Свойства операций над матрицами. Образовательное учреждение высшего образования
Образовательное учреждение высшего образования
«Южно-Уральский институт управления и экономики»
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
по выполнению домашней контрольной работы №2
по дисциплине
«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
Для студентов заочной формы обучения
По направлению:
13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника»
Челябинск
2016
Номер варианта соответствует начальной букве фамилии студента.
| Начальная буква фамилии | Вариант задания |
| А, Е, Л | Первый |
| Р, Х, Э | Второй |
| Б, Ж, М | Третий |
| С, Ц, Ю | Четвертый |
| В, З, Н | Пятый |
| Т, Ч | Шестой |
| Г, И, О | Седьмой |
| У, Ш | Восьмой |
| Д, К, П | Девятый |
| Ф, Щ, Я | Десятый |
Задание №1. Выполнить операции над матрицами.
| 1 |
 * 
|
| 2 |
|
| 3 |
5 
|
| 4 |
2 
|
| 5 |
6 
|
| 6 |
3 
|
| 7 |
4  * 
|
| 8 |
7  -5 
|
| 9 |
6 
|
| 10 |
7 
|
Задание №2. Вычислить пределы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; Задание №3. Вычислить производную сложной функции.
| 1 | Y=(3x-4  )4
| Y= 
| Y=cos 3x* 
| Y=ln arctg2x |
| 2 | Y=(  -2  )2
| Y= 
| Y= 
| Y= 
|
| 3 | Y=(  )4
| Y= 
| Y= 
| Y= 
|
| 4 | Y= 
| Y= 
| Y= 
| Y= 
|
| 5 | Y= 
| Y= 
| Y= 
| Y= 
|
| 6 | Y= 
| Y= 
| Y= 
| Y=ln 
|
| 7 | Y= 
| Y= 
| Y= 
| Y= 
|
| 8 | Y= 
| Y= 
| Y= 
| Y=ln 
|
| 9 | Y= 
| Y= 
| Y= 
| Y=arc 
|
| 10 | Y= 
| Y= 
| Y= 
| Y=ln 
|
Задание №4.
|
|
|
А) Найти неопределенный интеграл заменой переменной
| 1 |
| 6 |
|
| 2 |
| 7 |
|
| 3 |
| 8 |
|
| 4 |
| 9 |
|
| 5 |
| 10 |
|
Б) Найти неопределенные интегралы, применяя метод интегрирования по частям.
| 1 | 
| 6 | 
|
| 2 | 
| 7 | 
|
| 3 | 
| 8 | 
|
| 4 | 
| 9 | 
|
| 5 | 
| 10 | 
|
Задание № 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (площадь области D).
1. 
| 2. 
|
3. 
| 4. 
|
5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
|
9. 
| 10.
|
Методические материалы:
Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.
Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра)имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.
|
|
|
Матрицей A=Amn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.
Элементы матрицы aij,у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.
Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a11, a22,..., ann .
Равенство матриц.
A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и aij=bij(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)
Действия над матрицами.
1. Сложение матриц - поэлементная операция
2. Вычитание матриц - поэлементная операция
3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция
4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)
Amk*Bkn=Cmn причем каждый элемент сijматрицы Cmn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.
Покажем операцию умножения матриц на примере
5. Возведение в степень
m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц
|
|
|
6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают AT или A'
Строки и столбцы поменялись местами
Пример
Свойства операций над матрицами
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)
λ(A+B)=λA+λB
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
λ(AB)=(λA)B=A(λB)
A(BC)=(AB)C
Видыматриц
1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа
2. Квадратные: m=n
3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором
4. Матрица столбец: n=1. Например
5. Диагональная матрица: m=n и aij=0, если i≠j. Например
6. Единичная матрица: m=n и
7. Нулевая матрица: aij=0, i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.
Пример.
