Основные допущения и уравнения поперечных колебаний прямого стержня
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Пермский научно-исследовательский политехнический университет»
Направление: 141100.62 – Энергомашиностроение
Профиль: Газотурбинные, паротурбинные установки и двигатели
Методические указания к расчетно-графической работе
«Динамика и прочность энергетических установок»
По дисциплине «Динамика и прочность энергетических установок»
Курс 3 Семестр 6
Пермь 2015 г.
РЕФЕРАТ
Методическое пособие 29 страниц, 7 рисунков, 2 таблицы,
4 источника.
Объектом исследования является газотурбинный двигатель.
Целью работы – освоить методы расчета динамических нагрузок, которые возникают в процессе функционирования газотурбинных двигателей (ГТД) с учетом определенных ограничений по расходным характеристикам и габаритам, производить оценочные расчеты собственных и вынужденных колебаний ЭУ.
Данный расчет ГТД можно расценивать как основу для моделирования реальных энергетических машин подобного класса. Это, безусловно, является актуальной темой последних десятилетий. В ходе проведения расчетных работ можно корректировать различные параметры ГТД, выбирать необходимые параметры процессов и формировать требования по физико-механическим свойствам выбираемых материалов конструкционных элементов для решения поставленных результатов и характеристик ГТД отвечающим заданному варианту. Кроме того, расчетным путем можно оценить, в той или иной мере, динамическое поведение проектируемого ГТД при различных нагрузках, что является важным фактором, позволяющим прогнозировать динамическую нагрузку для каждого элемента энергетической установки.
|
|
|
Первым этапом расчета ГТД является проектировочный расчет, позволяющий по заданному массовому расходу через ступени турбины определить необходимое количество топливного газа и воздуха, что позволяет спроектировать и рассчитать необходимое количество ступеней компрессора, геометрии камеры сгорания ГДД и расчет системы подачи топлива. Проектировочный расчет ведется по статическим параметрам давлений, температур, расхода топлива, что в целом позволят определить облик, геометрию и вес всего ГТД.
Второй частью расчета является использования специального расчетного приложения, которое позволяет оценить динамическое поведения ГТД при колебательных режимах его работы, оценить динамические нагрузки, действующие на конструктивные элементы и узлы.
Третьей частью расчета является оценка работоспособности соединений агрегатов на примере стыковочного узла камеры сгорания и компрессора, с целью выбора количества болтов, конструкции шпангоутов, с проверкой на герметичность, смятие от действия статических и динамических нагрузках, с проверкой на прочность всей конструкции в целом.
|
|
|
В четвертой части расчета проводится сравнительный анализ расчета критических частот вращающегося ротора ГТД и собственных частот его изгибных колебаний.
В заключении рассматриваются положения о соответствии заданию конструкции ГТД и анализ полученных результатов, делаются выводы.
Содержание
Введение
Теория
Расчет геометрических параметров ГТУ
Список литературы
Введение
Работа газотурбинного двигателя (ГТД) сопровождается вибрацией, неизбежной для машин с быстровращающимися роторами. Повышенная вибрация может привести к выходу из строя двигателя вследствие поломки лопаток, валов, опор, элементов подвески, агрегатов, трубопроводов и т.д.; вибрация двигателя опасна также с точки зрения прочности летательного аппарата. Часто повышенная вибрация становится причиной отбраковки двигателей при испытаниях и досрочного снятия их с эксплуатации. Работы, направленные на снижение вибрации, ведутся на этапах проектирования, доводки, серийного производства и эксплуатации двигателей. Проблема вибрации газотурбинных двигателей, их деталей и узлов изучается много лет, ее сложность состоит в многообразных проявлениях факторов различной природы.
|
|
|
С проблемами вибраций газотурбинных двигателей приходится сталкиваться не только специалистам, занимающимися прочностными расчетами. Динамические нагрузки должны быть оценены на стадиях разработки и экспериментальной доводки двигателей, при их производстве и эксплуатации.
