Основные понятия и операции формальной логики
Логические выражения и их преобразование
Логика – это наука о формах и способах мышления. Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Логика позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны.
Мышление всегда осуществляется в каких-то формах. Основными формами мышления являются понятие, суждение и умозаключение.
Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта. Понятие имеет две стороны: содержание и объем. Содержание понятия составляет совокупность существенных признаков объекта. Чтобы раскрыть содержание понятия, следует найти признаки, необходимые и достаточные для выделения данного объекта из множества других объектов. Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которые оно распространяется.
Свое понимание окружающего мира человек формулирует в форме высказываний (суждений, утверждений). Высказывание строится на основе понятий и по форме является повествовательным предложением. Высказывания могут быть выражены не только с помощью естественных языков, но и с помощью формальных языков. Об объектах можно судить верно или неверно, т.е. высказывание может быть истинным или ложным. Истинным будет высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. Ложным высказывание будет в том случае, когда оно не соответствует реальной действительности. Конечно, иногда истинность того или иного высказывания является относительной. Истинность высказываний может зависеть от взглядов людей, от конкретных обстоятельств и т.д.
|
|
|
Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о реальных предметах, их свойствах и отношениях между ними. Высказывание может быть либо истинно, либо ложно. Высказывание не может быть выражено повелительным или вопросительным предложением, т.к. оценка их истинности или ложности невозможна. На основании простых высказываний могут быть построены составные высказывания.
Если истинность или ложность простых высказываний устанавливается в результате соглашения на основании здравого смысла, то истинность или ложность составных высказываний вычисляется с помощью использования алгебры высказываний.
Умозаключения позволяют на основе известных фактов, выраженных в форме суждений, получать заключение, т.е. новое знание. Примером умозаключений могут быть геометрические доказательства. Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение. Посылками умозаключения по правилам формальной логики могут быть только истинные суждения. Тогда, если умозаключение проводится в соответствии с правилами формальной логики, то оно будет истинным. В противном случае, можно придти к ложному умозаключению.
|
|
|
Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы можно было определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание.
В алгебре высказываний суждениям (простым высказываниям) ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые заглавными буквами латинского алфавита; высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения «истина» (1) и «ложь» (0); над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания.
Для образования новых высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и», «или», «не».
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» называется операцией логического умножения или конъюнкцией.
Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны входящие в него простые высказывания.
|
|
|
Функция логического умножения может принимать лишь два значения «истина» (1) и «ложь» (0). Значение логической функции можно определить с помощью таблицы истинности данной функции:
| А | В | F =A&B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Объединение двух (или нескольких) высказываний с помощью союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией.
Составное высказывание, образованное в результате логического сложения (дизъюнкции), истины но тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.
Значение логической функции можно определить с помощью таблицы истинности данной функции:
| А | В | F=A&В |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией.
Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.
Таблица истинности функции логического отрицания:
| А | F= 
|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения), в которую войдут логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции.
|
|
|
Для записи составных высказываний в виде логических выражений на формальном языке (языке алгебры логики) в составном высказывании нужно выделить простые высказывания и логические связи между ними.
При построении таблиц истинности целесообразно руководствоваться определенной последовательностью действий. Во-первых, необходимо определить количество строк в таблице истинности, которое равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в логическое выражение. Если количество логических переменных n, то: Количество строк = 2n. Во-вторых, необходимо определить количество столбцов в таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций. В-третьих, необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, обозначить столбцы и внести возможные наборы значений исходных логических переменных. В-четвертых, необходимо заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности. Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных.
Логические выражения, у которых таблицы истинности совпадают, называются равносильными. Для обозначения равносильных логических выражений используется знак «=». Для доказательства равносильности необходимо составить таблицы истинности для левой и правой частей равенства, затем сравнить полученные результаты.
Законы логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления.
Закон тождества. Всякое высказывание тождественно самому себе:
Закон непротиворечия. Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание А – истинно, то его отрицание не А должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно.
Закон исключенного третьего. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Это означает, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение истина.
Закон двойного отрицания. Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание.
Кроме логических законов, важное значение для выполнения преобразований логических выражений имеют правила алгебраических преобразований.
Правило коммутативности. В обычной алгебре слагаемые и множители можно менять местами. В алгебре высказываний можно менять местами логические переменные при операциях логического умножения и логического сложения.
Правило ассоциативности. Если в логическом выражении используются только операция логического умножения или только операция логического сложения, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять.
Правило дистрибутивности. В отличие от обычной алгебры, где за скобки можно выносить только общие множители, в алгебре высказываний можно выносить за скобки как общие множители, так и общие слагаемые.
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 3110; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!