Свойства операций над матрицами. Образовательное учреждение высшего образования

Образовательное учреждение высшего образования

«Южно-Уральский институт управления и экономики»

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

по выполнению домашней контрольной работы №2

по дисциплине

«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

 

Для студентов заочной формы обучения

 

 

По направлению:

 

13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника»

 

Челябинск

2016


Номер варианта соответствует начальной букве фамилии студента.

 

 

Начальная буква фамилии Вариант задания
А, Е, Л Первый
Р, Х, Э Второй
Б, Ж, М Третий
С, Ц, Ю Четвертый
В, З, Н Пятый
Т, Ч Шестой
Г, И, О Седьмой
У, Ш Восьмой
Д, К, П Девятый
Ф, Щ, Я Десятый

Задание №1. Выполнить операции над матрицами.

1   *  
2      
3   5    
4   2    
5   6  
6   3    
7   4 *    
8   7 -5    
9   6  
10   7    

 

Задание №2. Вычислить пределы

  1. ;
 
  1. ;
  1. ;
 
  1. ;
  1. ;
 
  1. ;
  1. ;
 
  1. ;
  1. ;
 
  1. ;

Задание №3. Вычислить производную сложной функции.

1 Y=(3x-4 )4 Y=   Y=cos 3x* Y=ln arctg2x
2 Y=( -2 )2 Y=   Y= Y=
3 Y=( )4 Y=   Y= Y=
4 Y= Y=   Y= Y=
5 Y= Y=   Y= Y=
6 Y= Y=   Y= Y=ln
7 Y= Y=   Y= Y=
8 Y= Y=   Y= Y=ln
9 Y= Y=   Y= Y=arc
10 Y= Y=   Y= Y=ln

Задание №4.

А) Найти неопределенный интеграл заменой переменной

1     6    
2     7    
3     8    
4     9    
5     10  

 

Б) Найти неопределенные интегралы, применяя метод интегрирования по частям.

1 6
2 7
3 8
4 9
5 10

 


Задание № 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (площадь области D).

 

1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.

 


Методические материалы:

Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра)имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.

Матрицей A=Amn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.

Элементы матрицы aij,у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a11, a22,..., ann .

Равенство матриц.

A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и aij=bij(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Действия над матрицами.

1. Сложение матриц - поэлементная операция

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

Amk*Bkn=Cmn причем каждый элемент сijматрицы Cmn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.

Покажем операцию умножения матриц на примере

5. Возведение в степень

m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают AT или A'

Строки и столбцы поменялись местами

Пример

Свойства операций над матрицами


A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C


Видыматриц

1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором

4. Матрица столбец: n=1. Например

5. Диагональная матрица: m=n и aij=0, если i≠j. Например

6. Единичная матрица: m=n и

7. Нулевая матрица: aij=0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

Пример.

“ Вычисление пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределенностей”

Типы неопределенностей и методы их раскрытия

Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем. Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.

I. Неопределенность вида

Пример 1. Вычислить предел

Решение: При подстановке вместо переменной х числа 5 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно разложить знаменатель на множители: х2-25 = (х-5)*(х+5), получили общий множитель (х-5),на который можно сократить дробь. Задан­ный предел примет вид: .Подставив х=5,получим результат: = = =

Пример 2. Вычислить предел

Решение: При подстановке вместо переменной х числа 3  видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель х-3. В результате получим новый предел, знаменатель ко­торого при подстановке вместо переменной х числа 3 не равен нулю. Этот предел легко вы­числяется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта.

Пример 3. Вычислить предел

Решение: При подстановке вместо переменной х числа 0 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия воспользуемся первым замечательным пределом  и его следствием . После чего предел легко вычисляется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта.

II. Неопределенность вида

Пример 4. Вычислить предел

Решение: При подстановке вместо переменной х бесконечности ( ) видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень, в данном случае на х. Получим:

= = , т.к. величины являются бесконечно малыми и их пределы равны 0.

“Вычисление производных сложных функций”

Таблица производных основных элементарных функций:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

“Интегрирование заменой переменной и по частям”

Таблица интегралов

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.  11. 12. 13. 14. 15. 16.

Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование

Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подынтегральной функции, которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы.

Пример 1: Вычислите

Решение: Для вычисления интеграла сначала воспользуемся 2 и 3 свойствами неопре­деленного интеграла, а затем применим 1 и 4 табличные интегралы:

 Пример 2: Вычислите

Решение: Для вычисления интеграла сначала каждый член числителя почленно разделим на знаменатель, затем воспользуемся 2 и 3 свойствами неопре­деленного интеграла и применим 1 и 3 табличные интегралы

2. Метод замены переменной (метод подстановки)

Он является одним из наиболее эффективных и распространенных приемов интегри­рования, позволяющих вомногих случаях упростить вычисление интеграла. Суть этого ме­тода состоит в том, что путем введения новой переменной интегрирования заданный инте­грал сводится к новому интегралу, который легко вычисляется непосредственным интегри­рованием.

Пример 3: Вычислите

Решение: Введем новую переменную t = 3x-4, тогда , откуда . Подставим новую переменную в интеграл (вместо выражения 3х-4 подставим t, вместо подставим ).                  

Далее нужно вернуться к первоначальной переменной. Для этого сделаем обратную замену (вместо t подставим выражение 3х-4), получим окончательный ответ.

3. Метод интегрирования по частям

Рассмотрим функции и , которые имеют непрерывные производные. Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство:

Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:

Полученное равенство перепишем в виде:

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. С ее помощью интеграл можно свести к нахождению интеграла , который может быть более простым.

Задание. Найти интеграл

Решение. В исходном интеграле выделим функции и , затем выполним интегрирование по частям.

Ответ.

 

Задание. Найти интеграл

Решение. В исходном интеграле выделим функции и , затем выполним интегрирование по частям. Для решения данного интеграла эту операцию надо повторить 2 раза.

Ответ.

Задание. Найти интеграл

Решение. В исходном интеграле выделим функции и , затем выполним интегрирование по частям.

Ответ.

 

Задание. Найти интеграл

Решение. В исходном интеграле выделим функции и , затем выполним интегрирование по частям. Для решения данного интеграла эту операцию надо повторить 2 раза.

Ответ.

 


“Вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов”

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой у=f(х), двумя прямыми х=а и х=b и осью абсцисс, вычисляется с помощью определенного интеграла по формулам:

 

       

Пример: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями ,осями координат и прямой х=2.

Решение: Построим данные линии


 

 


Найдем точки пересечения графика функции с осью Ох: , ,


Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 253;