Авиационные двигатели – классический пример сложнейшего устройства, в котором строжайшие требования надежности сочетаются с предельно тяжелыми нагрузками и условиями работы деталей и узлов, длительным ресурсом. Именно этим определяется важнейшее место прочностных расчетов, исследований и испытаний на всех этапах жизненного цикла двигателей: проектировании, доводке, изготовлении и эксплуатации. Именно поэтому в авиационном двигателестроении используются самые современные методы и средства прочностных расчетов и экспериментальных исследований.
Именно поэтому, авиационное двигателестроение, начиная с середины ХХ века было одним из важнейших стимулов развития прочностной науки в целом. Тенденции развития авиационных двигателей предполагают увеличение удельных параметров рабочего процесса, нагрузок на детали, повышение их рабочих температур и, следовательно, дальнейшее возрастание роли прочностных исследований и расчетов.
|
|
|
Специфика и сложность проблем обеспечения прочностной надежности требуют от специалистов по авиационным двигателям все более глубокой подготовки в области динамики прочности. Применяемые в авиационном двигателестроении методы прочностных расчетов уже давно вышли за пределы традиционного для инженерной подготовки сопротивления материалов: трехмерный анализ напряженно-деформированного состояния деталей, анализ нестационарных полей температурных напряжений, малоцикловой усталости, процессов развития трещин, моделирование вибраций на основе трехмерных моделей с распространенными параметрами и т.д.
Динамическая прочность деталей авиационных обеспечивается путём правильного сочетания механических свойств материала при действии переменных напряжений с уровнем переменных напряжений в рабочих условиях. Чем ниже переменные напряжения, тем легче обеспечить высокую надёжность и большой ресурс работы двигателя. Однако значительное уменьшение напряжений ведёт к утяжелению двигателя и требует длительной и сложной доводочной работы. Поддержание переменных напряжений на допустимом уровне обеспечивается комплексом расчётно-экспериментальных работ, проводимых на всех этапах конструирования, доводки, производства и эксплуатации.
На основе выполнения курсовой работы студент закрепляет знания, полученные в курсах: «Газотурбинные установки», «Проектирование газотурбинных установок» и осваивает методы динамической оценки напряженно-деформированного состояния конструктивных элементов ГТУ. Кроме того осваивает программу «Динамика» по расчету собственных частот конструктивных элементов и узлов ГТУ. Формируется комплекс знаний, умений и владений динамического анализа при разработке энергетических машин.
В данной курсовой работе необходимо провести проектировочный расчёт газотурбинной установки для определения масс и основных размеров элементов ГТУ. Кроме того, на основании известных массогабаритных характеристик провести расчёт собственных форм и частот колебаний с помощью специализированного программного обеспечения. Заключительным этапом является прочностной расчёт различных элементов ГТУ (задаётся преподавателем и является индивидуальным для каждой группы студентов).
Теория
Поперечные колебания прямых стержней. 
Основные допущения и уравнения поперечных колебаний прямого стержня.
При выводе уравнения поперечных колебаний стержня (или балки) мы будем предполагать, что в недеформируемом состоянии так называемая упругая ось стержня прямолинейна и совпадает с линией центров тяжести поперечных сечений стержня. Эту прямолинейную ось мы примем за координатную ось 
, и от нее будем отсчитывать отклонения элементов стержня при поперечных колебаниях. При этом мы будем считать, по крайней мере на первых порах, что отклонения отдельных точек оси стержня происходят перпендикулярно к прямолинейному, недеформированному ее направлению, пренебрегая смещениями этих точек, параллельными оси.
Далее, мы предполагаем, что отклонения точек оси стержня при поперечных колебаниях происходят в одной плоскости (“плоскость колебаний”) и являются “малыми” отклонениями в том смысле, что возникающие при этом восстанавливающие силы остаются в пределах пропорциональности.
