Типовые контрольные задания для оценки умений
Перечень вопросов, выносимых на государственный экзамен и типовые контрольные задания, перечень ситуационных заданий и иные материалы, необходимые для оценки результатов освоения образовательной программы на государственном экзамене
Программа включает перечень разделов и тем профильных дисциплин, выносимых на государственный экзамен по направлению 01.04.02 «Прикладная математика и информатика» (уровень магистратуры) профилю «Математическая кибернетика».
Функционально-дифференциальные уравнения и управление
1. Математические модели управляемых систем.
Система. Управление. Управляемые системы. Математическая модель системы. Основные требования к математической модели. Математические модели управляемых систем. Проверяемые результаты обучения: з-4 (ОПК-4).
2. Основные классы экстремальных задач.
Постановка основных задач оптимального управления. Основная задача оптимального координатного управления. Оптимальные траектории. Свойства оптимальных управлений и оптимальных траекторий. Геометрическая интерпретация основной задачи оптимального управления. Проверяемые результаты обучения: з-4 (ОПК-4).
3. Вариационное исчисление и оптимальное управление.
Задача классического вариационного исчисления. Постановка, определение решения. Общая идея метода вариаций. Необходимое условие локального экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Экстремали. Проверяемые результаты обучения: з-4 (ОПК-4).
|
|
|
4. Необходимые условия оптимальности.
Принцип максимума Л.С. Понтрягина. Пример применения принципа максимума Понтрягина. Проверяемые результаты обучения: з-4 (ОПК-4).
5. Дифференциальные уравнения с запаздыванием и их применение.
Процессы, для моделирования которых применяются уравнения с запаздыванием. Методы решения уравнений с постоянным запаздыванием. Проверяемые результаты обучения: з-5 (ПК-1).
6. Основные понятия теории абстрактных функционально-дифференциальных уравнений.
Понятие абстрактного функционально-дифференциального уравнения. Пространство решений и пространство правых частей. Краевая задача и задача Коши, их решение. Проверяемые результаты обучения: з-1 (ОК-1).
7. Краевая задача для функционально-дифференциального уравнения.
Постановка краевой задачи. Определение решения. Оператор Грина и его свойства. Функция Грина и ее свойства. Построение функции Грина. Проверяемые результаты обучения: з-1 (ОК-1).
8. Задача Коши для функционально-дифференциального уравнения.
Постановка задачи Коши. Определение решения. Оператор Коши и его свойства. Функция Коши и ее свойства. Построение функции Коши для уравнения с последействием. Проверяемые результаты обучения: з-1 (ОК-1).
|
|
|
9. Понятие об устойчивости.
Определение устойчивости по Ляпунову. Критерий устойчивости. Проверяемые результаты обучения: з-1 (ОК-1).
Прикладной функциональный анализ
1. Гильбертово пространство.
Пространства со скалярным произведением. Равенство параллелограмма. Полнота. Функциональные гильбертовы пространства. Проверяемые результаты обучения: з-3, з-2 (ОК-1).
2. Ряды Фурье.
Ортонормированные базисы. Процесс ортогонализации Шмидта. Ряд Фурье. Неравенство Бесселя. Классические ортогональные многочлены. Базисы гильбертовых пространств. Проверяемые результаты обучения: з-3, з-2 (ОК-1).
3. Пространства с конусом.
Полуупорядоченность, полная упорядоченность. Конусы в банаховых пространствах. Проверяемые результаты обучения: з-3 (ОК-1).
4. Линейные операторы.
Ограниченность и норма линейного оператора. Способы оценки нормы. Ядро и образ оператора. Некоторые классы линейных операторов. Проверяемые результаты обучения: з-2 (ОК-1).
5. Обратные операторы.
Корректная разрешимость. Критерии обратимости. Теорема Банаха. Обратимость суммы операторов. Проверяемые результаты обучения: з-3 (ОК-1), з-6 (ПК-2).
|
|
|
6. Линейные операторные уравнения.
Виды разрешимости линейных операторных уравнений. Ряд Неймана. Теория Фредгольма. Проверяемые результаты обучения: з-3 (ОК-1), з-6 (ПК-2).
7. Приближенные решения линейных операторных уравнений.
Метод итераций. Оценки приближений. Приложения к линейным краевым задачам. Проверяемые результаты обучения: з-6 (ПК-2).
8. Спектр линейного оператора.
Структура спектра. Теоремы о спектрах. Спектр вполне непрерывного оператора. Спектральный радиус. Проверяемые результаты обучения: з-7 (ПК-2).
