Приближенное вычисление вероятности события в схеме независимых испытаний Бернулли
Теорема (формула Пуассона)
Если вероятность р наступления события А в каждом испытании стремится к 0, при неограниченном увеличении числа испытаний n, то вероятность Рn(m) того, что событие А появится m-раз в n независимых испытаниях, приближенно равна
Замечание
На практике обычно рекомендуется использовать формулу Пуассона для приближенного вычисления вероятности в случае, когда 
но так, что 
Теорема (локальная формула Муавра-Лапласа)
Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Рn(m) того, что событие А наступит m- раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна
Теорема (интегральная формула Муавра-Лапласа)
Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от а до b (включительно), при достаточно большом числе n, приближенно равна
Замечание
Вычисление вероятности события по формулам Муавра-Лапласа дает незначительную погрешность, если npq 
10.
Основные алгоритмы
Использование формул приближенного вычисления вероятности события в схеме независимых испытаний Бернулли.
1) Проверить выполнимость условий независимых испытаний Бернулли.
2) Сформулировать событие, вероятность которого следует найти.
|
|
|
3) Осуществить выбор формулы для приближенного вычисления вероятности данного события, дающей меньшую погрешность.
4) Провести расчет вероятности события.
Пример
Фирма отправила в школы Алтайского края 10000 компьютеров. Среднее число компьютеров, повреждаемых при транспортировке, составляет 0,02%. Найти вероятность того, что будет повреждено, по крайней мере, 3 компьютера.
Решение
Испытание: повреждение компьютера в процессе транспортировке, оно повторяется n – раз, n=10000 при этом испытания независимы, происходят с одной и той же вероятностью, каждое имеет один из двух возможных исходов. Вероятность того, что при транспортировке компьютер будет поврежден равна 
. Так как 
и 
, то вероятность события А- что будет повреждено по крайней мере 3 компьютера при транспортировке , найдем по формуле Пуассона: 
может быть найдена как сумма достаточно большого числа слагаемых. Проще Р(А) найти переходя к противоположному событию: 
Ответ: 0,3233
Замечание
Зная 
и 
, значение вероятности можно найти по таблице значений функции Пуассона (см. приложение 2 ).
Пример
По результатам фронтальных проверок школ региона установлено , что в среднем каждая вторая школа имеет серьезные замечания по ведению документации. Найти вероятность того, что из 1000 школ не менее 480 имеют серьезные замечания по ведению документации.
|
|
|
Решение
По условию 
. Так n=1000 достаточно велико и 
. Найдем 
. Применим интегральную формулу Лапласа. Найдем 
, 
.
Итак, 
. (Значения 
найдены по таблице значений функции Лапласа, использовались свойства функции Ф(х): нечетность, предельное значение функции равно ½).
Ответ: 0,898
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 1258; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!