При таких предположениях отклонения точек оси стержня при поперечных колебаниях однозначно определяются одной функцией двух переменных – координаты и времени 
:
= 
Эта функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению в частных производных четвертого порядка, которое может быть построено следующим образом.
Обозначим через 
массу единицы длины стержня, через 
- жесткость на прогиб ( 
- модуль упругости, 
- момент инерции поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси сечения, перпендикулярной к плоскости колебаний), 
- момент инерции единицы длины стержня относительно центральной оси, перпендикулярной к плоскости колебаний. На стержень действует распределенная поперечная нагрузка, интенсивность которой мы обозначим через 
, а также продольная сила (растягивающая или сжимающая), направленная по оси стержня с интенсивностью 
. Эти нагрузки могут зависеть не только от положения элементов стержня, но и от времени.
Кинетическая энергия колеблющегося стержня складывается из кинетической энергии поперечных смещений элементов стержня
= 
(1)
и кинетической энергии вращения элементов стержня вокруг осей, перпендикулярных к плоскости колебаний,
= 
(2)
Потенциальная энергия равна сумме трех слагаемых:
а) потенциальной энергии упругой деформации (работа восстанавливающих упругих сил
П 
= 
(3)
б) потенциальной энергии прогиба от поперечной нагрузки 
П 
= 
(4)
в) потенциальной энергии растяжения от продольной силы 
П 
= 
(5)
Функционал 
Остроградского – Гамильтона имеем здесь вид
= 
. (6)
Уравнение поперечных колебаний стержня мы получим, составив для функционала уравнение Эйлер по формуле:
, (*)
где
; 
; 
; 
; 
.
(7)
Это линейное уравнение четвертого порядка, составленное при самых общих предположениях относительно действующих на стержень сил, жесткости и распределения массы.
В стержнях, длина которых значительно превосходит поперечные размеры, можно пренебречь инерцией вращения и опустить в левой части уравнения (7) последний член.
Положив 
и 
, мы рассмотрим сначала свободные колебания однородного стержня с постоянной жесткостью и погонной массой 
. Для таких колебаний уравнение (7) будет иметь вид
, (8)
где 
.
2. Краевые и начальные условия.
В простейших случаях, когда конец стержня свободен, или жестко закреплен, или шарнирно оперт, краевые условия выражаются следующими соотношениями:
а) конец стержня свободен; на таком конце равны нулю изгибающий момент и поперечная сила; следовательно,
, 
;
б) конец стержня жестко закреплен; на таком конце равны нулю прогиб и угол поворота, т. е.
, 
;
в) конец стержня свободно оперт (или закреплен шарниром); в этом случае равны нулю прогиб и изгибающий момент, т.е.
, 
.
Краевые условия, ограничивающие свободу перемещения концов стержня, называются геометрическими условиями. Таковы, например, условия, в силу которых равны нулю прогиб и угол поворота, т.е. условия
.
Условия, налагающие ограничения на изгибающий момент и поперечную силу, например, условия, выражающиеся равенствами
, 
,
мы будем называть динамическими условиями.
В других случаях условия закрепления концов стержня выражаются более сложным образом. Например, при упругом закреплении конца стержня соответствующее такому закреплению краевое условие должно учитывать характер возможных смещений конца и возникающих при этом упругих восстанавливающих сил. Так будет, например, в случае закрепления, упругого для поперечных смещений конца и жесткого для поворота или, наоборот, жесткого для поперечных смещений и упругого для поворота и т. д. С такими упругими закреплениями приходится встречаться при расчете на колебания турбинных лопаток, концы которых связаны бандажом, а также при учете упругой податливости заделки хвоста в ободе диска. С некоторыми видами упругих закреплений мы встретимся в разобранных дальше примерах. Отметим, что, оставаясь в пределах линейной теории, мы ограничиваемся рассмотрением краевых условий, выражающихся уравнениями, линейными относительно величин
Начальные условия выражаются соотношениями
имеющими место в момент 
где 
и 
- некоторые заданные функции переменной , определяющие начальное распределение по оси стержня поперечных отклонений и скоростей отдельных его элементов.
