Множества и операции над ними
Практическое занятие 3
Операции над высказываниями. (2ч.)
1. Отрицание высказываний.
2. Конъюнкция высказываний.
3. Дизъюнкция высказываний.
4. Импликация высказываний.
5. Эквиваленция высказываний. Тавтология.
1. Отрицание высказываний.
Если А – некоторое высказывание, то, утверждая, что оно ложно, мы получаем новое высказывание, которое называют отрицанием высказывания А и обозначают символом Ā (не-А). Отрицанием ложного высказывания является истинное высказывание.
Таким образом, если некоторое высказывание истинно, то его отрицание – ложно, и наоборот. Составим таблицу истинности:
А | Ā |
И | Л |
Л | И |
Например,
А – Иванов решил задачу,
Ā - Иванов не решил задачу.
Пусть А – некоторое высказывание. Его отрицание Ā - также является высказыванием. Следовательно, можно образовать отрицание высказывания Ā, т.е. высказывание Ẫ, которое называют двойным отрицанием высказывания А.
Вообще любое высказывание А равносильно высказыванию Ẫ, т.е.
А= Ẫ.
А | Ā | Ẫ |
И | Л | И |
Л | И | Л |
Например,
Ẫ - Не верно, что Иванов не решил задачу.
2. Конъюнкция высказываний.
Пусть А и В – два элементарных высказывания. Соединив их союзом «и», получим новое высказывание, которое называется конъюнкцией данных высказываний и обозначается А ^ В (А и В).
|
|
По определению, конъюнкция двух высказываний истинна в том и только в том случае, когда истинны оба высказывания. Если же, хотя бы одно из них ложно, то и конъюнкция считается ложной.
Составим таблицу истинности:
А | В | А ^ В |
И | И | И |
И | Л | Л |
Л | И | Л |
Л | Л | Л |
Например,
А – «3 < 8» И
В – «8 <11» И
Следовательно,
А ^ В – «3 < 8 < 11» И
Свойства конъюнкции:
1. Если в конъюнкции А ^ В поменять местами высказывания А и В, то получим конъюнкцию вида В ^ А. Составим таблицу истинности:
А | В | А ^ В | В ^ А |
И | И | И | И |
И | Л | Л | Л |
Л | И | Л | Л |
Л | Л | Л | Л |
Из таблицы истинности видно, что значения высказываний А ^ В и В ^ А совпадают. Следовательно, данные высказывания равносильны, и для любых высказываний А и В имеем:
А ^ В ═ В ^ А
Эта запись выражает коммутативное свойство конъюнкции, позволяющее менять местами члены конъюнкции.
2. Если составить таблицы истинности для высказываний (А ^ В) ^ С и А ^ (В ^ С) получим, что при любых значениях истинности высказываний А, В и С, значения истинности высказываний (А ^ В) ^ С и А ^ (В ^ С) совпадают, т.е. выполняется равенство
|
|
(А ^ В) ^ С ═ А ^ (В ^ С)
Эта запись выражает ассоциативное свойство конъюнкции, которое позволяет опускать скобки в конъюнкции трех и более высказываний.
3. Образуем конъюнкцию некоторого высказывания А и его отрицания Ā. Составим таблицу истинности:
А | Ā | А ^ Ā |
И | Л | Л |
Л | И | Л |
Каким бы ни было высказывание А (истинным или ложным), высказывание А ^ Ā всегда ложно.
В этом случае говорят, что формула А ^ Ā тождественна ложна, и записывают:
А ^ Ā═Л
3. Дизъюнкция высказываний.
Соединив два элементарных высказывания А и В союзом «или», получим новое высказывание, называемое дизъюнкцией данных высказываний. Дизъюнкцию высказываний А и В обозначают А ۷ В и читают «А или В». Дизъюнкция ложна только в том случае, когда оба высказывания, из которых она образована, ложны; во всех остальных случаях дизъюнкция истинна. Таблица истинности дизъюнкции имеет вид:
А | В | А ۷ В |
И | И | И |
И | Л | И |
Л | И | И |
Л | Л | Л |
Свойства дизъюнкции:
1. Если в дизъюнкции А ۷ В поменять местами высказывания А и В, то получим конъюнкцию вида В ۷ А. Составим таблицу истинности:
А | В | А ۷ В | В ۷ А |
И | И | И | И |
И | Л | И | И |
Л | И | И | И |
Л | Л | Л | Л |
Из таблицы истинности видно, что значения высказываний А ۷ В и В ۷ А совпадают. Следовательно, данные высказывания равносильны, и для любых высказываний А и В имеем:
|
|
А ۷ В ═ В ۷ А
Эта запись выражает коммутативное свойство дизъюнкции, позволяющее менять местами члены дизъюнкции.
2. Если составить таблицы истинности для высказываний (А ۷ В) ۷ С и А ۷(В ۷ С) получим, что при любых значениях истинности высказываний А, В и С, значения истинности высказываний (А ۷ В) ۷ С и А ۷(В ۷ С) совпадают, т.е. выполняется равенство
(А ۷ В) ۷ С ═ А ۷(В ۷ С)
Эта запись выражает ассоциативное свойство дизъюнкции, которое позволяет опускать скобки в дизъюнкции трех и более высказываний.
