Показательная форма комплексного числа

.

 

1.2. Действия над комплексными числами

 

Сложение и вычитание.

 

Умножение.

 

В тригонометрической форме:

,

В случае комплексно – сопряженных чисел:

В показательной форме:

 

Деление.

 

В тригонометрической форме:

В показательной форме:

Возведение в степень.

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

.

В общем случае получим:

,

где n – целое положительное число.

Это выражение называется формулой Муавра.

(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)

Извлечение корня из комплексного числа.

Возводя в степень, получим:

Отсюда:

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

 

2. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО АРГУМЕНТА

 

Однозначная функция комплексной переменной  – это правило, по которому каждому комплексному значению независимой переменной z (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции w. В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении.

Функция комплексной переменной  зависит от переменных x и y, которые принимают «обычные» значения.

Функцию комплексной переменной можно записать в виде: , где  и  – две функции двух действительных переменных.

Функция  называется действительной частью функции w. Функция называется мнимой частью функции w.

То есть, функция комплексной переменной  зависит от двух действительных функций  и .

 

2.1. Основные элементарные функции комплексного переменного

 

1. Показательная функция  определяется для любого z=x+iy соотношением

.                      (2.1)

Показательная функция  обладает следующими свойствами:

а) , где z₁ и z₂ _- любые комплексные величины;

б) , т. е.  является периодической функцией с периодом .

2. Тригонометрические функции sin z и cos z в комплексной плоскости выражаются через показательную функцию. Для функций комплексного переменного справедливы формулы Эйлера:

, ,

откуда

, .                    (2.2)

Функции tg z и ctg z определяются равенствами

,    .        (2.3)

Для тригонометрических функций остаются в силе все формулы тригонометрии.

3. Гиперболические функции sh z, ch z, th z, cth z в комплексной плоскости определяются равенствами

, ,                      (2.4)

, .            (2.5)

4. Тригонометрические и гиперболические функции связаны следующими соотношениями:

;    ;

; ;

; ;

;     .

 

5. Логарифмическая функция Ln z, где , определяется как функция, обратная к показательной, причем

,    (2.6)

где Arg z - аргумент комплексного числа z,

arg z - главное значение Arg z.

Эта функция является многозначной. Главным значением Ln z называется то значение, которое получается при k = 0; оно обозначается ln z:

.                                   (2.7)

Очевидно, что

,                  (2.8)

Справедливы следующие соотношения:

, .

6. Обратные тригонометрические функции Arcsin z, Arccos z, Arctg z, Arcctg z определяются как функции, обратные соответственно к функциям sinω, cosω, tgω, ctg ω.

Например, если z = cosω, то ω называется арккосинусом числа z и обозначается ω = Arccos z.

Все эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмические функции:

;                           (2.9)

                                 ;                          (2.10)

;                                    (2.11)

.                                    (2.12)

Главные значения обратных тригонометрических функций arcsin z, arccosz, arctg z, arcctg z получаются, если брать главные значения соответствующих логарифмических функций.

7. Общая степенная функция , где  - любое комплексное число, определяется равенством

.                                    (2.13)

Эта функция многозначная, ее главное значение равно

.

8. Общая показательная функция  (  - любое комплексное число) определяется равенством

.                                    (2.14)

Главное значение этой многозначной функции .

 

2.2. Дифференцирование функции комплексного переменного.

Условия Коши-Римана

 

Пусть однозначная функция f(z) определена и конечна в некоторой окрестности точки z комплексной плоскости, включая и саму точку z.

Функция f(z) называется дифференцируемой в точке z, если существует конечный предел отношения

.         (2.15)

Этот предел называется производной функции f(z) в точке z.

Условие дифференцируемости функции  в терминах действительных функций  и  выражает следующая теорема.

