Основная формула Ньютона – Лейбница

Порядка

1Пример. .

Теперь интегрируем:

- это общее решение исходного дифференциального уравнения.

Пример

:

Итак, если F(x) – одна из первообразных непрерывной функции f(x) на [a,b], то справедлива формула Ньютона-Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а функция x = φ(t) непрерывно дифференцирована на отрезке [t₁,t₂], причем a = φ(t₁), b = φ(t₂), то имеет место формула

Если функции u(x), v(x) и их производные u'(x), v'(x) непрерывны на отрезке [a,b], то справедлива формула интегрирования по частям

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 4 Вычислить интеграл

Решение.

На основании формулы произведения синусов, таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 5. Вычислить интеграл

Решение.

Разложим подынтегральную функцию на сумму простых дробей,

Решив систему

Получим

Тогда на основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем

Пример 6. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Сделаем замену e^x + 4 = t², тогда e^x= t²– 4, e^x dx = 2t dt,

Если x= ln5, то t = 3; если x= ln12, то t = 4. Тогда

Пример 7. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Пример 8. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Сделаем подстановку t = cosx

Если x = 0, то t = cos 0 = 1, если

Следовательно

Пример 9. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Найдем пределы по t:

Находим

Следовательно,

Пример 10. Вычислить интеграл

Решение.

Хороший метод решения интегралов, это метод занесения под дифференциал, его плюс состоит в том, что не требуется менять пределы интегрирования

Пример 11. Вычислить интеграл

Решение. На основании таблицы основных интегралов и формулы (3) имеем (интегрируем по частям)

 

Найти неопределенные интегралы.

3.13.

Задача 10. Вычислить определенные интегралы.

10.13.

 

 

Задача 14. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.

14.13.

Задача 16. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.

16.13.

Задача 1. Найти неопределенные интегралы.

Задача 2. Вычислить определенные интегралы.

Задача 3. Найти неопределенные интегралы.

Задача 4. Вычислить определенные интегралы.

Задача 5. Найти неопределенные интегралы.

Разделим дробь

Разложим дробь на простейшие

При ,

При ,

При ,

Отсюда

Задача 8. Вычислить определенные интегралы.

Разложим дробь на простейшие

При ,

Приравнивая коэффициенты при ,

Приравнивая коэффициенты при ,

Приравнивая коэффициенты при ,

Отсюда

Вычислить определенные интегралы.

Вычислить неопределенные интегралы.

Примеры вычисления неопределённых интегралов

Вычисление интеграла по таблице

= dx =

 

 

;

 

Интегрирование подстановкой:

 

Основная формула Ньютона – Лейбница

Вычисления подстановкой

 

---

Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 382; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!