Вычисление двойного интеграла
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
Вологодский государственный университет
Кафедра высшей математики
МАТЕМАТИКА
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Методические указания для самостоятельной работы студентов
Вологда
2015
УДК 629.113.004.5
МАТЕМАТИКА: КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ: методические указания для самостоятельной работы студентов. – Вологда: ВоГУ, 2015. – 16 с.
В методических указаниях рассмотрен такой раздел высшей математики как кратные интегралы на примере двойных интегралов. Этот раздел является темой контрольной работы №12 по высшей математике для студентов заочной формы обучения направления «Электроэнергетика и электротехника», профиль «Электрооборудование и электрохозяйство предприятий, организаций и учреждений».
В данной работе представлен необходимый теоретический материал, рассмотрен ряд важных геометрических и физических задач (например: вычисление объема тела, массы плоской пластинки), приводящих к интегрированию функций нескольких переменных, приведены примеры решения задач соответствующей контрольной работы и задания для самостоятельного выполнения студентами. Пособие снабжено многочисленными иллюстрациями к решению задач.
Методические указания составлены преподавателями кафедры высшей математики ВоГУ: старшим преподавателем Быстроумовой А.П., доцентом Микрюковой О.И., а также Панфиловой О.А., канд. техн. наук, начальником кафедры информатики и математики ВИПЭ и старшим преподавателем кафедры математики и методики преподавания математики Педагогического института ВоГУ Соколовой Л.Г.
|
|
Утверждено редакционно-издательским советом ВоГУ
Рецензент: канд. техн. наук, доцент кафедры математики и методики
преподавания математики Педагогического института ВоГУ
Кашенков А.Р.
Введение
Решение ряда важных физических, геометрических и технических задач, например, вычисление объемов и массы тел, центров тяжести и моментов инерции, приводит к интегрированию функций нескольких переменных. Возникающие при этом интегралы называются кратными.
Кратность интегралов зависит от количества переменных в интегрируемой функции. В данной работе рассмотрены двойные интегралы, применение которых позволяет решить многие задачи, возникающие в практической деятельности.
В пособии приведены необходимые теоретические сведения с примерами решения задач. Теоретический материал проиллюстрирован многочисленными рисунками.
В первую очередь, данная работа предназначена для студентов, обучающихся на факультете заочного и дистанционного обучения по направлению «Электроэнергетика и электротехника» и профилю «Электрооборудование и электрохозяйство предприятий, организаций и учреждений». Оно поможет им в выполнении контрольной работы № 12 «Кратные интегралы» дисциплины «Высшая математика». В пособии содержится пример решения данной контрольной работы и задания для самостоятельной работы студентов в десяти вариантах.
|
|
Определение и свойства двойного интеграла
Рассмотрим одну из геометрических задач, которая приводит к понятию двойного интеграла.
Пусть непрерывная функция определена в конечной замкнутой области плоскости . Найдем объем тела, основанием которого служит область на плоскости , боковая поверхность цилиндрическая, образующие которой параллельны оси , а сверху тело ограничено поверхностью .
Разобьем область произвольным образом на конечное число элементарных областей площадью , на каждой из которых построим элементарное цилиндрическое тело, высоту которого можно принять равной значению функции в произвольной точке , принадлежащей (см. рис. 1). Объем такого элементарного цилиндра, очевидно, равен
|
|
.
Рис.1. Тогда искомый объем будет равен сумме элементарных объемов :
.
Полученная сумма называется интегральной суммой, соответствующей данному разбиению и фиксированному выбору точек .
Объем данного цилиндрического тела может быть найден тем точнее, чем меньше размер области , который можно оценить наибольшим диаметром (наибольшее расстояние между точками этой части). Тогда
.
Двойным интегралом от функции по области называется предел интегральной суммы при стремлении наибольшего диаметра части разбиения к нулю, если этот предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения на части и от выбора в них точек и обозначается , т.е.
,
где - область интегрирования;
- подынтегральная функция;
- элемент площади, который в декартовой системе координат вычисляется по формуле: .
Из определения двойного интеграла следует, что если , , то двойной интеграл равен площади области интегрирования (фигуры) , т.е.
,
а если , то двойной интеграл
выражает объем цилиндрического тела, «крыша» которого – поверхность , а основание – область , на которую проецируется поверхность .
Определение двойного интеграла конструктивно аналогично определению определенного интеграла, поэтому двойной интеграл обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл.
|
|
1. .
2. .
3. Если область разбита на две непересекающиеся части и , то .
4. Если в , то .
Вычисление двойного интеграла
Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат сводится к последовательному вычислению двух обычных определенных интегралов (повторному интегрированию).
Различают два основных вида области интегрирования .
Область называется правильной в направлении (относительно) оси ( ), если каждая прямая, параллельная оси ( ) и проходящая через внутреннюю точку области , пересекает её границу только в двух точках.
Нижняя (левая) из этих точек называется точкой входа в область, верхняя (правая) – точкой выхода из области.
Правильная область может быть задана системой неравенств.
а ) Рассмотрим область правильную в направлении оси (рис. 2):
Þ | |
Рис. 2. |
В этом случае двойной интеграл вычисляется по формуле
, (1)
где - линия входа в область, - линия выхода, направление движения показано стрелкой на рис. 2.
В формуле (1) сначала внутренний интеграл берется по при фиксированном , затем от полученного результата находится внешний интеграл по .
б) Теперь рассмотрим область , правильную в направлении оси (рис. 3):
Þ | |
Рис. 3. |
Тогда двойной интеграл вычисляется по формуле
, (2)
где - линия входа в область, - линия выхода из области.
В формуле (2) внутренний интеграл берется по при постоянном , а внешний интеграл – по .
Выражения, стоящие в правых частях равенств (1) и (2), называются повторными (или двукратными) интегралами.
Переход от равенства (1) к (2) или обратно называется изменением порядка интегрирования. Значение двойного интеграла не зависит от порядка интегрирования.
с) Если область интегрирования не принадлежит ни к одному из разобранных выше видов, то её разбивают на конечное число частей, каждая из которых является правильной в направлении какой-либо из координатных осей.
Тогда .
Примеры решения задач
Пример 1.Для интеграла построить область интегрирования.
Решение. Найдем аналитическое выражение области в виде системы неравенств:
Þ | уравнения границ: , , - линия входа, - линия вы хода. |
Теперь изобразим область интегрирования на рис. 4.
Рис. 4.
Пример 2.Вычислить двойной интеграл если D ограничена линиями: , , .
Решение. Область интегрирования D описывается системой .
Строим область D (см. рис.5). Границы области: , , - прямые, т.е. область D - треугольник, где - линия входа, - линия выхода, . Поэтому данный двойной интеграл можно записать в виде следующего повторного:
Рис. 5.
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 518; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!