Теорема. Для того, чтобы функция  была дифференцируема в точке z = x + iy, необходимо и достаточно, чтобы функции  и  были дифференцируемы в этой точке и удовлетворяли в ней условиям Коши-Римана:

; .                                   (2.16)

С учетом условий (2.16) производную функции f(z) можно представить в следующих равносильных формах:

  (2.17)

Так как обычные свойства алгебраических действий и предельного перехода сохраняются при переходе к функциям комплексного переменного, то сохраняются и обычные правила дифференцирования:

,   ,

, , .

В последней формуле f и φ обозначают взаимно обратные функции, осуществляющие однолистные отображения соответственно точек z и .

Функция  называется аналитической в данной точке z ∈ D, если она дифференцируема как в самой точке z, так и в некоторой ее окрестности.

Функция f(z) называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Производные элементарных функций , , , , , , , , , ,  находятся по тем же формулам, что и для действительного аргумента:

,               ,

,                   ,

,         ,

,                 ,

Если для функции  в области D функции  и  непрерывны, то выполнение условий (2.16) достаточно для того, чтобы данная функция была аналитической в этой области, причем в любой точке z∈D производная аналитической функции может быть найдена по правилам дифференцирования функции действительной переменной.

 

3. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСОНОГО ПЕРЕМЕННОГО»

 

Задание №1. Даны два комплексных числа, записанных в алгебраической форме z₁ = 5 + 2 i и z₂ = 3 – 4 i. Найти:

а) z₁+ z₂;  б) z₁– z₂

в) z₁ × z₂;   г) z₁: z₂,

Решение:

а) z₁+ z₂ = (5 + 2 i) +(3 – 4 i) = 8 – 2 i

б) z₁– z₂= (5 + 2 i) – (3 – 4 i) = 2 +6 i

в) z₁ × z₂ = (5 + 2 i) +(3 – 4 i) = 15 – 20 i + 6 i – 8 i².

Учитывая, что i²= – 1, получим z₁ × z₂ = 23 – 14 i

г) = . Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю комплексное число (3 + 4 i), получим:

 = =  = 0.28 + 1.04i.

Задание №2. Записать число  в алгебраической форме.

Решение:

Воспользуемся тем, что

i^4×k = 1               i^{4×k +1}= i

i^{4×k +2}= i²= –1             i^{4×k +3}= i³ = – i, тогда

i ³⁴ = i^{4×8 +2} = i² = –1,

i ⁵³ = i^{4×13 +1} = i,

i⁷⁶ = i^4×19 = 1, поэтому заданное число z принимает вид:

.

Аналогично заданию 1(г) умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю комплексное число

(–4– 5 i), получим:

z = = =  – i.

 

Задание №3. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

а) z = – 5 + 5 i           б) z = 3 i

Решение:

а) Найдем модуль комплексного числа z:

r = ïz ç= =  = 5 .

Из соотношений cosj =  и sinj = , получаем аргумент числа z (берем главное значение аргумента): j = . Тогда    z = 5 (cos  + +i sin ) – тригонометрическая форма комплексного числа. Запишем показательную форму комплексного числа: z = 5 .

 

б) Аналогично, модуль комплексного числа z:

r = ïz ç= = 3, cosj =  = 0 и sinj =  = 1, получаем Arg z= j = , т.е. z = 3 (cos  +i sin ) – тригонометрическая форма комплексного числа и z = 3  – показательная форма комплексного числа.

Задание №4. Даны два числа  z₁ = 5 (cos  + i sin ).

и z₂= 3 (cos  + i sin ), записанные в тригонометрической форме. Найти: а) z₁× z₂;              б) ;    в) z₁⁷;     г) .

Решение:

а) Так как при умножении комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются, получаем:

z₁× z₂ = 5×3× =15 .

 

б) При нахождении частного двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме модуль полученного числа равен частному модулей этих чисел, а аргумент равен разности их аргументов.

 = = .

 

в) Для возведения числа z₁ в седьмую (натуральную) степень, применим формулу Муавра:

[r (cosj + i sinj)]ⁿ = rⁿ (cosnj + i sinnj).