“ Вычисление пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределенностей”
Типы неопределенностей и методы их раскрытия
Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем. Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.
|
|
|
I. Неопределенность вида 
Пример 1. Вычислить предел 
Решение: При подстановке вместо переменной х числа 5 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно разложить знаменатель на множители: х2-25 = (х-5)*(х+5), получили общий множитель (х-5),на который можно сократить дробь. Заданный предел примет вид: 
.Подставив х=5,получим результат: = = = 
Пример 2. Вычислить предел 
Решение: При подстановке вместо переменной х числа 3 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель х-3. В результате получим новый предел, знаменатель которого при подстановке вместо переменной х числа 3 не равен нулю. Этот предел легко вычисляется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта.
Пример 3. Вычислить предел 
Решение: При подстановке вместо переменной х числа 0 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия воспользуемся первым замечательным пределом 
и его следствием 
. После чего предел легко вычисляется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта.
II. Неопределенность вида 
Пример 4. Вычислить предел 
Решение: При подстановке вместо переменной х бесконечности ( 
) видим, что получается неопределенность вида 
. Для ее раскрытия нужно числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень, в данном случае на х. Получим:
= 
= 
, т.к. величины 
являются бесконечно малыми и их пределы равны 0.
“Вычисление производных сложных функций”
Таблица производных основных элементарных функций:
1. 
2.
3.  
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
| 12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
|
“Интегрирование заменой переменной и по частям”
Таблица интегралов
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
| 7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
| 13. 
14. 
15. 
16. 
|
Методы интегрирования
1. Непосредственное интегрирование
Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подынтегральной функции, которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы.
Пример 1: Вычислите 
Решение: Для вычисления интеграла сначала воспользуемся 2 и 3 свойствами неопределенного интеграла, а затем применим 1 и 4 табличные интегралы:
Пример 2: Вычислите 
Решение: Для вычисления интеграла сначала каждый член числителя почленно разделим на знаменатель, затем воспользуемся 2 и 3 свойствами неопределенного интеграла и применим 1 и 3 табличные интегралы
2. Метод замены переменной (метод подстановки)
Он является одним из наиболее эффективных и распространенных приемов интегрирования, позволяющих вомногих случаях упростить вычисление интеграла. Суть этого метода состоит в том, что путем введения новой переменной интегрирования заданный интеграл сводится к новому интегралу, который легко вычисляется непосредственным интегрированием.
Пример 3: Вычислите 
Решение: Введем новую переменную t = 3x-4, тогда 
, откуда 
. Подставим новую переменную в интеграл (вместо выражения 3х-4 подставим t, вместо 
подставим 
).
Далее нужно вернуться к первоначальной переменной. Для этого сделаем обратную замену (вместо t подставим выражение 3х-4), получим окончательный ответ.
3. Метод интегрирования по частям
Рассмотрим функции 
и 
, которые имеют непрерывные производные. Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство:
Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:
Полученное равенство перепишем в виде:
Эта формула называется формулой интегрирования по частям. С ее помощью интеграл 
можно свести к нахождению интеграла 
, который может быть более простым.
Задание. Найти интеграл 
Решение. В исходном интеграле выделим функции 
и 
, затем выполним интегрирование по частям.
Ответ. 
Задание. Найти интеграл 
Решение. В исходном интеграле выделим функции и , затем выполним интегрирование по частям. Для решения данного интеграла эту операцию надо повторить 2 раза.
Ответ. 
Задание. Найти интеграл 
Решение. В исходном интеграле выделим функции и , затем выполним интегрирование по частям.
Ответ. 
Задание. Найти интеграл 
Решение. В исходном интеграле выделим функции и , затем выполним интегрирование по частям. Для решения данного интеграла эту операцию надо повторить 2 раза.
Ответ. 
“Вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов”
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой у=f(х), двумя прямыми х=а и х=b и осью абсцисс, вычисляется с помощью определенного интеграла по формулам:
| 
|
Пример: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 
,осями координат и прямой х=2.
Решение: Построим данные линии
|
|
Найдем точки пересечения графика функции с осью Ох: 
, 
, 
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 461; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!