Множества и операции над ними



Практическое  занятие 3

Операции над высказываниями. (2ч.)

1. Отрицание высказываний.

2. Конъюнкция высказываний.

3. Дизъюнкция высказываний.

4. Импликация высказываний.

5. Эквиваленция высказываний. Тавтология.

 

1. Отрицание высказываний.

    Если А – некоторое высказывание, то, утверждая, что оно ложно, мы получаем новое высказывание, которое называют отрицанием высказывания А и обозначают символом Ā (не-А). Отрицанием ложного высказывания является истинное высказывание.

     Таким образом, если некоторое высказывание истинно, то его отрицание – ложно, и наоборот. Составим таблицу истинности:

 

А Ā
И Л
Л И

 

    Например,

А – Иванов решил задачу,

Ā - Иванов не решил задачу.

 

    Пусть А – некоторое высказывание. Его отрицание Ā - также является высказыванием. Следовательно, можно образовать отрицание высказывания Ā, т.е. высказывание Ẫ, которое называют двойным отрицанием высказывания А.

    Вообще любое высказывание А равносильно высказыванию Ẫ, т.е.

А= Ẫ.

 

А Ā
И Л И
Л И Л

 

    Например,

Ẫ - Не верно, что Иванов не решил задачу.

                  

2. Конъюнкция высказываний.

    Пусть А и В – два элементарных высказывания. Соединив их союзом «и», получим новое высказывание, которое называется конъюнкцией данных высказываний и обозначается А ^ В (А и В).

     По определению, конъюнкция двух высказываний истинна в том и только в том случае, когда истинны оба высказывания. Если же, хотя бы одно из них ложно, то и конъюнкция считается ложной.

           Составим таблицу истинности:

А В А ^ В
И И И
И Л Л
Л И Л
Л Л Л

           Например,

    А – «3 < 8» И

    В – «8 <11» И                

 Следовательно,

    А ^ В – «3 < 8 < 11» И

 

Свойства конъюнкции:

 

1. Если в конъюнкции А ^ В поменять местами высказывания А и В, то получим конъюнкцию вида В ^ А. Составим таблицу истинности:

А В А ^ В В ^ А
И И И И
И Л Л Л
Л И Л Л
Л Л Л Л

 Из таблицы истинности видно, что значения высказываний А ^ В и В ^ А совпадают. Следовательно, данные высказывания равносильны, и для любых высказываний А и В имеем:

 А ^ В ═ В ^ А

Эта запись выражает коммутативное свойство конъюнкции, позволяющее менять местами члены конъюнкции.

 

2. Если составить таблицы истинности для высказываний (А ^ В) ^ С и А ^ (В ^ С) получим, что при любых значениях истинности высказываний А, В и С, значения истинности высказываний (А ^ В) ^ С и А ^ (В ^ С) совпадают, т.е. выполняется равенство

(А ^ В) ^ С ═ А ^ (В ^ С)

Эта запись выражает ассоциативное свойство конъюнкции, которое позволяет опускать скобки в конъюнкции трех и более высказываний.

 

3. Образуем конъюнкцию некоторого высказывания А и его отрицания Ā. Составим таблицу истинности:

А Ā А ^ Ā
И Л Л
Л И Л

Каким бы ни было высказывание А (истинным или ложным), высказывание А ^ Ā всегда ложно.

В этом случае говорят, что формула А ^ Ā тождественна ложна, и записывают:

А ^ Ā═Л

 

    3. Дизъюнкция высказываний.

Соединив два элементарных высказывания А и В союзом «или», получим новое высказывание, называемое дизъюнкцией данных высказываний. Дизъюнкцию высказываний А и В обозначают А ۷ В и читают «А или В». Дизъюнкция ложна только в том случае, когда оба высказывания, из которых она образована, ложны; во всех остальных случаях дизъюнкция истинна. Таблица истинности дизъюнкции имеет вид:

А В А ۷ В
И И И
И Л И
Л И И
Л Л Л

 

    Свойства дизъюнкции:

1. Если в дизъюнкции А ۷ В поменять местами высказывания А и В, то получим конъюнкцию вида В ۷ А. Составим таблицу истинности:

А В А ۷ В В ۷ А
И И И И
И Л И И
Л И И И
Л Л Л Л

 Из таблицы истинности видно, что значения высказываний А ۷ В и В ۷ А совпадают. Следовательно, данные высказывания равносильны, и для любых высказываний А и В имеем:

 А ۷ В ═ В ۷ А

Эта запись выражает коммутативное свойство дизъюнкции, позволяющее менять местами члены дизъюнкции.

 

2. Если составить таблицы истинности для высказываний (А ۷ В) ۷ С и А ۷(В ۷ С) получим, что при любых значениях истинности высказываний А, В и С, значения истинности высказываний (А ۷ В) ۷ С и А ۷(В ۷ С) совпадают, т.е. выполняется равенство

(А ۷ В) ۷ С ═ А ۷(В ۷ С)

Эта запись выражает ассоциативное свойство дизъюнкции, которое позволяет опускать скобки в дизъюнкции трех и более высказываний.