Получим:

z₁⁷= = 5⁷ .

г) Для извлечения корня из комплексного числа используем формулу:

, где k = 0, 1,…,(n – 1).

Далее при k = n, п + 1,… значения будут повторяться. Таким образом, корень п-ой степени из комплексного числа (не равного нулю) имеет п различных значений.

Имеем:

= , где k = 0, 1, 2 и 3.

Откуда получаем четыре значения корня:

при k = 0 получаем ,

при k = 1 получаем ,

при k = 2 получаем ,

при k = 3 получаем .

На комплексной плоскости найденные значения корня представляют равноотстоящие друг от друга точки, расположенные на окружности радиуса , т.е. соответствуют вершинам правильного четырехугольника (квадрата) вписанного в окружность радиуса  с центром в начале координат.

 

Задание №5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих отношениям:

Решение:

Поскольку z = х + у i, тогда условие 2 £ Im z < 4, эквивалентно неравенству 2 £ у < 4 и задает бесконечную горизонтальную полосу между прямыми у = 2 и у = 4, включая нижнюю прямую у = 2 (Рис. 2.1).

Условие çz – (2 + i)ï£ 3 задает круг с центром в точке (2; 1) и радиусом равным 3, включая ограничивающую его окружность (Рис. 2.2).

 

                 

 

Рис. 2.1.                                           Рис. 2.2.

 

Тогда получаем множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным отношениям (Рис. 2.3).

Рис. 2.3.

 

Задание №6. Для функции f(z)= (`z )² найти действительную Re(f(z)) и мнимую Im(f(z)) части.

Решение:

Полагая z = х + у i, получим `z = х – у i, тогда

f(z)= (`z )² =(х – у i)² = х² –2 х у i + (у i)² = (х²– у²) + (– 2 х у) i,

откуда имеем: Re(f(z)) = (х²– у²) и Im(f(z)) = – 2 х у.

 

Задание №7. Показать, что функция f(z) = z² + z i является аналитической. Найти производную этой функции.

Решение:

Напомним определение аналитической функции:

Определение. Функция f(z) называется аналитической (иначе, регулярной или голоморфной) в области D, если она однозначно определена и дифференцируема в каждой точке этой области.

Таким образом, для выяснения аналитичности функции необходимо проверить выполнение условий Коши-Римана (условия дифференцируемости функции):  и , где и(х, у) – действительная часть функции комплексного переменного и v(х, у) – мнимая.

Функция f(z) = z² + z i, всюду определенная на комплексной плоскости и т.к. z = х + у i, получаем:

f(z) = z² + z i = (х + у i)² + (х + у i)×i = (х² – у² – у) + (2х у +х) i, т.е.

и(х, у) = х² – у² – у               v(х, у) = 2х у +х.

Найдем частные производные действительных функций и(х, у) и v(х, у): = 2х и  = – 2у – 1, т.е. условия Коши-Римана для функции f(z) = z² + z i выполняются во всех точках комплексной плоскости, в силу чего она дифференцируема, а значит и аналитична во всей плоскости.

Найдем производную этой функции, применяя одно из следующих соотношений:

f¢(z) = =  = = ,

получаем: f¢(z) = 2х + (2у+ 1) i = 2(х + у i) +i = 2 z + i., таким образом: (z² + z i)¢ = 2 z + i.

 

Задание №8. Вычислить интеграл , где АВ – отрезок А(0, 0) и В(1, 4).

Решение:

Запишем параметрическое уравнения отрезка прямой, соединяющей точки А(0, 0) и В(1, 4):

,

тогда z = х + у i = (1 + 4i)×t, где параметр t изменяющийся от 0 до 1.

Для вычисления интеграла воспользуемся формулой:

, получим:

 =  =

=

= (1 + 4i)× =1.5 + 6 i.

Задание №9. Вычислить интеграл I =  по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши, если g: ïz – 2ç= 1.5.

