Статистическая обработка эмпирического распределения

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

 

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИРКУТСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Институт недропользования

Кафедра Маркшейдерского дела и геодезия

 

                                  Допускаю к защите

                                                         Руководитель ________В.И.Снетков

                                                                                                             И.О. Фамилия

 

 

Отчет по лабораторной работе

по дисциплине: «Математическое моделирование МПИ»

 

 

Выполнил студент группы ГГз-13-1 __________       Н.Ю.Мельников

                                                 шифр           подпись                       И.О. Фамилия

 

Нормоконтроль    ____________  __В.И.Снетков ____

                                           подпись                И.О. Фамилия

 

Отчет проект защищен с оценкой ________________________

 

 

Иркутск 2018 г.

Содержание

Статистическая обработка эмпирического распределения близкого к нормальному закону распределения случайных величин. Цель работы            3          

1. Условие задания                                                                                            4

2. Статистическая обработка эмпирического распределения                      6

3. Моделирование равномерного закона распределения                             14

4. Моделирование нормального закона распределения                               17

Вывод                                                                                                                   22

 

                                

Статистическая обработка эмпирического распределения, близкого к нормальному закону распределения случайных величин. Цель работы

1) Научиться составлять вариационный ряд для случайных непрерывных величин;

2) Ознакомиться с расчётом основных параметров группированного распределения через условные начальные моменты;

3) Освоить технику расчётов в среде электронных таблиц EXCEL;

4) Получить практические навыки построения графиков, номограмм, научить интерпретировать их и использовать для решения конкретных задач;

5) Дать основы графической обработки распределений;

6) Научиться пользоваться критерием согласия Пирсона для выбора теоретического распределения.

 

Условие задания

Исходными данными являются данные опробования буровзрывных скважин. В таблице 1 приведены содержания Fe в %. Количество измерений N= 155 измерений.

 

Таблица 1- Исходные данные варианта 21

41	37	42	41	29	15	36	32	45	29
37	39	27	28	41	19	33	44	53	27
38	50	35	43	36	46	28	36	39	43
39	39	34	61	32	40	41	37	41	31
45	46	42	32	42	31	38	48	34	28
32	46	35	56	55	30	37	31	34	42
25	44	29	33	27	48	27	33	53	50
34	34	33	37	41	48	48	49	41	52
45	42	20	51	42	49	51	31	42	27
48	38	39	40	33	38	33	35	40	33
36	44	42	45	32	26	25	47	40
28	45	34	26	36	39	24	50
38	33	55	35	37	42	40	28
34	40	19	42	27	55	46
42	34	42	32	36	37
46	54	31	38	39	56
41	44	57	42	46	47
36	48	35	30	27

 

Требуется разбить весь диапазон значений на классы, определить частоту событий по каждому классу.

1. Вычислить частость P’(x_i) (относительную частоту), накопленную частость F’(x), а также параметры распределения: среднее арифметическое x , дисперсию, стандарт sT (среднеквадратическое отклонение) эмпирического распределения, коэффициент вариации обычный V и преобразованный VПР медиану Me , моду Mo , асимметрию А , эксцесс Е. Определить ошибки (погрешность) найденных параметров.

2. Построить графики эмпирической частости и накопленной частости (функции распределения).

3. Сделать предварительный вывод о соответствии рассматриваемого распределения нормальному закону по следующим признакам: по виду кривой частости, по значению асимметрии и эксцесса, по соотношению среднего арифметического, моды и медианы, по преобразованному коэффициенту вариации, по вероятности попадания случайной величины в интервал x ± s.

4. Произвести расчёт теоретической функции распределения F(x), теоретической частоты и частости P(x). По формулам для нормального закона найти математическое ожидание M[x], теоретическую дисперсию DT и стандарт sT .

5. Построить совмещённые графики эмпирической и теоретической частости, эмпирической и теоретической функций распределения. По их виду сделать предварительное заключение о сходстве или различии распределений.

6. Выполнить строгую проверку гипотезы о нормальном законе распределения эмпирической выборки с помощью критерия согласия Пирсона.

7. Построить                      доверительные интервалы для   полученных                          параметров распределения.

      8. Сделать общие выводы по работе.

