0К видно, что

с одной стороны, а с другой стороны

, а так как точка Кпринадлежит l, значит, координаты ее радиус вектора координаты удовлетворяют уравнению подставляем и получаем  по свойству скалярного произведения , отсюда  - расстояние от точки до прямой

Во втором случае  - общий случай

 - расстояние от точки до прямой в координатной форме.

 -отклонение точки от прямой

Если Δ>0, то  и 0 лежат по разные стороны от прямой

Если Δ<0, то по одну сторону от прямой

Вывод.: чтобы найти расстояние от точки до прямой, нужно уравнение привести к нормальному виду и подставить вместо х и у координаты заданной точки.

Пр.:   12х+15у+9=0

 

Каноническое уравнение прямой.

Параметрическое уравнение прямой.

Дано: прямая l, такая что ,  ,  - направляющий вектор прямой l, возьмем произвольную точку M на прямой l и рассмотрим ,так как  ,то  и коллинеарные, следовательно их коэффициенты пропорциональны.

 - каноническое уравнение прямой

 - параметрическое уравнение прямой, t – параметр.

Уравнение прямой проходящей через две заданные точки

Дано: прямая l,  и Возьмем точку  и рассмотрим два вектора  и  - эти вектора коллинеарны, следовательно коэффициенты пропорциональны

 - уравнение прямой проходящей через две заданные точки

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

 - угловой коэффициент

-уравнение прямой с угловым коэффициентом

 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

   Возьмем (1), и т.к. точка , то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой: (2), из (2) вычтем (1), получаем:  - уравнение прямой, проходящей через заданную точку.

 

 

Угол между двумя прямыми

 и  - угловой коэффициент

так как  - внешний угол, то

 

Условие параллельности двух прямых

=0  -условие параллельности прямых

Условие перпендикулярности двух прямых

 -условие перпендикулярности двух прямых

Уравнение пучка прямых

Дано: две пересекающиеся прямые 1: , пусть т. М0 (x0, y0)точка пересечения, тогда (*)

Первое уравнение умножим на , второе – на  и сложим:

 - это уравнение определяет прямую Покажем, что она проходит через точку М0  (x0, y0):

 - см. (*).

Таким образом,  - уравнение пучка прямых.

Разделим обе части на :

уравнение пучка прямых -


Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 96;