9. Собственные значения линейных операторов.
Собственные значения и собственные элементы. Собственные значения положительных операторов. Вычисление и оценка собственных значений. Проверяемые результаты обучения: з-7 (ПК-2).
10. Теоремы о неподвижных точках.
Принцип Банаха. Теорема Шаудера. Применение теорем о неподвижных точках к нелинейным краевым задачам. Операторы в пространстве с конусом. Проверяемые результаты обучения: з-3 (ОК-1).
11. Производные Гато и Фреше.
Принцип линеаризации. Теоремы о производных. Операторы Урысона и Гаммерштейна. Проверяемые результаты обучения: з-3 (ОК-1).
|
|
|
12. Монотонные операторы в гильбертовых пространствах.
Монотонность по Митни-Браудеру. Коэрцетивность. Уравнения с монотонными операторами. Проверяемые результаты обучения: з-3 (ОК-1).
13. Нелинейные операторные уравнения.
Метод последовательных приближений. Итерационный процесс Ньютона. Теоремы о неявных операторах. Проверяемые результаты обучения: з-3 (ОК-1).
14. Дифференцируемые функционалы.
Опорный функционал выпуклого множества. Потенциальные операторы. Градиент функционала. Проверяемые результаты обучения: з-3 (ОК-1).
Типовые контрольные задания для оценки умений
1. Привести пример неполного пространства со скалярным произведением. Какие требования предъявляют к весовой функции, при определении скалярного произведения? Решите задачу: является ли норма 
на 
согласованной со скалярным произведением 
? Проверяемые результаты обучения: у-7 (ПК-2).
2. Привести пример ортонормированного базиса в 
. Как соотносятся понятия «независимая система элементов» и «ортонормированная система»? Решите задачу: применить процесс ортогонализации Шмидта к системе 
в 
со скалярным произведением 
. Проверяемые результаты обучения: у-7 (ПК-2).
3. Является ли конус неотрицательных функций в 
нормальным? Привести пример нетелесного конуса в . Решите задачу: принадлежит ли элемент 
конусному отрезку 
в пространстве с конусом неотрицательных функций? Проверяемые результаты обучения: у-2 (ОК-1).
4. Доказать, что ограниченный линейный оператор является непрерывным. Что означает сюръективность оператора? Решите задачу: найти оценку нормы оператора 
, 
, 
. Проверяемые результаты обучения: у-6 (ПК-2).
5. Привести пример однозначно разрешимого оператора, не являющегося корректно разрешимым. Сформулируйте определение непрерывной обратимости линейного оператора. Решите задачу: доказать, что оператор 
, 
является обратимым. Проверяемые результаты обучения: у-6 (ПК-2).
6. Привести пример линейного операторного уравнения 
с вполне непрерывным оператором 
. Что означает непрерывная зависимость решений линейного уравнения от правой части? Решите задачу: уравнение 
разрешимо для любой правой части и ядро оператора одномерно. Что можно сказать об уравнении 
. Проверяемые результаты обучения: у-6 (ПК-2).
7. Что означает нормальная разрешимость линейного операторного уравнения? Как оценить число слагаемых в ряде Неймана для достижения требуемой погрешности при приближенном решении уравнения? Решите задачу: в пространстве рассматривается уравнение 
. Найти первые три итерации приближенного решения уравнения. Проверяемые результаты обучения: у-6 (ПК-2).
8. Может ли непрерывный спектр оператора быть пустым множеством? Привести пример описания спектра оператора в конечномерном пространстве. Решите задачу: найти спектр оператора 
в пространстве непрерывных на отрезке 
функций. Проверяемые результаты обучения: у-3 (ОК-1), у-6 (ПК-2).
9. Как найти собственные значения матричного оператора? Привести пример положительного оператора в пространстве 
. Решите задачу: определить спектр оператора , действующего в пространстве 
: 
. Проверяемые результаты обучения: у-3 (ОК-1).
10. Можно ли применить принцип Банаха, если множество является невыпуклым? Привести пример применения теоремы Шаудера к задаче Коши для ОДУ. Решите задачу: доказать, что при 
краевая задача 
имеет решение для 
. Проверяемые результаты обучения: у-2 (ОК-1).
11. Что можно утверждать о производной Фреше вполне непрерывного оператора? Сформулируйте определение дифференциала Фреше. Решите задачу: найти производную Фреше функционала 
, если 
. Проверяемые результаты обучения: у-2 (ОК-1).
