Продольные и крутильные колебания прямых стержней
Уравнения продольных и крутильных колебаний прямого стержня.
Обозначим через 
погонную массу стержня; 
- погонный момент инерции относительно оси стержня; через 
- площадь поперечного сечения; 
- экваториальный момент поперечного сечения; 
- модуль Юнга; 
- модуль сдвига. Пусть 
и 
- соответственно продольное смещение и угол поворота какого-либо сечения стержня в момент 
Обозначим далее через 
интенсивность внешней нагрузки – продольной, направленной по оси стержня, в случае продольных колебаний и моментной – в случае колебаний крутильных. Уравнения продольных и крутильных колебаний стержня мы получим как необходимые условия экстремума функционалов:
(1.1)
для продольных колебаний и
(1.2)
для крутильных.
Интегралы по 
, взятые в пределах от 0 до 
(длина стержня) от первого и двух последних слагаемых в квадратных скобках, представляют соответственно кинетическую и потенциальную энергию рассматриваемой системы.
Согласно (*) необходимое условие экстремума функционала 
будет иметь вид
(1.3)
необходимое условие экстремума функционала 
(1.4)
Условия (3) и (4) и будут уравнениями продольных и крутильных колебаний соответственно.
Когда 
и жесткость 
и 
постоянны по всей длине стержня, то уравнения свободных колебаний (продольных и крутильных) однородного стержня имеют вид
|
|
|
(1.5)
(1.6)
где 
; 
Уравнения (5) и (6) – линейные уравнения в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами. Для продольных и крутильных колебаний однородного стержня они имеют одинаковую форму. Можно поэтому в общей теории ограничиться рассмотрением одного из них, например, второго, т. е. уравнения крутильных колебаний. При этом рассмотрении мы будем опираться на общий принцип линейной теории колебаний – принцип суперпозиции малых колебаний, который был положен в основу изучения колебаний систем с конечным числом степеней свободы. Мы будем предполагать, что малые колебания системы с бесконечным числом степеней свободы также представляют собой линейное наложение главных гармонических колебаний.
Руководствуясь этим принципом, мы будем искать главные гармонические крутильные колебания стержня в таком виде:
(1.7)
где 
- функция, определяющая непрерывную совокупность амплитудных угловых отклонений сечений стержня от их равновесных положений. В дискретных системах с конечным числом степеней свободы эта функция вырождается в конечную совокупность амплитудных смещений сосредоточенных масс.
|
|
|
Подставив (7) в (6), получим уравнение собственных форм
(1.8)
или
где 
Уравнение собственных форм продольных колебаний будет иметь аналогичную форму
(1.9)
где 
Величины 
и 
называются иногда собственными нагрузками стержня. Применив к этим нагрузкам обобщенный принцип взаимности Рэлея, выражающийся здесь в равенстве работы нагрузки 
на перемещении 
работе нагрузки 
на перемещении 
получим условие ортогональности собственных форм крутильных колебаний. В самом деле, из равенства этих работ
если 
получим
(1.10)
Для продольных колебаний условие ортогональности напишется аналогичным образом:
(1.11)
Задача о собственных формах и частотах колебаний приводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Общий интеграл уравнения (8) (для крутильных колебаний) будет иметь вид
(1.12)
|
|
|
или
где 
и 
- значение угла поворота и производной от него по для 
Постоянные 
и 
или и , а также собственные значения 
определяются из краевых условий задачи, т.е. из условий закрепления концов стержня. В простейших случаях концы стержня (один или оба) свободны или жестко закреплены. Эти способы закрепления выражаются следующими соотношениями:
1) для крутильных колебаний на свободном конце
(1.13)
на закрепленном
(1.14)
2) в случае продольных колебаний на свободном конце
(1.15)
на закрепленном
(1.16)
Другие свойства собственных форм аналогичны свойствам форм систем с конечным числом степеней свободы. Так, остается в силе теорема об узлах собственных форм: число узлов собственной формы 
-го порядка равно -1; при этом узлы двух последовательных форм перемежаются. Остается также в силе и теорема о разложении любой формы по собственным формам однородной задачи.
Общее решение уравнения (8) мы получим как бесконечную линейную сумму главных колебаний
|
|
|
(1.17)
или
(1.18)
Постоянные 
определяются из начальных условий, которые в случае крутильных колебаний выражаются заданием в начальный момент 
распределения по стержню угловых отклонений
и их производных по 
где 
и 
- некоторые заданные функции переменной .
Само вычисление постоянных производится следующим образом. Прежде всего находим из (18)
(1.19)
Положив здесь 
получим
(1.20)
Взяв производную от (19) по 
найдем
(1.21)
Как видно из последней формулы, постоянные 
и 
являются коэффициентами разложения заданных функций и по собственным формам 
Частоты главных колебаний стержня образуют бесконечный дискретный ряд значений. Перенумерованные в порядке возрастания они вместе с порядковым номером растут до бесконечности.
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 529; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!