 

Статистическая обработка эмпирического распределения

Точность определения параметров случайных величин будет зависеть от ширины интервала. Слишком большое число интервалов (классов) создаёт вычислительные неудобства, слишком малое – приводит к ощутимой потере точности расчётов. Оптимальную величину классового интервала ∆xопределяют по формуле Стержеса (1):

 

                                     ,                                      (1)

 

где xmax , xmin- максимальное и минимальное значения по выборке.

 

                                               .

В качестве нижней границы первого класса Xнг примем минимальное значение по выборке, то есть 15,3.

Верхняя граница класса Xвг (2) определится прибавлением к значению нижней границы величины классового интервала:

Для второго класса нижней границей будет значение верхней границы предыдущего класса, а верхняя граница определится в соответствии с формулой 2 и так далее. Заканчивают построение таблицы классовых интервалов при достижении верхней границей класса максимального значения по выборке.   

Распределяем исходные данные (таблица 1) по классам. Первое значение таблицы равно 41. Это число попадает в класс 37,7-43,6. Ставим против этого класса в графе 3 точку. Берём следующее значение 37, находим относящийся к нему класс и так далее, пока не переберём все значения из таблицы. Подсчитываем количество точек в первом классе - 4, оно и будет частотой k1. Аналогично поступаем и с другими классами. Полученные результаты заносим соответственно в четвертую колонку таблицы 2.1. Контроль – сумма всех частот должна равняться числу данных в выборке. Далее рассчитывается частость и накопленная частость (3):

Затем вычисляем эмпирическую функцию распределения F’(x) для каждого класса. Для первого класса она будет равняться значению частости данного класса. Эмпирическая функция распределения последующих классов равна сумме предыдущего значения F’(x) и значения частости для данного класса. Середина класса определяется как среднее арифметическое между верхней и нижней границей класса.

Так же определяются условные начальные и центральные моменты (4,5,6,7):

,                                                (4)

                                                      (5)

,                                                (6)

.                                                (7)

Значения по колонкам начальных моментов по классам суммируются, и находятся начальные моменты. Условные центральные моменты находятся по следующим формулам (8,9,10):

Следующим шагом является расчёт статистических параметров эмпирического распределения x, D’, s ,V , VПР , Me, Mo, A, E. Среднее арифметическое x (11) определяется как сумма произведений середин классов на их частости:

                                                       x=m_1.                                                                                 

Теперь определим дисперсию (12) случайной величины, характеризующую меру рассеяния случайной величины относительно среднего арифметического, которая равна второму центральному моменту:

Стандарт (среднеквадратическое отклонение - СКО) - это мера абсолютной изменчивости случайной величины (СВ) и определяется как корень квадратный из дисперсии, то есть (13):

.                                                 (13)

Коэффициент вариации (14) является мерой относительной изменчивости СВ относительно среднего арифметического и может выражаться либо в относительных единицах либо, что чаще всего бывает, в процентах. Для этого значение (14) должно быть дополнительно умножено на 100%:

.                                                  (14)

Медианой распределения называется значение случайной величины, делящее всю совокупность по вероятности на две равные части (15,16):

,                                    (15)

 

,                                (16)

где  нижняя граница медианного интервала;

,  накопленная частость     до медианного интервала и частость медианного интервала соответственно.

Модой распределения называется значение случайной величины X, имеющей наибольшую вероятность (частоту или частость) появления. Класс с наибольшей частотой или частостью называется модальным. Вычислить моду по следующей формуле (17):

,                            (17)

где  -частота модального интервала;

 – частота интервала, предшествующего модальному; частота интервала, следующего за модальным.

Асимметрия распределения является мерой скошенности кривой частости или плотности распределения (18):

.                                                   (18)

Эксцесс распределения служит мерой островершинности или плосковершинности кривой плотности распределения (19):

.                                               (19)

Расчеты производились в табличном процессоре MS Excel и приведены в таблица.2.1,2.2,2.3,2.4.

