Формализация понятия алгоритма
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГОРИТМОВ
Исторический обзор
Первым дошедшим до нас алгоритмом в его интуитивном понимании – конечной последовательности элементарных действий, решающих поставленную задачу, считается предложенный Евклидом в III веке до нашей эры алгоритм нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (алгоритм Евклида). Отметим, что в течение длительного времени, вплоть до начала XX века само слово «алгоритм» употреблялось в устойчивом сочетании «алгоритм Евклида». Для описания пошагового решения других математических задач использовалось слово «метод».
Начальной точкой отсчета современной теории алгоритмов можно считать работу немецкого математика Курта Гёделя (1931 год - теорема о неполноте символических логик), в которой было показано, что некоторые математические проблемы не могут быть решены алгоритмами из некоторого класса. Общность результата Геделя связана с тем, совпадает ли использованный им класс алгоритмов с классом всех (в интуитивном смысле) алгоритмов. Эта работа дала толчок к поиску и анализу различных формализаций алгоритма.
Первые фундаментальные работы по теории алгоритмов были опубликованы независимо в 1936 году годы Аланом Тьюрингом, Алоизом Черчем и Эмилем Постом. Предложенные ими машина Тьюринга, машина Поста и лямбда-исчисление Черча были эквивалентными формализмами алгоритма. Сформулированные ими тезисы (Поста и Черча-Тьюринга) постулировали эквивалентность предложенных ими формальных систем и интуитивного понятия алгоритма. Важным развитием этих работ стала формулировка и доказательство алгоритмически неразрешимых проблем.
|
|
|
В 1950-е годы существенный вклад в теорию алгоритмов внесли работы Колмогорова и Маркова.
К 1960-70-ым годам оформились следующие направления в теории алгоритмов:
o Классическая теория алгоритмов (формулировка задач в терминах формальных языков, понятие задачи разрешения, введение сложностных классов, формулировка в 1965 году Эдмондсом проблемы P=NP, открытие класса NP-полных задач и его исследование);
o Теория асимптотического анализа алгоритмов (понятие сложности и трудоёмкости алгоритма, критерии оценки алгоритмов, методы получения асимптотических оценок, в частности для рекурсивных алгоритмов, асимптотический анализ трудоемкости или времени выполнения), в развитие которой внесли существенный вклад Кнут, Ахо, Хопкрофт, Ульман, Карп;
o Теория практического анализа вычислительных алгоритмов (получение явных функции трудоёмкости, интервальный анализ функций, практические критерии качества алгоритмов, методика выбора рациональных алгоритмов), основополагающей работой в этом направлении, очевидно, следует считать фундаментальный труд Д. Кнута «Искусство программирования для ЭВМ».
|
|
|
Цели и задачи теории алгоритмов
Обобщая результаты различных разделов теории алгоритмов можно выделить следующие цели и соотнесенные с ними задачи, решаемые в теории алгоритмов:
o формализация понятия «алгоритм» и исследование формальных алгоритмических систем;
o формальное доказательство алгоритмической неразрешимости ряда задач;
o классификация задач, определение и исследование сложностных классов;
o асимптотический анализ сложности алгоритмов;
o исследование и анализ рекурсивных алгоритмов;
o получение явных функций трудоемкости в целях сравнительного анализа алгоритмов;
o разработка критериев сравнительной оценки качества алгоритмов.
Практическое применение результатов теории алгоритмов
Полученные в теории алгоритмов теоретические результаты находят достаточно широкое практическое применение, при этом можно выделить следующие два аспекта:
Теоретический аспект: при исследовании некоторой задачи результаты теории алгоритмов позволяют ответить на вопрос – является ли эта задача в принципе алгоритмически разрешимой – для алгоритмически неразрешимых задач возможно их сведение к задаче останова машины Тьюринга. В случае алгоритмической разрешимости задачи – следующий важный теоретический вопрос – это вопрос о принадлежности этой задачи к классу NP–полных задач, при утвердительном ответе на который, можно говорить о существенных временных затратах для получения точного решения для больших размерностей исходных данных.
|
|
|
Практический аспект: методы и методики теории алгоритмов (в основ-ном разделов асимптотического и практического анализа) позволяют осуществить:
o рациональный выбор из известного множества алгоритмов решения данной задачи с учетом особенностей их применения (например, при ограничениях на размерность исходных данных или объема дополнительной памяти);
o получение временных оценок решения сложных задач;
o получение достоверных оценок невозможности решения некоторой задачи за определенное время, что важно для криптографических методов;
o разработку и совершенствование эффективных алгоритмов решения задач в области обработки информации на основе практического анализа.
Формализация понятия алгоритма
Во всех сферах своей деятельности, и частности в сфере обработки информации, человек сталкивается с различными способами или методиками решения задач. Они определяют порядок выполнения действий для получения желаемого результата – мы можем трактовать это как первоначальное или интуитивное определение алгоритма. Некоторые дополнительные требования приводят к неформальному определению алгоритма:
|
|
|
Определение 1.1 Алгоритм - это заданное на некотором языке конечное предписание, задающее конечную последовательность выполнимых элементарных операций для решения задачи, общее для класса возможных исходных данных.