Решение:

Функция f(z) =  аналитична в круге g:ïz – 2 ç= 1.5, поэтому, применяя формулу Коши, находим:

= = f (3) = .

 

Задание №10. Разложить функцию f(z) =  в ряд Лорана в кольце 1<½z½< 3.

Решение:

Представим функцию f(z) в виде суммы простейших алгебраических дробей:

f(z) = =  = =

= , откуда имеем систему

, решая которую, получаем А= –  и В = , а тогда f(z) = = – × + × . Принимая во внимание, что 1<½z½< 3, преобразуем f(z) = – × – × .

Следовательно, f(z) = – ×

 

Задание №11. Охарактеризовать особую точку для указанной функции:

а) f(z) =                    б) f(z) = .

Решение:

а) Точка z₀ = 1 является особой для данной функции. Воспользуемся разложением функции sin(z –1) в ряд:

sin(z–1) = (z–1) – + – +…, тогда

f(z) =  = – + – + …

Т.к. разложение в ряд Лорана содержит в своей главной части лишь конечное число членов , то z₀ – полюс кратности т, а в нашем случае т = 1, следовательно, z₀ = 1 является простым полюсом.

 

б) Точка z₀ = 0 является особой для данной функции. Воспользуемся разложением функции e ^t в ряд:

e^t = 1+ t +  +  + …, тогда

 = z² +  + + …

и f(z) =  = +  + + …, таким образом, разложение в ряд Лорана не содержит главной части, т.е. точка z₀ = 0 является устранимой особой точкой.

 

Задание №12. Найти все вычеты для данных функции.

f(z) = .

Решение:

Определим особые точки функции f(z) и типы полюсов в этих точках. У функции f(z) три особые точки: z₀ = 3i, z₁ = 2i, z₂ = 5. Точки z₀ и z₁ являются простыми полюсами, точка z₂ является полюсом кратности 2. Найдем вычеты в этих точках:

 

Задание №13. Вычислить интеграл, применяя вычеты,

.

Решение:

= 2pi×

Найдем особые точки, попадающие в круг │z +3│=4: z₁=2i, z₂= –2i и z₃=5.

= 2pi× =

.

4. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

Вариант 1.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = 1 – 2 i, z₂ = 2 +3 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = 4 – 4 i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 2 (cos  + i sin ); z₂ = 3 (cos  + i sin ); m = 3;    n = 5.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданной функции

f(z): f(z) = cos (1 + 2z).

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = .

8. Вычислить интеграл .

,          где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 2).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =                    g: ïz ç= 5.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =                  ÷ z÷ < .

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 2.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = – 4 – i, z₂ = 3 + 2 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = – 2– 2 i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 4 (cos  + i sin ); z₂ = 5 (cos  + i sin ); m = 5;    n = 4.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = z² + z.

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = sin (z³ +i).

8. Вычислить интеграл .

           где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 3).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =                   g: ïz – i ç= 5.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =                 1<÷ z÷ <2.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 3.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = 2 + 5 i, z₂ = – 1 – 4 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = – 1 + i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = (cos  + i sin );    z₂ = 2 (cos  + i sin ); m = 4;    n = 4.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = .

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = cos (z²+ +1).

8. Вычислить интеграл .

  где АВ – часть кривой у = х² от А(0, 0) до В (2, 4).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =             g: ïz – 1 ç= 2.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =                       1<÷ z÷<3.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 4.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = – 2 +3 i, z₂ = 3 + 5 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = 3 + 3 i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 3 (cos  + i sin ); z₂ = 2 (cos  + i sin ); m = 6;    n = 4.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = .

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = z³ + 2 z.

8. Вычислить интеграл .

           где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 2).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =                     g: ïz – 3 ç= 4.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =            2<÷ z÷<5.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 5.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = 5 – 4 i, z₂ = 6 + 4 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = – 5 + 5 i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ =5 (cos  + i sin );  z₂ = 6 (cos  + i sin ); m = 10;  n = 5.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = sin (`z + 1).