3. Собственные формы колебаний стержня и функции, их определяющие.
Простейшим периодическим решением уравнения свободных колебаний стержня
(9)
является так называемое главное колебание, в котором 
изменяется с течением времени по гармоническому закону
(10)
Функция 
устанавливающая закон распределения максимальных (амплитудных) отклонений точек оси стержня от равновесного расположения, называется формой главного колебания или собственной формой. Собственных форм колебаний прямого стержня бесконечное множество. Каждой собственной форме соответствует определенное значение частоты 
- так называемая собственная частота. Отбор собственных частот и соответствующих им собственных форм осуществляется с помощью уравнения собственных форм и краевых условий задачи.
Чтобы получить уравнение собственных форм однородной задачи, подставим (10) в (9). После сокращения на 
будем иметь
или
(11)
где
(12)
Уравнение (11) имеет следующие четыре независимых частных решения:
его общий интеграл
(13)
Он содержит четыре произвольные постоянные 
которые должны быть подобраны так, чтобы для функции 
выполнялись краевые условия, т.е. условия закрепления концов стержня. В обычных случаях, число краевых условий равно числу произвольных постоянных – по два на каждом конце. Все они выражаются равенствами нулю двух из следующих четырех величин:
пропорциональных соответственно прогибу, углу поворота, изгибающему моменту и перерезывающей силе в точках 
или 
Выполняя эти условия, мы получим четыре однородных уравнения, из которых найдутся отношения постоянных 
и уравнения для определения собственных частот системы.
Во многих отношениях более удобной оказывается следующая система частных решений уравнения (11):
(14)
Функции 
называют функциями А. Н. Крылова. Найдем значение этих функций и их производных по аргументу 
до третьего порядка включительно при 
(15)
Определитель, составленный из этих величин, равен единице. Поэтому функции Крылова называют иногда функциями с единичной матрицей, а систему (14) – нормальной или фундаментальной системой интегралов уравнений (11).
Приведем выражения последовательных производных по от функций 
до четвертого порядка включительно.
| Первая производная | Вторая производная | Третья производная | Четвертая производная | |
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
| 
|
(16)
Одним из преимуществ функций Крылова является то, что с помощью этих функций можно сразу написать выражение общего интеграла уравнения (11), удовлетворяющего условиям на конце 
и содержащего только две постоянные, которые определяются из условий на другом конце 
Колебания стержня со свободными концами (балка, плавающая в жидкости одинаковой с ней плотности; плавающее судно). Краевые в этом случае имеют вид
(23)
а интеграл, удовлетворяющий условиям на конце 
На конце 
откуда
или 
Уравнение частот не отличается от уравнения (22) для стержня с закрепленными концами. Разыскивая периодическое решение уравнения (8) в форме
мы не получим никаких других возможных в данном случае непериодических решений. Между тем очевидно, что уравнению (8) при тех же краевых условиях (23) удовлетворяют функции
(24)
Первая определяет поступательное перемещение, одинаковое для всех точек стержня; вторая – вращательное вокруг некоторой оси, положение которой находится из начальных условий. Первая частота колебаний стержня со свободными концами соответствует значению 
Подставив это значение в уравнение форм колебаний
приведем его к виду
.
На протяжении от 0 до 
функция 
дважды меняет знак. Таким образом, форма колебаний, соответствующая первой отличной от нуля частоте, имеет два узла. Согласно теореме об узлах собственных форм, таким количеством узлов может обладать третья форма колебаний. Это видимое противоречие легко устраняется, по крайней мере формально, если за первую и вторую формы считать выражение (24), соответствующее поступательному и вращательному перемещениям стержня. Тем не менее, первой формой колебаний в рассматриваемом случае называется двух узловая форма, соответствующая частоте
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 632; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!