 

3. Образуем дизъюнкцию некоторого высказывания А и его отрицания Ā. Составим таблицу истинности:

А Ā А۷Ā
И Л И
Л И И

Каким бы ни было высказывание А (истинным или ложным), высказывание А۷Ā всегда истинно.

В этом случае говорят, что формула А۷Ā тождественна истинна, и записывают:

А۷Ā═И

        

    4. При помощи таблиц истинности нетрудно установить, что

 

۷В) ^ С ═ (А ^ С) ۷ (В ^ С);

(А ^В) ۷ С ═ (А ۷ С) ^ (В ۷ С).

    Первое равенство выражает дистрибутивный закон конъюнкции относительно дизъюнкции, а второе - дистрибутивный закон дизъюнкции относительно конъюнкции.

 

    5. Операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания связаны следующими соотношениями, справедливость которых можно установить при помощи таблиц истинности:


 ═ Ā ^  ;

 ═ Ā ۷  .

    Эти соотношения называются формулами де Моргана (шотландский математик и логик, живший в 1806-1871 гг.).

 

4. Импликация высказываний.

 

               Высказывание «Если А, то В», называют импликацией высказываний А, В, и записывают : А ⇒ В. Высказывание А, входящее в импликацию    А ⇒ В, называют условием импликации, высказывание В – ее заключением.

    Условились считать, что Импликация «Если А, то В» ложна лишь в одном случае: высказывание А – истинно, а высказывание В – ложно; во всех других случаях импликация истинна. Поэтому таблица истинности импликации «Если А, то В» имеет вид:

 

А В А ⇒ В
И И И
И Л Л
Л И И
Л Л И

        

    Виды имликаций:

Пусть нам задана импликация А ⇒ В. Тогда возможно:

1. Если в данной импликации поменять местами условие и заключение, то получим импликацию В ⇒ А, которая называется импликацией обратной данной.

2. Если в данной импликации условие и заключение заменить их отрицаниями, то получим импликацию Ā ⇒ , которая называется импликацией противоположной данной.

3. Если в данной импликации условие и заключение поменять местами, а также заменить их отрицаниями, то получим импликацию ⇒ Ā, которая называется противоположная обратной.

        

    С помощью таблиц истинности легко можно проверить, что высказывания А ⇒ В ═ ⇒ Ā и В ⇒ А ═ Ā ⇒  равносильны. Данные равенства выражают закон контрапозиции.

 

     5.Эквиваленция высказываний. Тавтология.

 

    Из двух высказываний А и В можно составить новое высказывание, которое читается так: «А в том и только в том случае, если В». Это высказывание называют эквиваленцией высказываний А и В и обозначают: А ⇔ В. Считают, что высказывание А ⇔ В истинно, если оба высказывания А и В истинны или оба высказывания А и В ложны. Во всех остальных случаях эквиваленцию считают ложной. Таким образом, таблица истинности для эквиваленции А и В имеет вид:

А В А ⇔ В
И И И
И Л Л
Л И Л
Л Л И

 

    Составные высказывания, истинные при любых предложениях о входящих в них элементарных высказываниях, называют тавтологиями.

    Например,

А ^ В ⇔ В ^ А,

А ۷ В ⇔ В ۷ А.

Библиографический список

1. Гетманова А.Д. Логика. - М., 1995.

2. Гетманова А.Д. Учебник по логике. Серия: Российский лицей. - М.,1994.

3. Гетманова А.Д., Панов М.И., Уемов А.И., Никифоров А.Л., Бузук Г.Л. Логика: Учебное пособие для учащихся 10-11 классов. - М., 1992.

4. Горский Д.П. Логика. – М., 1963.

5. Горских Д.П., ивин А.А., Никифоров А.Л. Краткий словарь по логике. – М., 1991.

6. Ивлев Ю.В. Логика. – М., 1992.

7. Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика. – М.,1987.

8. Логика. – Минск, 1972.

9. Мельников А.Н. Сборник задач по логике. – Киев, 1990.

10.  Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. – М.,1975.

11.  Сборник упражнений по логике. – Минск, 1991.

12.  Свинцов В.И. Логика. – М., 1987.

13.  Стойлова Л.П., Виленкин Н.Я., Лаврова Н.Н. Математика.-М.: Просвещение, 1990. – 175с.

14. Уемов А.И. Задачи и упражнения по логике. – М.,1961.

15.  Упражнения по логике. – М., 1990.

 

 

1. Отрицание высказываний.

Практические задания:

№1,2,3 (с.16).

2. Конъюнкция высказываний.

 

Практические задания:

№1,2,3,4,5,6 (с. 17-18).

3. Дизъюнкция высказываний.

 

Практические задания:

№1,2,3,4 (с. 20).

4. Импликация высказываний.

 

Практические задания:

№1,2,3,4 (с. 23).

5. Эквиваленция высказываний. Тавтология.

Практические задания:

№1,2,3,4,5,6,7 (с.24).

 

 

Литература:

1. Виленкин Н.Я. и др. Математика: Учебное пособие длястудентов
педагогических институтов. -М.: Просвещение, 1977.

Практическое занятие 2

Множества и операции над ними.


Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 436; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!