Приложения двойных интегралов



Вычисление площадей плоских фигур и объёмов тел

 

Для их нахождения используют формулы:

, .

Пример 1.Вычислить площадь области , ограниченной линиями , .

Решение. Строим область  (см. рис. 6).

Рис. 6.

 

Заметим, что её удобнее спроектировать на ось , т.к. область  правильная в направлении оси .

Решая совместно данные уравнения линий границ, найдем координаты точек их пересечения:

Þ , ,

Линия входа – парабола,  – её уравнение, разрешенное относительно . Линия выхода – прямая,  – её уравнение, разрешенное относительно . Отрезок  – проекция области  на ось . Таким образом, область задается в виде системы неравенств: .

Площадь вычисляем по формуле

.

Пример 2.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , , .

Решение. По условию дано цилиндрическое тело, которое сверху ограничено плоскостью , с боков – параболическим цилиндром , образующие которого параллельны оси  (см. рис. 7а). Основанием  цилиндрического тела является проекция тела на плоскость , которая ограничена линиями: ,  (см. рис. 7б).

Рис. 7а. Рис. 7б.

 

Объем тела вычисляем по формуле:

.

 

Вычисление массы и статических моментов плоской пластинки

Из физики известно, что масса плоской пластинки  равна интегралу от поверхностной плотности пластинки  в точке  по площади пластинки, т.е.

.

Статические моменты  и  плоской пластинки  относительно осей  и  вычисляются по формулам

,       .

Если пластинка однородна, то .

 

Пример.Найти массу неоднородной пластинки , ограниченной заданными линиями, если поверхностная плотность в каждой её точке ,

 (рис. 8): , ,   ( ); .

Решение.

 

.

 

Рис. 8.

Вычисление координат центра тяжести плоской         пластинки

Если  - центр тяжести (масс) пластинки, то его координаты определяются по формулам

,           ,

где  - масса пластинки и ,  - её статические моменты относительно осей координат ,  соответственно.

Пример 1. Найти координаты центра тяжести пластинки с постоянной плотностью , если  (рис .9): , , , .

Решение. , .

 

Найдем массу пластинки:

 

Рис. 9.

.

Теперь находим статические моменты пластинки:

;

.

Следовательно, , .

Пример 2. Найти координаты центра тяжести пластинки, ограниченной линиями , , если плотность .

Решение.

Вследствие симметрии пластинки относительно оси  (см. рис. 10) центр тяжести находится на оси , т.е. .

Координата .

 

                        

     Рис. 10.                                 Находим массу пластинки:

.

Вычислим статический момент :

.

Следовательно, , .

Вычисление моментов инерции плоской пластинки

 

Моменты инерции плоской пластинки  с плотностью  относительно координатных осей  и  вычисляются по формулам:

,         .

Пример.Найти момент инерции однородной пластинки с плотностью , ограниченной прямыми , , , относительно оси  (рис. 11).

Решение.

 

 

Рис. 11.

 


Пример решения контрольной работы

Задание 1. Вычислить массу и координаты центра тяжести (масс) пластины D, заданной линиями , ,если поверхностная плотность в каждой её точке . Координаты центра тяжести (масс) отметить на координатной плоскости вместе с изображением пластины D.

Решение.

Рис. 12. а) Массу находим по формуле , где . Область D:  имеет вид, изображённый на рисунке 12.

б) Для нахождения координат центра тяжести (масс) пластины D воспользуемся формулами

, ,

где  - масса пластины, и  - её статические моменты.

, .

.

Следовательно, , .

Наносим на координатную плоскость центр тяжести M .

Задание 2. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

, , , , .

Решение.

 

     Рис.13. Объём данного тела можно вычислить с помощью формулы , где  – параболоид, область D – треугольник ОАВ (см. рис.13).      

= .


Варианты контрольной работы

Задание 1. Вычислить массу и координаты центра тяжести (масс) пластины D, заданной линиями с поверхностной плотностью в каждой её точке . Координаты центра тяжести (масс) отметить на координатной плоскости вместе с изображением пластины D.

1) D: , , , ;

2) D: , , , ;

3) D: , , ,

4) D: , , , , ;

5) D: , , , ;

6) D: , , ;

7) D: , , , ;

8) D: , , ;

9) D: , , ,

10) D: , , .

Задание 2. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

1) , , , ,

2) , , , ,

3) , , , ,

4) , , , ,

5) , , , ,

6) , , , ,

7) , , , ,

8) , , , ,

9) , , , ,

10) , , , ,


Список литературы

1. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления : учеб. пособие для втузов: [в 2 т.] . Т. 2 / Н. С. Пискунов . - Изд. стер. . - М. : Интеграл-Пресс , 2009 . - 544 с.

2. Щипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов /В.С. Щипачев. – 6-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.

3. Кузнецов, Л.А. Сборник задач по высшей математике: типовые расчеты: учеб. пособие / Л.А. Кузнецов. – Изд. 8-е, стер. – СПб.: Лань, 2006. – 239 с.

4. Рябушко, А.П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: учебное пособие / А.П. Рябушко, в.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть; под общей редакцией А.П. Рябушко. Ч.3. – Мн.: Выс.шк., 1991. – 288 с.: ил.

Оглавление

Введение …………………………………………………………………….. 3

1. Определение и свойства двойного интеграла…………………………... 3

2. Вычисление двойного интеграла ……………………………………..… 5

3. Примеры решения задач ………………………………………………… 6

4. Приложения двойных интегралов ………………………………………. 7

5. Пример решения контрольной работы ………………………………… 12

6. Варианты контрольной работы ………………………………………… 14

Список литературы ………………………………………………………… 15


Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 559;