Устойчивость двумерной динамической системы



 

Понятие устойчивости, сформулированное для одномерной ДС, с незначительными изменениями переносится на ДС любой мерности. Для двумерной ДС определение устойчивости будет таким:

Дано: динамическая система, описываемая системой уравнений которая
Решение называется устойчивым, если   при                   (4.1) асимптотически устойчивым, если при                 (4.2)

 

 

З а д а ч а  1. Решение системы дифференциальных уравнений

с начальными условиями

исследовать на устойчивость.

 Займёмся поиском общего решения. Продифференцируем первое уравнение и подставим в него  из второго:

Вместе с первым уравнением получаем систему уравнений

Выделим  из первого уравнения

                                           (а)

и подставим во второе

                                        (б)

Получилось линейное ДУ второго порядка с одной неизвестной функцией  Общее решение имеет вид  Отбросим в (б) правую часть и для полученного однородного ДУ  составим характеристическое уравнение  Оно имеет корни  поэтому  Теперь учтём правую часть. Правая часть в (б) подсказывает, что частное решение следует искать в подобном же виде:  Число  сейчас найдём. Имеем  Подставим эти значения в (б):  Отсюда находим  В итоге получаем общее решение уравнения (б)

Подставив это значение в (а), будем иметь

Запишем два одинаковых общих решения

                                                        (в)

                    (г)

Для отыскания  и  подставим начальное условие задачи

и близкое к нему начальное условие

где  Подстановка этих начальных условий в (в), (г) даст равенства

из которых найдём

Следовательно,

 

Для проверки выполнения условий (4.1), (4.2) составим выражение

При  оно стремится к нулю. Значит, система ДУ устойчива. Однако при  это выражение не стремится к нулю , т.е. условие (4.2) не выполняется. Поэтому система ДУ не является асимптотически устойчивой. ■

 

 

Качественный анализ одномерной ДС.

Пусть эволюция ДС задаётся автономным уравнением

Вы знаете, что если  то величина  растёт с течением времени, а если , то  убывает. Или, что то же, если  то  с течением времени возрастает, если  то  убывает, а если  то  не уменьшается и не растёт, т.е. – точка покоя. Значит, точки покоя одномерной ДС являются корнями уравнения

На рис. 5.1 график функции  пересекает ось  в трёх точках . Они и есть точки покоя ДС, так как в них  Стрелки на оси  показывают интервалы, где  растёт и где убывает. Состояния  устойчивы, а  неустойчиво.

Рис. 5.1

В самом деле, пусть ДС находится в состоянии  Если ДС немного отклонить от  в какую-либо сторону, то система будет стремиться вернуться в это состояние, как показывают стрелки, направленные к  А если ДС, находящуюся в состоянии  немного отклонить от  в любую сторону, то ДС будет удаляться от этого состояния.

Таким образом, даже не решая исходное дифференциальное уравнение, можно исследовать поведение ДС. Характер поведения ДС уже виден на оси  поэтому график функции P обычно не рисуют и оставляют лишь то, что происходит на оси (рис. 5.2):

Рис. 5.2

Изображённое на рис. 5.2 называют фазовым портретом ДС, а ось  – фазовой прямой.

В любой точке покоя  фазовый портрет одномерной ДС бывает одним из следующих четырёх типов (рис. 5.3):

   

Рис. 5.3

З а д а ч а  1. Найти точки покоя и исследовать поведение ДС, описываемой уравнением

где

 Приравняем правую часть нулю:  Отсюда  – точка покоя. Если  то правая часть  на оси состояния  имеет следующие знаки:

Поэтому фазовый портрет, изображающий поведение ДС, таков:

Видим, что состояние равновесия (точка покоя) неустойчиво (репеллер): при малейшем отклонении от точки  в ту или другую сторону система стремится удалиться от этой точки. Если же  то знаки на оси  поменяются:

На фазовом портрете направление стрелок станет таким:

Здесь состояние равновесия устойчиво, является аттрактором: при малейшем отклонении от точки  в ту или другую сторону система стремится вернуться в это состояние. ■

З а д а ч а  2. Найти состояния равновесия и исследовать поведение ДС, описываемой уравнением

 Приравняем правую часть нулю,  Отсюда  Если  то уравнение не имеет вещественного решения, т.е. у ДС нет устойчивого состояния. Если  то будем иметь единственную точку покоя  Фазовый портрет ДС:

Если  будем иметь две точки покоя  и фазовый портрет ДС

 ■

З а д а ч а  3. Исследовать поведение ДС, описываемой уравнением

 Правая часть равна  Её график и точки покоя показаны на рис. 8.4 а. На рис. 8.4 б дан фазовый портрет, дающий представление о поведении ДС вблизи точек покоя. Здесь мы видим, что аттракторы и репеллеры регулярно чередуются с промежутком между ними

Точки  являются репеллерами (неустойчивыми точками покоя), а точки  – аттракторами (устойчивыми точками покоя)  ■

 


Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 364; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!