Первый замечательный предел: теория и примеры
Замечательных пределов существует несколько, но самыми известными являются первый и второй замечательные пределы. Замечательность этих пределов состоит в том, что они имеют широкое применение и с их помощью можно найти и другие пределы, встречающиеся в многочисленных задачах. Этим мы и будем заниматься в практической части данного урока. Для решения задач путём приведения к первому или второму замечательному пределу не нужно раскрывать содержащиеся в них неопределённости, поскольку значения этих пределов уже давно вывели великие математики.
Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере:
Приведённое выше равенство основано на эквивалентности бесконечно малых 
. Следовательно, верно равенство и следующего отношения:
.
Это разновидность первого замечательного предела.
Переходим к решению задач на первый замечательный предел. Заметим: если под знаком предела находится тригонометрическая функция, это почти верный признак того, что это выражение можно привести к первому замечательнному пределу.
При решении не обойтись без преобразований выражений. Для этого обязательно потребуется открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.
Пример 1.Найти предел 
.
Решение. Подстановка вместо x нуля приводит к неопределённости:
|
|
|
.
В знаменателе - синус, следовательно, выражение можно привести к первому замечательному пределу. Начинаем преобразования:
.
В знаменателе - синус трёх икс, а в числителе всего лишь один икс, значит, нужно получить три икс и в числителе, а, когда тройки сократятся, получится первый замечательный предел в чистом виде. Умножаем икс на три и тут же делим и далее решаем:
.
Пример 2.Найти предел 
.
Решение. Непосредственная подстановка вновь приводит к неопределённости "нуль делить на нуль":
.
Чтобы получить первый замечательный предел, нужно, чтобы икс под знаком синуса в числителе и просто икс в знаменателе были с одним и тем же коэффициентом. Пусть этот коэффициент будет равен 2. Для этого представим нынешний коэффициент при иксе как 
и далее, производя действия с дробями, получаем:
.
Пример 3.Найти предел 
.
Решение. При подстановке вновь получаем неопределённость "нуль делить на нуль":
.
Наверное, вам уже понятно, что из исходного выражения можно получить первый замечательный предел, умноженный на первый замечательный предел. Для этого раскладываем квадраты икса в числителе и синуса в знаменателе на одинаковые множители, а чтобы получить у иксов и у синуса одинаковые коэффициенты, иксы в числителе делим на 3 и тут же умножаем на 3. Получаем:
|
|
|
.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Предел
Пример 4.Найти предел 
.
Решение. Вновь получаем неопределённость "нуль делить на нуль":
.
Можем получить отношение двух первых замечательных пределов. Делим и числитель, и знаменатель на икс. Затем, чтобы коэффициенты при синусах и при иксах совпадали, верхний икс умножаем на 2 и тут же делим на 2, а нижний икс умножаем на 3 и тут же делим на 3. Получаем:
Пример 5.Найти предел 
.
Решение. И вновь неопределённость "нуль делить на нуль":
.
Помним из тригонометрии, что тангенс - это отношение синуса к косинусу, а косинус нуля равен единице. Производим преобразования и получаем:
.
Пример 6.Найти предел 
.
Решение. Тригонометрическая функция под знаком предела вновь наталкивает на мысль о применении первого замечательного предела. Представляем его как отношение синуса к косинусу.
.
Так как 
, то 
и
Пример 7.Найти предел 
.
Решение. И вновь неопределённость "ноль делить на ноль" и синус под знаком предела. Значит надо приводить к первому замечательному пределу. Умножим числитель и знаменатель на выражение сопряжённое числителю и получим
|
|
|
Пример 8.Найти предел 
.
Решение. Бороться с неопределённостью "ноль делить на ноль" будем приведением к первому замечательному пределу. Вспоминаем формулу тригонометрической единицы и подставляем её. Потом вспоминаем, что косинус в квадрате нуля и просто косинус нуля равны единице, а они у нас с противоположными знаками, значит взаимно уничтожаются. Затем умножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю. И дальнейшие преобразования. Всё вышеописанное выглядит так:
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 1056; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!