Вычисление двойного интеграла



МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Вологодский государственный университет

Кафедра высшей математики

 

 

МАТЕМАТИКА

 

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

 

Методические указания для самостоятельной работы студентов

 

 

Вологда  

2015


УДК 629.113.004.5

 

МАТЕМАТИКА: КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ: методические указания для самостоятельной работы студентов. – Вологда: ВоГУ, 2015. – 16 с.

 

 

В методических указаниях рассмотрен такой раздел высшей математики как кратные интегралы на примере двойных интегралов. Этот раздел является темой контрольной работы №12 по высшей математике для студентов заочной формы обучения направления «Электроэнергетика и электротехника», профиль «Электрооборудование и электрохозяйство предприятий, организаций и учреждений».

В данной работе представлен необходимый теоретический материал, рассмотрен ряд важных геометрических и физических задач (например: вычисление объема тела, массы плоской пластинки), приводящих к интегрированию функций нескольких переменных, приведены примеры решения задач соответствующей контрольной работы и задания для самостоятельного выполнения студентами. Пособие снабжено многочисленными иллюстрациями к решению задач.

Методические указания составлены преподавателями кафедры высшей математики ВоГУ: старшим преподавателем Быстроумовой А.П., доцентом Микрюковой О.И., а также Панфиловой О.А., канд. техн. наук, начальником кафедры информатики и математики ВИПЭ и старшим преподавателем кафедры математики и методики преподавания математики Педагогического института ВоГУ Соколовой Л.Г.

 

Утверждено редакционно-издательским советом ВоГУ

 

Рецензент: канд. техн. наук, доцент кафедры математики и методики

преподавания математики Педагогического института ВоГУ

Кашенков А.Р.


Введение

Решение ряда важных физических, геометрических и технических задач, например, вычисление объемов и массы тел, центров тяжести и моментов инерции, приводит к интегрированию функций нескольких переменных. Возникающие при этом интегралы называются кратными.

Кратность интегралов зависит от количества переменных в интегрируемой функции. В данной работе рассмотрены двойные интегралы, применение которых позволяет решить многие задачи, возникающие в практической деятельности.

В пособии приведены необходимые теоретические сведения с примерами решения задач. Теоретический материал проиллюстрирован многочисленными рисунками.

В первую очередь, данная работа предназначена для студентов, обучающихся на факультете заочного и дистанционного обучения по направлению «Электроэнергетика и электротехника» и профилю «Электрооборудование и электрохозяйство предприятий, организаций и учреждений». Оно поможет им в выполнении контрольной работы № 12 «Кратные интегралы» дисциплины «Высшая математика». В пособии содержится пример решения данной контрольной работы и задания для самостоятельной работы студентов в десяти вариантах.

Определение и свойства двойного интеграла

Рассмотрим одну из геометрических задач, которая приводит к понятию двойного интеграла.

Пусть непрерывная функция  определена в конечной замкнутой области  плоскости . Найдем объем  тела, основанием которого служит область  на плоскости , боковая поверхность цилиндрическая, образующие которой параллельны оси , а сверху тело ограничено поверхностью .

Разобьем область  произвольным образом на конечное число  элементарных областей  площадью , на каждой из которых построим элементарное цилиндрическое тело, высоту которого можно принять равной значению функции в произвольной точке , принадлежащей  (см. рис. 1). Объем такого элементарного цилиндра, очевидно, равен

.

      Рис.1.                   Тогда искомый объем  будет равен сумме элементарных объемов :

.

Полученная сумма называется интегральной суммой, соответствующей данному разбиению и фиксированному выбору точек .

Объем  данного цилиндрического тела может быть найден тем точнее, чем меньше размер области , который можно оценить наибольшим диаметром  (наибольшее расстояние между точками этой части). Тогда

.

Двойным интегралом от функции  по области  называется предел интегральной суммы при стремлении наибольшего диаметра части разбиения  к нулю, если этот предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения  на части  и от выбора в них точек  и обозначается , т.е.

,

где  - область интегрирования;

 - подынтегральная функция;

 - элемент площади, который в декартовой системе координат вычисляется по формуле: .

Из определения двойного интеграла следует, что если , , то двойной интеграл равен площади  области интегрирования (фигуры) , т.е.

,

а если , то двойной интеграл

выражает объем цилиндрического тела, «крыша» которого – поверхность , а основание – область , на которую проецируется поверхность .

Определение двойного интеграла конструктивно аналогично определению определенного интеграла, поэтому двойной интеграл обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл.

1. .

2. .

3. Если область  разбита на две непересекающиеся части  и , то .

4. Если  в , то .

Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат сводится к последовательному вычислению двух обычных определенных интегралов (повторному интегрированию).

Различают два основных вида области интегрирования .

Область  называется правильной в направлении (относительно) оси  ( ), если каждая прямая, параллельная оси  ( ) и проходящая через внутреннюю точку области , пересекает её границу только в двух точках.

Нижняя (левая) из этих точек называется точкой входа в область, верхняя (правая) – точкой выхода из области.

Правильная область может быть задана системой неравенств.

а ) Рассмотрим область  правильную в направлении оси  (рис. 2):

       Þ  
  Рис. 2.

 

В этом случае двойной интеграл вычисляется по формуле

,                                         (1)

где  - линия входа в область,  - линия выхода, направление движения показано стрелкой на рис. 2.

В формуле (1) сначала внутренний интеграл  берется по  при фиксированном , затем от полученного результата находится внешний интеграл по .

б) Теперь рассмотрим область , правильную в направлении оси  (рис. 3):

    Þ       
  Рис. 3.

Тогда двойной интеграл вычисляется по формуле

,                                 (2)

где  - линия входа в область,  - линия выхода из области.

В формуле (2) внутренний интеграл  берется по  при постоянном , а внешний интеграл – по .

Выражения, стоящие в правых частях равенств (1) и (2), называются повторными (или двукратными) интегралами.

Переход от равенства (1) к (2) или обратно называется изменением порядка интегрирования. Значение двойного интеграла не зависит от порядка интегрирования.

с) Если область интегрирования не принадлежит ни к одному из разобранных выше видов, то её разбивают на конечное число частей, каждая из которых является правильной в направлении какой-либо из координатных осей.

Тогда                      .

Примеры решения задач

Пример 1.Для интеграла  построить область интегрирования.

Решение. Найдем аналитическое выражение области  в виде системы неравенств:

Þ     уравнения границ:     , ,  - линия входа,  - линия вы хода.

Теперь изобразим область интегрирования на рис. 4.

Рис. 4.

Пример 2.Вычислить двойной интеграл  если D ограничена линиями: , , .

Решение.  Область интегрирования D описывается системой .

Строим область D (см. рис.5). Границы области: , ,  - прямые, т.е. область D - треугольник, где  - линия входа,  - линия выхода, . Поэтому данный двойной интеграл можно записать в виде следующего повторного:

              Рис. 5.

 


Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 518; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!