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = .

8. Вычислить интеграл .

           где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 1).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =                       g: ïz ç= 4.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =            4<÷ z÷<7.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 6.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = – 1 – 6 i, z₂ = 2 – 7 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z =  – i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 7 (cos  + i sin ); z₂ = 3 (cos  + i sin ); m = 5;    n = 6.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = z + (`z )².

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = (i z)³.

8. Вычислить интеграл .

   где АВ – часть кривой у = х²от А(0, 0) до В(1, 1).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =             g: ïz ç= 7.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =                2<÷ z – 4÷<3.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 7.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = 3 + 4 i, z₂ = – 4 + i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = – 2 – 2 i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 2 (cos  + i sin ); z₂ = 3 (cos  + i sin ); m = 8;    n = 6.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = (`z )³.

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = 4z³ – z.

8. Вычислить интеграл .

          где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 2).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =                     g: ïz – 1 ç= 3.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =                       ÷ z÷ > 3.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 8.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = –7 – 3 i, z₂ = – 2 + 3 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = 2  + 2 i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 3 (cos  + i sin ); z₂ = 8 (cos  + i sin ); m = 9;    n = 6.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = z³ + 2.

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = z⁴ + iz.

8. Вычислить интеграл .

где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 2).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =                        g: ïz ç= 5.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =       ÷ z÷ > .

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 9.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = – 1 + 2 i, z₂ = 3 + 5 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = – 3  – 3 i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 4 (cos  + i sin ); z₂ = 3 (cos  + i sin ); m = 5;    n = 4.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = .

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = z× .

8. Вычислить интеграл .

           где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 3).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =              g: ïz – 2ç= 1.5.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =       ÷ z + 1÷ > 2.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 10.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = 5 – 2 i, z₂ = 2 + 4 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = – 5 + 5 i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 5 (cos  + i sin ); z₂ = (cos  + i sin ); m = 8;    n = 4.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = sin (i z²).

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = z⁴ + 5z – iz.

8. Вычислить интеграл .

             где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 2).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =                       g: ïz ç= 3.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =        ÷ z + 5÷ > 2.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 11.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = 1 – 2 i, z₂ = 2 +3 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = 2.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 2 (cos  + i sin ); z₂ = 3 (cos  + i sin ); m = 5;    n = 3.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданной функции

f(z): f(z) = cos (1 + 2z).

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = .

8. Вычислить интеграл .

,          где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 2).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =                    g: ïz ç= 5.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =                  ÷ z÷ < .

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 12.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = – 4 – i, z₂ = 3 + 2 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = – 4 i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 4 (cos  + i sin ); z₂ = 5 (cos  + i sin ); m = 4;    n = 5.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = z² + z.

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = sin (z³ +i).

8. Вычислить интеграл .

           где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 3).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =                   g: ïz – i ç= 5.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =                 1<÷ z÷ <2.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 13.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = 2 + 5 i, z₂ = – 1 – 4 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = – 3.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = (cos  + i sin );    z₂ = 2 (cos  + i sin ); m = 4;    n = 4.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = .

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = cos (z²+ +1).

8. Вычислить интеграл .

  где АВ – часть кривой у = х² от А(0, 0) до В (2, 4).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =             g: ïz – 1 ç= 2.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =                       1<÷ z÷<3.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 14.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = – 2 +3 i, z₂ = 3 + 5 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = 5 i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 3 (cos  + i sin ); z₂ = 2 (cos  + i sin ); m = 5;    n = 2.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = .

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = z³ + 2 z.

8. Вычислить интеграл .

           где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 2).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =                     g: ïz – 3 ç= 4.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =            2<÷ z÷<5.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 15.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = 5 – 4 i, z₂ = 6 + 4 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = 7.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ =5 (cos  + i sin );  z₂ = 6 (cos  + i sin ); m = 10;  n = 2.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = sin (`z + 1).