12. Является ли монотонным по упорядоченности оператор, монотонный по Митни-Браудеру. Привести пример коэрцитивного оператора в . Решите задачу: Сформулировать достаточные условия монотонности по Митни-Браудеру интегрального оператора в . Проверяемые результаты обучения: у-6 (ПК-2).
13. Что такое корректная разрешимость линейного оператора? Привести пример. Как применяется константа корректности для оценки приближенного решения операторного уравнения? Решите задачу: является ли оператор 
вполне непрерывным в пространстве с max-нормой? Проверяемые результаты обучения: у-2 (ОК-1), у-6 (ПК-2).
14. Как оценить собственные значения положительного оператора? Может ли собственное значение совпадать с нормой оператора? Решите задачу: найти собственные значения оператора 
в пространстве с max-нормой? Проверяемые результаты обучения: у-3 (ОК-1).
15. Объясните появление запаздывания в математических моделях следующих процессов: регулирования количества сыпучих грузов на ленточном транспортере; горения в жидкостном реактивном двигателе; системы стабилизации толщины листа при холодной прокатке. Проверяемые результаты обучения: у-4 (ОПК-4), у-5 (ПК-1).
16. Приведите примеры краевых задач для линейных функционально-дифференциальных уравнений с сосредоточенным отклонением аргумента. Запишите операторные уравнения, соответствующие однородным краевым условиям. Проверяемые результаты обучения: у-1 (ОК-1), у-5 (ПК-1).
17. Запишите представление решения задачи Коши для уравнения с постоянным запаздыванием. Проверяемые результаты обучения: у-1 (ОК-1), у-5 (ПК-1).
18. Решите полуоднородную задачу Коши 
с нулевой начальной функцией. Проверяемые результаты обучения: у-5 (ПК-1).
19. Решите неоднородную задачу Коши 
с нулевой начальной функцией. Проверяемые результаты обучения: у-5 (ПК-1).
20. Решите краевую задачу 
, если 
Проверяемые результаты обучения: у-5 (ПК-1).
21. Запишите краевую задачу принципа максимума для задачи оптимального управления 
, 
, 
, 
.
22. Запишите задачу оптимального управления для линейной системы со свободным правым концом и ограничением на управление.
Рекомендации обучающимся по подготовке к государственному экзамену. Перечень рекомендуемой литературы для подготовки к государственному экзамену
Основная литература
1. Дьедонне Ж. Основы современного анализа, М.: Мир, 1964.
2. Обен Ж.- П, Экланд И., Прикладной нелинейный анализ, М.: Мир, 1988.
3. Треногин В. А. Функциональный анализ М., Физматлит, 2002/
4. Основы методов оптимизации: учебное пособие для вузов / В. В. Лесин, Ю. П. Лисовец. - 3-е изд., испр. - Санкт-Петербург [и др.]: Лань, 2011. - 341 с.
5. Теория систем и системный анализ: учебник для вузов / В. Н. Волкова, А. А. Денисов. - Москва: Юрайт, 2010. - 679 с.
6. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений / Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, Л. Ф. Рахматуллина. - М.: Наука: Физматлит, 1991. - 277 с.
7. Функционально-дифференциальные уравнения и вариационные задачи / Н.В. Азбелев, С.Ю. Култышев, В.З. Цалюк. - М.; Ижевск: Ин-т компьют. исслед.: Регуляр. и хаотическая динамика, 2006. - 121 с.
Дополнительная литература
1. Балакришнан А. В. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука Физматлит, 1980/
2. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. -М.: Мир, 1969г.
3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа. – М., Физматлит, 2006, 572 с.
4. Лионс Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, М.: Мир, 1972.
5. Вычислительные аспекты решения задач оптимального управления: учебное пособие / Н.П. Деменков; Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. - Москва: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2007. - 170 с.
6. Математические основы теории оптимального и логического управления: учебное пособие для вузов / В. А. Иванов, В. С. Медведев; Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. - Москва: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011. - 599 с.
7. Теория оптимального управления. Задачи и упражнения: учебно-методические материалы / В. П. Максимов, П.М. Симонов; Пермский национальный исследовательский политехнический университет. - Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2012.
8. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными / Н. В. Азбелев, П. М. Симонов. - Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2001. - 229 с.
9. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения / Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, Л. Ф. Рахматуллина. - Москва: Ин-т компьют. исслед., 2002. - 383 с.
10. Системный анализ в управлении: учебное пособие для вузов / В. С. Анфилатов, А. А. Емельянов, А. А. Кукушкини. - Москва: Финансы и статистика, 2003. - 367 с.
11. Системный анализ: учебник для вузов / А.В. Антонов. - 2-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2006. - 453 с.
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 190; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!