 

 

Таблица 2.1 Предварительная обработка симметричного распределения

Классы, х		Середина класса, Хск	Частота, К'	Частость (эмпирическая вероятность), Р'	Эмпирическая ф-я распределения, F'(x)	Начальные моменты, mk
Нижняя граница класса, Хнг	Верхняя граница класса, Хвг					m1	m2	m3	m4
15,3	20,92	18,09	4	0,026	0,026	0,47	8,45	152,77	2763,66
20,92	26,58	23,75	6	0,039	0,065	0,92	21,83	518,52	12314,42
26,58	32,24	29,41	26,0	0,168	0,232	4,93	145,07	4266,31	125465,17
32,24	37,90	35,07	39,0	0,252	0,484	8,82	309,42	10850,43	380497,16
37,90	43,56	40,73	39,0	0,252	0,735	10,25	417,34	16996,86	692224,91
43,56	49,22	46,39	24	0,155	0,890	7,18	333,16	15453,77	716835,52
49,22	54,87	52,04	11	0,071	0,961	3,69	192,23	10004,53	520685,28
54,87	60,53	57,70	5	0,032	0,994	1,86	107,41	6198,10	357655,62
60,53	66,19	63,36	1	0,006	1,000	0,41	25,90	1641,27	103996,39
			155	1		38,54	1560,81	66082,56	2912438,11

 

Таблица 2.2 Начальные и центральные моменты

Минимальное значение	Хмин	15,260
Максимальное значение	Хмакс	60,585
Количество значений	N	155,000
Классовый интервал	∆Х	5,659
1-й начальный момент	m1	38,536
2-й начальный момент	m2	1560,806
3-й начальный момент	m3	66082,563
4-й начальный момент	m4	2912438,111
2-й центральный момент	µ2	75,783
3-й центральный момент	µ3	94,621
4-й центральный момент	µ4	17324,264

 

Ошибку среднего или погрешность определения среднего арифметического можно оценить по формуле (20):

Ошибку стандарта определим по формуле (21):

Ошибка коэффициента вариации вычислена по формуле (22):

 

Ошибки асимметрии и эксцесса вычисляется из соотношения (23,24):

 

Если абсолютное значение асимметрии больше утроенной её ошибки, то асимметрия существенно отличается от нормального закона. В данном наблюдаемое отличие асимметрии от нуля можно считать несущественным. Подход к проверке эксцесса ничем не отличается от рассмотренного.

Таблица 2.3 Параметры и характеристики распределения

Параметры распределения	Значение	Ошибка параметра	Доверительный интервал		Отличие
Среднее арифметическое	38,536	0,699	37,837	39,235
Дисперсия	75,783
Коэфффициент вариации	22,590	5,233	17,357	27,823
Ассиметрия	0,143	0,197	-0,053	0,340	0,729
Эксцесс	0,017	0,393	-0,377	0,410	0,042
Мода	37,897
Медиана	38,260
Стандартное отклонение	8,705	0,494	8,211	9,200
Хи-кадрат наблюдаемый	2,97
Число степеней свободы	6,00
Хи-квадрат крит 5%	12,59	расхождения не существенные
Уровень значимости	0,05

 

Следующий этап – расчёт теоретической функции нормального закона распределения. Для этого необходимы два параметра – среднее и стандарт по исходной выборке.

Функция нормального закона распределения рассчитывается через нормированную функцию Лапласа F( t ) (25):

где t – центрированная и нормированная СВ, определяемая из выражения (26):

 

Все расчеты производятся в табличном процессоре MS Excel, в том числе и вычисление функции распределения, используя встроенную функцию:

НОРМРАСП(x_вг; x ; σ ;1),

Выполним более строгую проверку согласия эмпирического и теоретического распределений при помощи критерия согласия Пирсона χ².

Если выборка разбита на n классов, причём наблюдаемые значения расположены в отдельных классах случайным образом независимо друг от друга, то χ² определится (27):

Число степеней свободы для указанного критерия равно v =n-1. Для вычисления ожидаемых частот нужно по наблюдаемым данным оценить l параметров (математическое ожидание и дисперсию). Выполним оценку ожидаемых частот с учётом математического ожидания и дисперсии. Число степеней свободы (28):

                                                     v=n-l-1,                                            

n= 9 - 2 - 1 = 6.