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = .

8. Вычислить интеграл .

           где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 1).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =                       g: ïz ç= 4.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =            4<÷ z÷<7.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 16.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = – 1 – 6 i, z₂ = 2 – 7 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = – 2 i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 7 (cos  + i sin ); z₂ = 3 (cos  + i sin ); m = 5;    n = 2.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = z + (`z )².

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = (i z)³.

8. Вычислить интеграл .

   где АВ – часть кривой у = х²от А(0, 0) до В(1, 1).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =             g: ïz ç= 7.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =                2<÷ z – 4÷<3.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 17.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = 3 + 4 i, z₂ = – 4 + i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z =6 i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 2 (cos  + i sin ); z₂ = 3 (cos  + i sin ); m = 8;    n = 3.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = (`z )³.

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = 4z³ – z.

8. Вычислить интеграл .

          где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 2).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =                     g: ïz – 1 ç= 3.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =                       ÷ z÷ > 3.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 18.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = –7 – 3 i, z₂ = – 2 + 3 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = 4.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 3 (cos  + i sin ); z₂ = 8 (cos  + i sin ); m = 9;    n = 3.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = z³ + 2.

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = z⁴ + iz.

8. Вычислить интеграл .

где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 2).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =                        g: ïz ç= 5.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =       ÷ z÷ > .

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 19.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = – 1 + 2 i, z₂ = 3 + 5 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 4 (cos  + i sin ); z₂ = 3 (cos  + i sin ); m = 5;    n = 2.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = .

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = z× .

8. Вычислить интеграл .

           где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 3).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =              g: ïz – 2ç= 1.5.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =       ÷ z + 1÷ > 2.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 20.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = 5 – 2 i, z₂ = 2 + 4 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = – 6.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 5 (cos  + i sin ); z₂ = (cos  + i sin ); m = 9;    n = 2.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = sin (i z²).

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = z⁴ + 5z – iz.

8. Вычислить интеграл .

             где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 2).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =                       g: ïz ç= 3.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =        ÷ z + 5÷ > 2.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 21.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = 1 – 2 I, z₂ = 2 +3 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = 2i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 2 (cos  + i sin ); z₂ = 3 (cos  + i sin ); m = 3;    n = 2.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданной функции

f(z): f(z) = cos (1 + 2z).

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = .

8. Вычислить интеграл .

,          где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 2).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =                    g: ïz ç= 5.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =                  ÷ z÷ < .

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 22.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = – 4 – i, z₂ = 3 + 2 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = – 4 i+4.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 4 (cos  + i sin ); z₂ = 5 (cos  + i sin ); m = 6;    n = 2.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = z² + z.

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = sin (z³ +i).

8. Вычислить интеграл .

           где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 3).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =                   g: ïz – i ç= 5.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =                 1<÷ z÷ <2.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 23.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = 2 + 5 i, z₂ = – 1 – 4 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = – 3+3i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = (cos  + i sin );    z₂ = 2 (cos  + i sin ); m = 8;    n = 3.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = .

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = cos (z²+ +1).

8. Вычислить интеграл .

  где АВ – часть кривой у = х² от А(0, 0) до В (2, 4).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =             g: ïz – 1 ç= 2.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =                       1<÷ z÷<3.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 24.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = – 2 +3 i, z₂ = 3 + 5 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = 5+5 i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 3 (cos  + i sin ); z₂ = 2 (cos  + i sin ); m = 14;  n = 2.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = .

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = z³ + 2 z.

8. Вычислить интеграл .

           где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 2).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =                     g: ïz – 3 ç= 4.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =            2<÷ z÷<5.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 25.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = 5 – 4 i, z₂ = 6 + 4 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = 7 + 7i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ =5 (cos  + i sin );  z₂ = 6 (cos  + i sin ); m = 8;    n = 3.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = sin (`z + 1).

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = .

8. Вычислить интеграл .