Пусть D – область (множество) исходных данных задачи, а R – множест-во возможных результатов, тогда мы можем говорить, что алгоритм осуществ-ляет отображение D --> R. Поскольку такое отображение может быть не полным, то вводятся следующие понятия:
Алгоритм называется частичным алгоритмом, если мы получаем результат только для некоторых d є D и полным алгоритмом, если алгоритм получает правильный результат для всех d є D.
Несмотря на усилия исследователей отсутствует одно исчерпывающе строгое определение понятия алгоритм, в теории алгоритмов были введены различные формальные определения алгоритма и удивительным научным результатом является доказательство эквивалентности этих формальных определений в смысле их равномощности.
Варианты словесного определения алгоритма принадлежат российским ученым А.Н. Колмогорову и А.А. Маркову
Определение 1.2 (Колмогоров): Алгоритм – это всякая система вычис-лений, выполняемых по строго определенным правилам, которая после какого-либо числа шагов заведомо приводит к решению поставленной задачи.
Определение 1.3 (Марков): Алгоритм – это точное предписание, определяющее вычислительный процесс, идущий от варьируемых исходных данных к искомому результату.
Отметим, что различные определения алгоритма, в явной или неявной форме, постулируют следующий ряд требований:
o алгоритм должен содержать конечное количество элементарно выполнимых предписаний, т.е. удовлетворять требованию конечности записи;
o алгоритм должен выполнять конечное количество шагов при решении задачи, т.е. удовлетворять требованию конечности действий;
o алгоритм должен быть единым для всех допустимых исходных данных, т.е. удовлетворять требованию универсальности;
o алгоритм должен приводить к правильному по отношению к поставленной задаче решению, т.е. удовлетворять требованию правильности.
Другие формальные определения понятия алгоритма связаны с введением специальных математических конструкций (машина Поста, машина Тьюринга, рекурсивно-вычислимые функции Черча) и постулированием тезиса об эквивалентности такого формализма и понятия «алгоритм».
МАШИНА ПОСТА
Основные понятия и операции
Одной из фундаментальных статей, результаты которой лежат в основе современной теории алгоритмов является статья Эмиля Поста (Emil Post), «Финитные комбинаторные процессы, формулировка 1», опубликованная в 1936 году в сентябрьском номере «Журнала символической логики»
Пост рассматривает общую проблему, состоящую из множества конкретных проблем, при этом решение общей проблемы это такое решение, которое доставляет ответ для каждой конкретной проблемы.
Например, решение уравнения 3*х+9=0 – это одна из конкретных проблем, а решение уравнения a*x+b=0 – это общая проблема, тем самым алгоритм (сам термин «алгоритм» не используется Постом) должен быть универсальным, т.е. должен быть соотнесен с общей проблемой.
Основные понятия алгоритмического формализма Поста – это пространство символов (язык L) в котором задаётся конкретная проблема и получается ответ, и набор инструкций, т.е. операций в пространстве символов, задающих как сами операции, так и порядок выполнения инструкций.
| Постовское пространство символов – это бесконечная лента ячеек (ящиков): | ||||||||
| _ | V | _ | _ | V | V | V | _ | V |
Каждый ящик или ячейка могут быть помечены или не помечены.
Конкретная проблема задается «внешней силой» (термин Поста) пометкой конечного количества ячеек, при этом, очевидно, что любая конфигурация начинается и заканчивается помеченным ящиком. После применения к конкретной проблеме некоторого набора инструкций решение представляется так же в виде набора помеченных и непомеченных ящиков, распознаваемое той же внешней силой.
Пост предложил набор инструкций (элементарных операций), которые выполняет «работник», отметим, что в 1936 году не было еще ни одной электронной вычислительной машины. Этот набор инструкций является, очевидно, минимальным набором битовых операций:
1. пометить ящик, если он пуст;
2. стереть метку, если она есть;
3. переместиться влево на 1 ящик;
4. переместиться вправо на 1 ящик;
5. определить помечен ящик или нет, и по результату перейти на одну из двух указанных инструкций;
6. остановиться.
Отметим, что формулировка инструкций 1 и 2 включает защиту от неправильных ситуаций.
Программа представляет собой нумерованную последовательность инструкций, причем переходы в инструкции 5 производятся на указанные в ней номера других инструкций.
Финитный 1 – процесс
Программа (набор инструкций в терминах Поста) является одной и той же для всех конкретных проблем, поэтому соотнесена с общей проблемой – таким образом, Пост формулирует требование универсальности.
Далее Пост вводит следующие понятия:
o набор инструкций применим к общей проблеме, если для каждой конкретной проблемы не возникает коллизий в инструкциях 1 и 2, т.е. никогда программа не стирает метку в пустом ящике и не устанавливает метку в помеченном ящике;
o набор инструкций заканчивается (за конечное количество инструкций), если выполняется инструкция (6);
o набор инструкций задаёт финитный 1 – процесс, если набор применим, и заканчивается для каждой конкретной проблемы;
o финитный 1 – процесс для общей проблемы есть 1 – решение, если ответ для каждой конкретной проблемы правильный (это определяется внешней силой).
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 1419; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!