Теперь зададим уровень значимости критерия α. Примем его равным 0.05, то есть 5%. По специальным таблицам (таблица 2.5) найдём для v = 6 и α = 0,05 предельное значение критерия Пирсона  . Найденное значение =2,97 не превосходит табличное, следовательно, с вероятностью P=0.95 можно утверждать, что наблюдаемые расхождения частот эмпирического распределения от теоретического можно считать случайными. Поэтому в качестве теоретического распределения можно принять нормальный закон.

 

 

Таблица 2.4 Расчет теоретической функции распределения

t	Теоретическая ф-я распределения, F(X)	Вероятность, P(X)	Теоретическая частота, Кт	Расчет критерия Пирсона, (Кт-К')˄2/Кт
-2,024	0,022	0,022	3,333	0,133
-1,374	0,085	0,063	9,809	1,479
-0,723	0,235	0,150	23,235	0,329
-0,073	0,471	0,236	36,588	0,159
0,577	0,718	0,247	38,313	0,012
1,227	0,890	0,172	26,679	0,269
1,877	0,970	0,080	12,351	0,148
2,527	0,994	0,025	3,800	0,379
3,177	0,999	0,005	0,776	0,064
		0,999	154,885	2,973

 

Таблица 2.5 Доверительные границы для  распределения

Число степеней свободы, V	Уровень значимости α
	0,10	0,05	0,01	0,001
1	2,71	3,84	6,63	10,83
2	4,61	5,99	9,21	13,82
3	6,25	7,81	11,34	16,27
4	7,78	9,4	13,28	18,47
5	9,24	11,07	15,09	20,52
6	10,64	12,59	16,81	22,46
7	12,02	14,07	18,48	24,32
8	13,36	15,51	20,00	26,12
9	14,68	16,92	21,67	27,88
10	15,99	18,31	23,21	29,59
11	17,28	19,68	24,73	31,26
12	18,55	21,03	26,22	32,91
13	19,81	22,36	27,69	34,53
14	21,06	23,68	29,14	36,12
15	22,31	25,00	30,58	37,70
20	28,41	31,41	37,57	45,32
30	40,26	43,77	50,89	59,70
50	63,17	67,5	76,15	86,66
100	118,5	124,34	135,81	149,45

 

Чтобы оценить, насколько близко эмпирическое распределение к нормальному закону, построим при помощи мастера диаграмм совмещённые графики эмпирической частости P’(x) и вероятности P(x) накопленной частости F’(x) и теоретической функции распределения F(x) (рисунок1, 2).

Рисунок 1- Совмещенный график эмпирической и теоретической частости

 

Рисунок 2- Совмещенный график эмпирической и теоретической частости

 

 

3. Моделирование равномерного закона распределения

Используя функцию генерации случайных чисел MS Excel СЛЧИС() генерируем набор случайных чисел равный N=155 (таблица 3.1).

Таблица 3.1 Моделирование равномерного закона распределения

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0,191	0,164	0,914	0,532	0,603	0,875	0,637	0,553	0,479	0,437
2	0,274	0,086	0,751	0,085	0,311	0,604	0,485	0,683	0,928	0,211
3	0,862	0,906	0,371	0,271	0,237	0,329	0,158	0,921	0,243
4	0,640	0,192	0,261	0,187	0,221	0,959	0,574	0,521	0,664
5	0,241	0,218	0,802	0,328	0,097	0,694	0,339	0,039	0,657
6	0,638	0,624	0,518	0,349	0,986	0,090	0,440	0,508	0,897
7	0,793	0,211	0,997	0,340	0,343	0,794	0,612	0,301	0,372
8	0,803	0,245	0,277	0,748	0,694	0,491	0,114	0,411	0,484
9	0,675	0,632	0,973	0,679	0,814	0,513	0,742	0,254	0,839
10	0,674	0,111	0,096	0,535	0,437	0,526	0,707	0,343	0,382
11	0,743	0,638	0,731	0,571	0,919	0,428	0,615	0,563	0,225
12	0,331	0,914	0,853	0,243	0,944	0,712	0,940	0,971	0,993
13	0,739	0,877	0,309	0,615	0,303	0,987	0,013	0,370	0,106
14	0,717	0,828	0,371	0,194	0,760	0,468	0,255	0,607	0,085
15	0,402	0,225	0,556	0,055	0,518	0,149	0,983	0,956	0,143
16	0,321	0,200	0,059	0,255	0,038	0,443	0,018	0,695	0,473
17	0,192	0,803	0,177	0,415	0,865	0,843	0,933	0,763	0,692

 

Дальнейшие расчеты аналогичны разделу 2, и производятся по тем же формулам, за исключением определения нижней и верхней границы класса. Нижняя граница класса принимается равной 0. Дальнейшие классы разбиваются через 0,1. Расчеты приведены в таблице 3.2, 3.3, 3.4, 3.5.

