Алгоритм интегрирования рациональных функций
Рациональная функция - это дробь вида 
, числитель и знаменатель которой - многочлены или произведения многочленов.
Из урока "Интегрирование некоторых рациональных дробей и иррациональностей" известно, что рациональные дроби бывают неправильные, если степень многочлена в её числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, и правильные, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. В том же уроке говорилось о том, как представить неправильную дробь в виде суммы её целой части и некоторой правильной дроби.
На этом уроке будем учиться интегрировать такие рациональные функции, которые представлены в виде правильных дробей. Для этого существует метод неопределённых коэффициентов, основанный на теореме, которая гласит, что всякая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простых дробей.
Приведённый ниже алгоритм интегирования рациональных функций будет пошагово проиллюстрирован в примерах.
Алгоритм интегрирования рациональных функций
- Шаг 1.Определить вид многочлена в знаменателе дроби (он может иметь действительные, кратные действительные, комплексные и кратные комплексные корни) и в зависимости от вида разложить дробь на простые дроби, в числителях которых - неопределённые коэффициенты, число которых равно степени знаменателя.
- Шаг 2.Определить значения неопределённых коэффициентов. Для этого потребуется решить систему уравнений, сводящуюся к системе линейных уравнений.
- Шаг 3.Найти интеграл исходной рациональной функции (дроби) как сумму интегралов полученных простых дробей, к которым применяются табличные интегралы.
Переходим к первому шагу алгоритма
|
|
|
Шаг 1: разложение исходной дроби
Многочлен в знаменателе имеет действительные корни. То есть, в знаменателе имеет место цепочка сомножителей вида 
, в которой каждый из сомножителей находится в первой степени. В этом случае разложение дроби с использованием метода неопределённых коэффициентов будет следующим:
Пример 1.Шаг 1.Дан интеграл от рациональной функции 
.
От нас требуется разложить подынтегральное выражение - правильную дробь 
на простые дроби.
Решение. Дискриминант уравнения 
положительный, поэтому многочлен в знаменателе имеет действительные корни. Получаем следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей:
.
Пример 2.Шаг 1.Дан интеграл от рациональной функции
.
Решение. Разложим знаменатель подынтегрального выражения на множители. Сначала можно вынести за скобки x. Получаем следующую дробь:
.
Для разложения квадратного трёхчлена в скобках решаем квадратное уравнение:
|
|
|
Получаем разложение знаменателя на множители в подынтегральном выражении:
.
Дискриминант решённого выше квадратного уравнения положительный, то есть имеем дело со случаем, когда многочлен в знаменателе имеет действительные корни. Разложение исходной дроби подынтегрального выражения будет следующим:
.
Как и в первом примере, числа, обозначенные большими буквами, пока неизвестны. Отсюда и название - метод неопределённых коэффициентов.
Многочлен в знаменателе имеет кратные действительные корни. Этот случай имеет место, когда в цепочке сомножителей в знаменателе присутствует выражение вида 
, то есть один из многочленов в степени 2 и больше. В этом случае разложение дроби с использованием метода неопределённых коэффициентов будет следующим:
Пример 3.Шаг 1.Дан интеграл от рациональной функции 
.
Решение. Представляем разность квадратов в виде произведения суммы и разности 
.
Тогда подынтегральное выражение запишется в виде
,
все уравнения с многочленами которого имеют действительные корни. Это случай кратных действительных корней, так как последний сомножитель находится во второй степени. Получаем следующее разложение исходной дроби на простые дроби:
|
|
|
Как видим, в этом случае нужно понижать степень кратного многочлена с исходной до первой и записывать простую дробь с каждой из этих степеней в знаменатель.
Пример 4.Шаг 1.Дан интеграл от рациональной функции 
.
Решение. Уравнения с многочленами в знаменателе имеют действительные корни, а сами многочлены присутствуют в степенях больше первой. Поэтому получаем следующее разложение исходной дроби на простые дроби:
.
Многочлен в знаменателе имеет комплексные корни: дискриминант квадратного уравнения 
, присутствующего в цепочке сомножителей в знаменателе, меньше нуля. В этом случае при разложении дроби в простой дроби, соответствующей описанному выше сомножителю, в числителе нужно записывать линейное выражение с переменной x (это выражение - последнее в следующей записи):
Пример 5.Шаг 1.Дан интеграл от рациональной функции 
.
Решение. Уравнение в скобках имеет комплексные корни, а оба сомножителя присутствуют в знаменателе в первой степени. Поэтому получаем следующее разложение исходной дроби на простые дроби:
.
Пример 6.Шаг 1.Дан интеграл от рациональной функции 
.
Решение. Представим знаменатель дроби в подынтегральном выражении в виде следующего произведения сомножителей:
|
|
|
.
Решение. Уравнение с последним сомножителем имеет комплексные корни, а все сомножители присутствуют в знаменателе в первой степени. Поэтому получаем следующее разложение исходной дроби на простые дроби:
Многочлен в знаменателе имеет кратные комплексные корни: дискриминант квадратного уравнения , присутствующего в цепочке сомножителей в знаменателе, меньше нуля и этот сомножитель присутствует в степени 2 или больше. В этом случае разложение дроби с использованием метода неопределённых коэффициентов будет следующим:
То есть в сумме простых дробей число простых дробей с линейным выражением в числителе должно быть равно степени сомножителя, имеющего комплексные корни.
Пример 7.Шаг 1.Дан интеграл от рациональной функции 
.
Решение. Квадратный трёхчлен 
имеет комплексные корни и присутствует в знаменателе подынтегральной дроби во второй степени. Поэтому получаем следующее разложение дробного выражения:
.
Пример 8.Шаг 1.Дан интеграл от рациональной функции 
.
Решение. Квадратный трёхчлен в знаменателе имеет комплексные корни и присутствует в подынтегральной дроби во второй степени. Поэтому получаем следующее разложение дробного выражения:
.
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 792; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!