           где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 1).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =                       g: ïz ç= 4.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =            4<÷ z÷<7.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 26.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = – 1 – 6 i, z₂ = 2 – 7 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = – 2 – 2 i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 7 (cos  + i sin ); z₂ = 3 (cos  + i sin ); m = 16;  n = 2.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = z + (`z )².

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = (i z)³.

8. Вычислить интеграл .

   где АВ – часть кривой у = х²от А(0, 0) до В(1, 1).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =             g: ïz ç= 7.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =                2<÷ z – 4÷<3.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 27.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = 3 + 4 i, z₂ = – 4 + i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z =6 – 6 i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 2 (cos  + i sin ); z₂ = 3 (cos  + i sin ); m = 8;    n = 2.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = (`z )³.

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = 4z³ – z.

8. Вычислить интеграл .

          где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 2).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =                     g: ïz – 1 ç= 3.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =                       ÷ z÷ > 3.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 28.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = –7 – 3 i, z₂ = – 2 + 3 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = 4 + 4i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 3 (cos  + i sin ); z₂ = 8 (cos  + i sin ); m = 10;  n = 3.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = z³ + 2.

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = z⁴ + iz.

8. Вычислить интеграл .

где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 2).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =                        g: ïz ç= 5.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =       ÷ z÷ > .

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 29.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = – 1 + 2 i, z₂ = 3 + 5 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 4 (cos  + i sin ); z₂ = 3 (cos  + i sin ); m = 16;  n = 2.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = .

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = z× .

8. Вычислить интеграл .

           где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 3).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =              g: ïz – 2ç= 1.5.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =       ÷ z + 1÷ > 2.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

Вариант 30.

 

1. Даны два числа z₁и z₂, записанные в алгебраической форме.

Найти: а) z₁+ z₂; б) z₁– z₂; в) z₁ × z₂; г) , если z₁ = 5 – 2 i, z₂ = 2 + 4 i.

2. Записать число z в алгебраической форме: .

3. Представить число в тригонометрической и показательной формах:

z = – 6 + 6 i.

4. Даны два числа z₁и z₂, записанные в тригонометрической форме. Найти z₁^m; , где:

z₁ = 5 (cos  + i sin ); z₂ = (cos  + i sin ); m = 9;    n = 3.

5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих указанным отношениям:

6. Найти Re(f(z)) и Im(f(z)) для заданных функций f(z):

f(z) = sin (i z²).

7. Показать, что данная функция является аналитической. Найти производную этой функции:

f(z) = z⁴ + 5z – iz.

8. Вычислить интеграл .

             где АВ – отрезок А(0, 0) и В (1, 2).

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру g, пробегаемому против часовой стрелки, применяя интегральные формулы Коши:

I =                       g: ïz ç= 3.

10. Разложить функцию в ряд Лорана в данной области:

f(z) =        ÷ z + 5÷ > 2.

11. Охарактеризовать особую точку данной функции: f(z) = .

12. Найти все вычеты для данной функции:

f(z) = .

13. Вычислить интеграл:

.

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2. М.: Оникс 21 век, Мир и Образование, 2007. 304 c.

2. Ильина И.В. Теория функции комплексного переменного. Операционное исчисление. / И.В. Ильина, А.А. Чермошенцева. Петропавловск-Камчатский: КамчатГТУ, 2006.

3. Пантелеев А.В., Якимова А.С. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах. М.: ысш. шк., 2007. 445 с.

 

 

Обухова Галина Александровна

 

ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

 

 

Методическое пособие для самостоятельной работы студентов направления «Электроэнергетика и электротехника» заочной формы обучения

 

 

Редактор Е.Ф. Изотова

 

Подписано к печати __.__.__. Формат 60х84/16.

Усл. печ. л. 3. Тираж 50 экз. Зак.______ Рег. № ___.

 

Отпечатано в ИТО Рубцовского индустриального института

658207, Рубцовск, ул. Тракторная, 2/6.

 

---

Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 440; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!