Таблица 3.2 Предварительная обработка равномерного закона распределения

Классы, х		Середина класса, Хск	Частота, К'	Частость (эмпирическая вероятность), Р'	Эмпирическая ф-я распределения, F'(x)	Начальные моменты, mk
Нижняя граница класса, Хнг	Верхняя граница класса, Хвг					m1	m2	m3	m4
0,00	0,10	0,05	12	0,08	0,08	0,00	0,00	0,00	0,00
0,10	0,20	0,15	13	0,08	0,16	0,01	0,00	0,00	0,00
0,20	0,30	0,25	19,0	0,12	0,28	0,03	0,01	0,00	0,00
0,30	0,40	0,35	18,0	0,12	0,40	0,04	0,01	0,00	0,00
0,40	0,50	0,45	14,0	0,09	0,49	0,04	0,02	0,01	0,00
0,50	0,60	0,55	13	0,08	0,57	0,05	0,03	0,01	0,01
0,60	0,70	0,65	22	0,14	0,72	0,09	0,06	0,04	0,03
0,70	0,80	0,75	13	0,08	0,80	0,06	0,05	0,04	0,03
0,80	0,90	0,85	13	0,08	0,88	0,07	0,06	0,05	0,04
0,90	1,00	0,95	18	0,12	1,00	0,11	0,10	0,10	0,09
		5,00	155			0,51	0,34	0,25	0,20

 

Таблица 3.3 Начальные и центральные моменты

Минимальное значение	Хмин	0,0
Максимальное значение	Хмакс	1,0
Количество значений	N	155,0
Классовый интервал	∆Х	0,1229
1-й начальный момент	m1	0,51
2-й начальный момент	m2	0,34
3-й начальный момент	m3	0,25
4-й начальный момент	m4	0,20
2-й центральный момент	µ2	0,078759625
3-й центральный момент	µ3	0,000339767
4-й центральный момент	µ4	0,011

 

Таблица 3.4 Параметры и характеристики равномерного распределения

Параметры распределения	Значение	Ошибка параметра	Доверительный интервал		Отличие
Среднее арифметическое	0,511	0,022	0,488	0,533
Дисперсия	0,078
Коэфффициент вариации	54,888	125,442	-70,55	180,331
Ассиметрия	0,015	0,196	-0,181	0,212	0,078	несуществ
Эксцесс	1,8	0,393	1,430	2,217	4,636	существ
Мода
Медиана	0,5
Стандартное отклонение	0,280	0,015	0,264	0,296
Хи-кадрат наблюдаемый	6,87
Число степеней свободы	7
Хи-квадрат крит 5%	12,59	расхождения не существенные
Уровень значимости	0,05

 

Таблица 3.5 Расчет теоретической функции распределения

t	Теоретическая ф-я распределения, F(X)	Вероятность, P(X)	Теоретическая частота, Кт	Расчет критерия Пирсона, (Кт-К')˄2/Кт
	0,1	0,1	15,5	0,790
	0,2	0,1	15,5	0,403
	0,3	0,1	15,5	0,790
	0,4	0,1	15,5	0,403
	0,5	0,1	15,5	0,145
	0,6	0,1	15,5	0,403
	0,7	0,1	15,5	2,726
	0,8	0,1	15,5	0,403
	0,9	0,1	15,5	0,403
	1	0,1	15,5	0,403

 

При помощи мастера диаграмм строятся диаграммы (рисунок 3,4)

 

 

Рисунок 3- Частость для равномерного закона

 

Рисунок 4- Функция распределения равномерного закона

 

 

 

