Определение устойчивости точек покоя



По следу и определителю матрицы системы

Рассмотрим ДС, задаваемую системой уравнений

Выпишем матрицу этой системы

Найдём след (сумму диагональных элементов) и определитель матрицы:

В соответствии с пунктом 8 характеристическое уравнение примет вид

Остальные случаи

Точка покоя:

устойчива асимптотически устойчива возможно устойчива неустойчива

 

Задача 1. Определить значения параметра  при которых точка покоя ДС, заданной системой ДУ

устойчива.

 Приравняем правые части нулю:

Из этой системы уравнений получим

т.е. начало координат  является точкой покоя. Коэффициенты правой части исходной системы ДУ образуют матрицу

Эта матрица имеет след  и определитель

1) Асимптотическая устойчивость ДС будет в том случае, если

 т.е. при

Отсюда

2) Устойчивость, но не асимптотическая, будет в том случае, если

 т.е. при

Отсюда

3) Случай

 т.е.  или

невозможен.

Ответ: при  точка покоя асимптотически устойчива;

 при  точка покоя устойчива, но не асимптотически;

 в остальных случаях точка покоя неустойчива. ■

 

 

Качественный анализ одномерной ДС.

Пусть эволюция ДС задаётся автономным уравнением

Вы знаете, что если  то величина  растёт с течением времени, а если , то  убывает. Или, что то же, если  то  с течением времени возрастает, если  то  убывает, а если  то  не уменьшается и не растёт, т.е. – точка покоя. Значит, точки покоя одномерной ДС являются корнями уравнения

На рис. 8.1 график функции  пересекает ось  в трёх точках . Они и есть точки покоя ДС, так как в них  Стрелки на оси  показывают интервалы, где  растёт и где убывает. Состояния  устойчивы, а  неустойчиво.

Рис. 8.1

В самом деле, пусть ДС находится в состоянии  Если ДС немного отклонить от  в какую-либо сторону, то система будет стремиться вернуться в это состояние, как показывают стрелки, направленные к  А если ДС, находящуюся в состоянии  немного отклонить от  в любую сторону, то ДС будет удаляться от этого состояния.

Таким образом, даже не решая исходное дифференциальное уравнение, можно исследовать поведение ДС. Характер поведения ДС уже виден на оси  поэтому график функции P обычно не рисуют и оставляют лишь то, что происходит на оси (рис. 3.2):

Рис. 8.2

Рис. 8.2 представляет пример фазового портрета ДС, в котором ось  является фазовой прямой.

В любой точке покоя  фазовый портрет одномерной ДС бывает одним из следующих четырёх типов (рис. 8.3):

   

Рис. 8.3

З а д а ч а  1. Найти точки покоя и исследовать поведение ДС, описываемой уравнением

где

 Приравняем правую часть нулю:  Отсюда  – точка покоя. Если  то правая часть  на оси состояния  имеет следующие знаки:

Поэтому фазовый портрет, изображающий поведение ДС, таков:

Видим, что состояние равновесия (точка покоя) неустойчиво (репеллер): при малейшем отклонении от точки  в ту или другую сторону система стремится удалиться от этой точки. Если же  то знаки на оси  поменяются:

На фазовом портрете направление стрелок станет таким:

Здесь состояние равновесия устойчиво, является аттрактором: при малейшем отклонении от точки  в ту или другую сторону система стремится вернуться в это состояние. ■

З а д а ч а  2. Найти состояния равновесия и исследовать поведение ДС, описываемой уравнением

 Приравняем правую часть нулю,  Отсюда  Если  то уравнение не имеет вещественного решения, т.е. у ДС нет устойчивого состояния. Если  то будем иметь единственную точку покоя  Фазовый портрет ДС:

Если  будем иметь две точки покоя  и фазовый портрет ДС

 ■

З а д а ч а  3. Исследовать поведение ДС, описываемой уравнением

 Правая часть равна  Её график и точки покоя показаны на рис. 8.4 а. На рис. 8.4 б дан фазовый портрет, дающий представление о поведении ДС вблизи точек покоя. Здесь мы видим, что аттракторы и репеллеры регулярно чередуются с промежутком между ними

Точки  являются репеллерами (неустойчивыми точками покоя), а точки  – аттракторами (устойчивыми точками покоя)  ■

Рис. 8.4

З а д а ч а  4. Показать, что две ДС, описываемые уравнениями  и  качественно эквивалентны.

 У первой ДС уравнение даёт две точки покоя . Поэтому эта ДС имеет фазовый портрет

У второй ДС уравнение  даёт тоже две точки покоя . Поэтому вторая ДС имеет фазовый портрет

Фазовые портреты схожи, следовательно, обе ДС качественно эквивалентны. ■

 


Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 1341; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!