Продольные и крутильные колебания прямых стержней



Уравнения продольных и крутильных колебаний прямого стержня.

Обозначим через  погонную массу стержня; - погонный момент инерции относительно оси стержня; через - площадь поперечного сечения; - экваториальный момент поперечного сечения; - модуль Юнга; - модуль сдвига. Пусть  и - соответственно продольное смещение и угол поворота какого-либо сечения стержня в момент  Обозначим далее через  интенсивность внешней нагрузки – продольной, направленной по оси стержня, в случае продольных колебаний и моментной – в случае колебаний крутильных. Уравнения продольных и крутильных колебаний стержня мы получим как необходимые условия экстремума функционалов:

                         (1.1)

для продольных колебаний и

                        (1.2)

для крутильных.

Интегралы по , взятые в пределах от 0 до  (длина стержня) от первого и двух последних слагаемых в квадратных скобках, представляют соответственно кинетическую и потенциальную энергию рассматриваемой системы.

Согласно (*) необходимое условие экстремума функционала  будет иметь вид

                                   (1.3)

необходимое условие экстремума функционала

                                  (1.4)

Условия (3) и (4) и будут уравнениями продольных и крутильных колебаний соответственно.

Когда  и жесткость  и  постоянны по всей длине стержня, то уравнения свободных колебаний (продольных и крутильных) однородного стержня имеют вид

                                       (1.5)

                                       (1.6)

где ;  Уравнения (5) и (6) – линейные уравнения в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами. Для продольных и крутильных колебаний однородного стержня они имеют одинаковую форму. Можно поэтому в общей теории ограничиться рассмотрением одного из них, например, второго, т. е. уравнения крутильных колебаний. При этом рассмотрении мы будем опираться на общий принцип линейной теории колебаний – принцип суперпозиции малых колебаний, который был положен в основу изучения колебаний систем с конечным числом степеней свободы. Мы будем предполагать, что малые колебания системы с бесконечным числом степеней свободы также представляют собой линейное наложение главных гармонических колебаний.

Руководствуясь этим принципом, мы будем искать главные гармонические крутильные колебания стержня в таком виде:

                                     (1.7)

где - функция, определяющая непрерывную совокупность амплитудных угловых отклонений сечений стержня от их равновесных положений. В дискретных системах с конечным числом степеней свободы эта функция вырождается в конечную совокупность амплитудных смещений сосредоточенных масс.

Подставив (7) в (6), получим уравнение собственных форм

                                    (1.8)

или

где

Уравнение собственных форм продольных колебаний будет иметь аналогичную форму

                                     (1.9)

где

Величины  и  называются иногда собственными нагрузками стержня. Применив к этим нагрузкам обобщенный принцип взаимности Рэлея, выражающийся здесь в равенстве работы нагрузки  на перемещении  работе нагрузки  на перемещении  получим условие ортогональности собственных форм крутильных колебаний. В самом деле, из равенства этих работ

если  получим

                                                        (1.10)

Для продольных колебаний условие ортогональности напишется аналогичным образом:

                                                       (1.11)

Задача о собственных формах и частотах колебаний приводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Общий интеграл уравнения (8) (для крутильных колебаний) будет иметь вид

                                 (1.12)

или

где  и - значение угла поворота и производной от него по  для  Постоянные  и  или  и , а также собственные значения  определяются из краевых условий задачи, т.е. из условий закрепления концов стержня. В простейших случаях концы стержня (один или оба) свободны или жестко закреплены. Эти способы закрепления выражаются следующими соотношениями:

1) для крутильных колебаний на свободном конце

                                               (1.13)

на закрепленном

                                                   (1.14)

2) в случае продольных колебаний на свободном конце

                                                (1.15)

 

на закрепленном

                                                  (1.16)

Другие свойства собственных форм аналогичны свойствам форм систем с конечным числом степеней свободы. Так, остается в силе теорема об узлах собственных форм: число узлов собственной формы -го порядка равно -1; при этом узлы двух последовательных форм перемежаются. Остается также в силе и теорема о разложении любой формы по собственным формам однородной задачи.

Общее решение уравнения (8) мы получим как бесконечную линейную сумму главных колебаний

                                (1.17)

или

                         (1.18)

Постоянные  определяются из начальных условий, которые в случае крутильных колебаний выражаются заданием в начальный момент  распределения по стержню угловых отклонений

и их производных по

где  и - некоторые заданные функции переменной .

Само вычисление постоянных производится следующим образом. Прежде всего находим из (18)

                    (1.19)

Положив здесь  получим

                                        (1.20)

Взяв производную от (19) по  найдем

                                      (1.21)

Как видно из последней формулы, постоянные  и  являются коэффициентами разложения заданных функций  и  по собственным формам

Частоты главных колебаний стержня образуют бесконечный дискретный ряд значений. Перенумерованные в порядке возрастания они вместе с порядковым номером растут до бесконечности.


Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 218;