4. Моделирование нормального закона распределения

Таблица 4.1 Моделирование нормального закона распределения

№	R	N	N(sr=0;st=1)	x	№	R	N	N(sr=0;st=1)	x
1	0,191	-0,273	-0,289	36,024	52	0,532	-0,376	-0,396	35,088
2	0,274	1,799	1,860	54,729	53	0,085	-0,298	-0,314	35,798
3	0,862	-0,349	-0,367	35,340	54	0,271	2,200	2,276	58,351
4	0,640	-0,419	-0,441	34,701	55	0,187	-0,858	-0,896	30,739
5	0,241	-1,089	-1,135	28,654	56	0,328	1,617	1,671	53,086
6	0,638	-1,289	-1,343	26,847	57	0,349	-0,776	-0,811	31,478
7	0,793	0,225	0,227	40,516	58	0,340	1,226	1,266	49,558
8	0,803	-0,643	-0,673	32,677	59	0,748	-0,329	-0,347	35,514
9	0,675	-0,409	-0,430	34,796	60	0,679	-0,687	-0,718	32,285
10	0,674	-0,786	-0,821	31,390	61	0,535	-1,009	-1,052	29,376
11	0,743	-0,374	-0,394	35,108	62	0,571	-0,483	-0,507	34,122
12	0,331	0,673	0,693	44,565	63	0,243	-1,264	-1,317	27,072
13	0,739	-0,160	-0,172	37,039	64	0,615	-1,110	-1,157	28,466
14	0,717	-0,761	-0,795	31,611	65	0,194	1,705	1,763	53,881
15	0,402	-0,583	-0,611	33,219	66	0,055	0,609	0,626	43,986
16	0,321	1,217	1,257	49,478	67	0,255	-1,424	-1,483	25,628
17	0,192	0,932	0,961	46,901	68	0,415	0,837	0,863	46,047
18	0,164	1,560	1,612	52,567	69	0,603	-0,376	-0,396	35,090
19	0,086	1,838	1,900	55,080	70	0,311	0,933	0,962	46,914
20	0,906	-1,233	-1,284	27,357	71	0,237	0,310	0,316	41,285
21	0,192	0,358	0,366	41,718	72	0,221	1,667	1,724	53,541
22	0,218	1,781	1,841	54,563	73	0,097	2,151	2,225	57,904
23	0,624	0,234	0,237	40,602	74	0,986	-0,187	-0,200	36,795
24	0,211	0,942	0,972	46,993	75	0,343	-0,500	-0,524	33,973
25	0,245	-1,132	-1,179	28,269	76	0,694	-1,374	-1,431	26,081
26	0,632	-1,238	-1,289	27,313	77	0,814	-0,591	-0,618	33,154
27	0,111	-1,354	-1,410	26,264	78	0,437	0,248	0,252	40,728
28	0,638	-1,601	-1,666	24,035	79	0,919	0,385	0,394	41,964
29	0,914	0,304	0,309	41,228	80	0,944	-0,141	-0,152	37,215
30	0,877	-0,296	-0,313	35,812	81	0,303	0,098	0,096	39,373
31	0,828	0,096	0,094	39,351	82	0,760	-1,542	-1,605	24,560
32	0,225	0,607	0,623	43,963	83	0,518	1,113	1,149	48,540
33	0,200	0,585	0,601	43,770	84	0,038	0,274	0,278	40,960
34	0,803	-1,696	-1,764	23,177	85	0,865	0,382	0,390	41,933
35	0,914	0,002	-0,003	38,506	86	0,875	-0,379	-0,399	35,061
36	0,751	-0,425	-0,446	34,651	87	0,604	-0,476	-0,499	34,191
37	0,371	-0,094	-0,103	37,639	88	0,329	0,884	0,911	46,467
38	0,261	1,405	1,452	51,172	89	0,959	-0,100	-0,110	37,581
39	0,802	-0,660	-0,691	32,523	90	0,694	-0,273	-0,289	36,022
40	0,518	-0,074	-0,082	37,821	91	0,090	0,592	0,608	43,829
41	0,997	-0,012	-0,018	38,378	92	0,794	-2,111	-2,195	19,429
42	0,277	0,071	0,068	39,129	93	0,491	-1,189	-1,239	27,752
43	0,973	0,192	0,194	40,223	94	0,513	-0,095	-0,105	37,626
44	0,096	0,133	0,132	39,689	95	0,526	-1,021	-1,064	29,270
45	0,731	0,476	0,488	42,786	96	0,428	0,492	0,505	42,933
46	0,853	-0,633	-0,662	32,773	97	0,712	0,821	0,846	45,901
47	0,309	-1,058	-1,103	28,933	98	0,987	-0,067	-0,075	37,885
48	0,371	1,110	1,145	48,505	99	0,468	0,732	0,754	45,097
49	0,556	1,010	1,042	47,604	100	0,149	0,992	1,023	47,440
50	0,059	0,392	0,401	42,023	101	0,443	0,706	0,726	44,859
51	0,177	-1,822	-1,895	22,039	102	0,843	-1,063	-1,108	28,888