3. Образуем дизъюнкцию некоторого высказывания А и его отрицания Ā. Составим таблицу истинности:
А | Ā | А۷Ā |
И | Л | И |
Л | И | И |
Каким бы ни было высказывание А (истинным или ложным), высказывание А۷Ā всегда истинно.
В этом случае говорят, что формула А۷Ā тождественна истинна, и записывают:
А۷Ā═И
4. При помощи таблиц истинности нетрудно установить, что
(А ۷В) ^ С ═ (А ^ С) ۷ (В ^ С);
|
|
(А ^В) ۷ С ═ (А ۷ С) ^ (В ۷ С).
Первое равенство выражает дистрибутивный закон конъюнкции относительно дизъюнкции, а второе - дистрибутивный закон дизъюнкции относительно конъюнкции.
5. Операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания связаны следующими соотношениями, справедливость которых можно установить при помощи таблиц истинности:
═ Ā ^ ;
═ Ā ۷ .
Эти соотношения называются формулами де Моргана (шотландский математик и логик, живший в 1806-1871 гг.).
4. Импликация высказываний.
Высказывание «Если А, то В», называют импликацией высказываний А, В, и записывают : А ⇒ В. Высказывание А, входящее в импликацию А ⇒ В, называют условием импликации, высказывание В – ее заключением.
Условились считать, что Импликация «Если А, то В» ложна лишь в одном случае: высказывание А – истинно, а высказывание В – ложно; во всех других случаях импликация истинна. Поэтому таблица истинности импликации «Если А, то В» имеет вид:
А | В | А ⇒ В |
И | И | И |
И | Л | Л |
Л | И | И |
Л | Л | И |
Виды имликаций:
Пусть нам задана импликация А ⇒ В. Тогда возможно:
1. Если в данной импликации поменять местами условие и заключение, то получим импликацию В ⇒ А, которая называется импликацией обратной данной.
2. Если в данной импликации условие и заключение заменить их отрицаниями, то получим импликацию Ā ⇒ , которая называется импликацией противоположной данной.
3. Если в данной импликации условие и заключение поменять местами, а также заменить их отрицаниями, то получим импликацию ⇒ Ā, которая называется противоположная обратной.
С помощью таблиц истинности легко можно проверить, что высказывания А ⇒ В ═ ⇒ Ā и В ⇒ А ═ Ā ⇒ равносильны. Данные равенства выражают закон контрапозиции.
5.Эквиваленция высказываний. Тавтология.
Из двух высказываний А и В можно составить новое высказывание, которое читается так: «А в том и только в том случае, если В». Это высказывание называют эквиваленцией высказываний А и В и обозначают: А ⇔ В. Считают, что высказывание А ⇔ В истинно, если оба высказывания А и В истинны или оба высказывания А и В ложны. Во всех остальных случаях эквиваленцию считают ложной. Таким образом, таблица истинности для эквиваленции А и В имеет вид:
А | В | А ⇔ В |
И | И | И |
И | Л | Л |
Л | И | Л |
Л | Л | И |
Составные высказывания, истинные при любых предложениях о входящих в них элементарных высказываниях, называют тавтологиями.
Например,
А ^ В ⇔ В ^ А,
А ۷ В ⇔ В ۷ А.
Библиографический список
1. Гетманова А.Д. Логика. - М., 1995.
2. Гетманова А.Д. Учебник по логике. Серия: Российский лицей. - М.,1994.
3. Гетманова А.Д., Панов М.И., Уемов А.И., Никифоров А.Л., Бузук Г.Л. Логика: Учебное пособие для учащихся 10-11 классов. - М., 1992.
4. Горский Д.П. Логика. – М., 1963.
5. Горских Д.П., ивин А.А., Никифоров А.Л. Краткий словарь по логике. – М., 1991.
6. Ивлев Ю.В. Логика. – М., 1992.
7. Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика. – М.,1987.
8. Логика. – Минск, 1972.
9. Мельников А.Н. Сборник задач по логике. – Киев, 1990.
10. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. – М.,1975.
11. Сборник упражнений по логике. – Минск, 1991.
12. Свинцов В.И. Логика. – М., 1987.
13. Стойлова Л.П., Виленкин Н.Я., Лаврова Н.Н. Математика.-М.: Просвещение, 1990. – 175с.
14. Уемов А.И. Задачи и упражнения по логике. – М.,1961.
15. Упражнения по логике. – М., 1990.
1. Отрицание высказываний.
Практические задания:
№1,2,3 (с.16).
2. Конъюнкция высказываний.
Практические задания:
№1,2,3,4,5,6 (с. 17-18).
3. Дизъюнкция высказываний.
Практические задания:
№1,2,3,4 (с. 20).
4. Импликация высказываний.
Практические задания:
№1,2,3,4 (с. 23).
5. Эквиваленция высказываний. Тавтология.
Практические задания:
№1,2,3,4,5,6,7 (с.24).
Литература:
1. Виленкин Н.Я. и др. Математика: Учебное пособие длястудентов
педагогических институтов. -М.: Просвещение, 1977.
Практическое занятие 2
Множества и операции над ними.
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 436; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!