Продолжение таблицы 4.1

№	R	N	N(sr=0;st=1)	x
103	0,637	-0,946	-0,987	29,945
104	0,485	0,091	0,089	39,310
105	0,158	-1,719	-1,789	22,966
106	0,574	-0,859	-0,896	30,733
107	0,339	-1,367	-1,423	26,146
108	0,440	0,543	0,558	43,391
109	0,612	0,747	0,769	45,234
110	0,114	0,652	0,671	44,373
111	0,742	-0,207	-0,220	36,620
112	0,707	-0,745	-0,778	31,759
113	0,615	0,917	0,945	46,763
114	0,940	-0,363	-0,382	35,213
115	0,013	-0,085	-0,094	37,717
116	0,255	2,949	3,053	65,114
117	0,983	0,185	0,187	40,160
118	0,018	0,022	0,017	38,681
119	0,933	-0,352	-0,370	35,312
120	0,553	-0,121	-0,131	37,392
121	0,683	0,768	0,790	45,417
122	0,921	-0,415	-0,436	34,742
123	0,521	1,108	1,143	48,488
124	0,039	0,274	0,279	40,962
125	0,508	-0,368	-0,388	35,160
126	0,301	1,104	1,139	48,454
127	0,411	-0,035	-0,042	38,175
128	0,254	1,334	1,378	50,529
129	0,343	-1,350	-1,405	26,301
130	0,563	-0,563	-0,590	33,403
131	0,971	-0,166	-0,177	36,991
132	0,370	0,175	0,176	40,070
133	0,607	0,961	0,991	47,162
134	0,956	-0,274	-0,289	36,016
135	0,695	0,071	0,068	39,127
136	0,763	-0,850	-0,887	30,815
137	0,479	1,090	1,125	48,331
138	0,928	-0,532	-0,557	33,686
139	0,243	-0,862	-0,900	30,699
140	0,664	-1,445	-1,504	25,439
141	0,657	0,733	0,754	45,102
142	0,897	-0,551	-0,577	33,516
143	0,372	-1,399	-1,457	25,856
144	0,484	0,141	0,140	39,756
145	0,839	-0,438	-0,460	34,532
146	0,382	0,400	0,409	42,098
147	0,225	1,725	1,783	54,060
148	0,993	-0,078	-0,086	37,786
149	0,106	1,821	1,883	54,930
150	0,085	1,085	1,119	48,280
151	0,143	-1,944	-2,022	20,930
152	0,473	0,329	0,336	41,459
153	0,692	-0,793	-0,828	31,326
154	0,437	0,329	0,335	41,455
155	0,211	1,765	1,825	54,424

Нормальные нормализованные числа получаем методом Мюллера, по следующим формулам (29,30):

(29)

.                                   (30)   

где r1 и r2 — случайные числа из таблицы 4.1.

Затем преобразуем нормальные числа по формуле (31):

.                                               (31)

Случайные числа и результаты расчета методом Мюллера заносятся в таблицу 4.1.

Дальнейшие расчеты аналогичны расчетам, описанным в разделе 1, и сводятся в таблицы 4.2, 4,3,4,4,4,5.

Таблица 4.2 Предварительная обработка нормального закона распределения

Классы, х		Середина класса, Хск	Частота, К'	Частость (эмпирическая вероятность), Р'	Эмпирическая ф-я распределения, F'(x)	Начальные моменты, mk
Нижняя граница класса, Хнг	Верхняя граница класса, Хвг					m1	m2	m3	m4
19,43	25,13	22,28	7	0,05	0,05	1,01	22,42	499,57	11131,06
25,13	30,84	27,99	24	0,15	0,20	4,33	121,27	3393,74	94975,57
30,84	36,54	33,69	36,0	0,23	0,43	7,82	263,61	8880,93	299194,84
36,54	42,25	39,39	41,0	0,26	0,70	10,42	410,49	16170,83	637028,71
42,25	47,95	45,10	24,0	0,15	0,85	6,98	314,91	14201,86	640472,71
47,95	53,65	50,80	13	0,08	0,94	4,26	216,46	10996,42	558638,75
53,65	59,36	56,51	9	0,06	0,99	3,28	185,40	10475,97	591954,87
59,36	65,06	62,21	0	0,00	0,99	0,00	0,00	0,00	0,00
65,06	70,77	67,91	1	0,01	1,00	0,44	29,76	2020,92	137249,29
			155			38,55	1564,31	66640,24	2970645,79

Таблица 4.3 Начальные и центральные моменты

Минимальное значение	Хмин	0,0
Максимальное значение	Хмакс	1,0
Количество значений	N	155,0
Классовый интервал	∆Х	0,1229
1-й начальный момент	m1	0,51
2-й начальный момент	m2	0,34
3-й начальный момент	m3	0,25
4-й начальный момент	m4	0,20
2-й центральный момент	µ2	0,078759625
3-й центральный момент	µ3	0,000339767
4-й центральный момент	µ4	0,011

Таблица 4.4 Параметры и характеристики нормального распределения

Параметры распределения	Значение	Ошибка параметра	Доверительный интервал		Отличие
Среднее арифметическое	38,547	0,711	37,836	39,259
Дисперсия	78,421
Коэфффициент вариации	22,973	5,317	17,656	28,290
Ассиметрия	0,424	0,197	0,227	0,621	2,154	несуществ
Эксцесс	-0,035	0,393	-0,429	0,358	0,090	несуществ
Мода	37,838
Медиана	38,002
Стандартное отклонение	8,856	0,503	8,353	9,359
Хи-кадрат наблюдаемый	10,85
Число степеней свободы	6
Хи-квадрат крит 5%	12,59	расхождения не существенные
Уровень значимости	0,05

 

Таблица 4.5 Расчет теоретической функции распределения

t	Теоретическая ф-я распределения, F(X)	Вероятность, P(X)	Теоретическая частота, Кт	Расчет критерия Пирсона, (Кт-К')˄2/Кт
	0,065	0,065	10,063	0,932
	0,192	0,127	19,695	0,941
	0,410	0,218	33,856	0,136
	0,662	0,251	38,980	0,105
	0,856	0,194	30,060	1,222
	0,956	0,100	15,524	0,410
	0,991	0,035	5,367	2,459
	0,999	0,008	1,242	1,242
	1,000	0,001	0,192	3,400
				10,846

При помощи мастера диаграмм строятся диаграммы (рисунок 5,6)

Рисунок 5- График частости и вероятности для модели нормального распределения

    Рисунок 6- Функция распределения для модели нормального распределения

 

 

 

Вывод

Во время выполнения данной работы были изучены методы статистической обработки эмпирического распределения, близкого к нормальному закону распределения случайных величин. Были освоены способы составления вариационный рядов для случайных непрерывных величин. В ходе работы был выполнен расчёт основных параметров группированного распределения через условные начальные моменты. Так же были рассчитаны основные параметры и характеристики распределения. Все работы производились с помощью табличного процессора Excel. Были освоены основные статистические и математические функции данной программы. Произведена оценка соответствия распределения нормальному закону. В результате строгой проверки гипотезы о нормальном законе распределения эмпирической выборки с помощью критерия согласия Пирсона, выяснено что расхождения частот эмпирического и теоретического являются случайными. Итогом стало построение диаграмм сравнения эмпирической и теоретической частости и вероятности.

 

---

Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 1404; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!