Практ. зан. № 13 Тема 12 Определенный интеграл. Свойства . Формула Ньютона-Лейбница



   1. А3[10] 2232, 2251, 2261, 2280, 2285

2. Образцы решения задач

2.1. Вычислить интеграл .                                                                                                                                                                                                                                                  

Решение. .

2.2. Вычислить интеграл .

Решение.

.

2.3. Вычислить интеграл .

Решение.

.

 

2.4. Вычислить интеграл .

Решение. Положим . Если  меняется от 0 до 1, то переменная  меняется от 0 до . На отрезке  функция  монотонна, непрерывна и имеет непрерывную производную. Применяя правило замены переменной в определенном интеграле, получим

.

2.5. Вычислить интеграл .

Решение. Положим , , тогда , . Тогда, применяя формулу интегрирования по частям, получим

                       (*)

Последний интеграл еще раз проинтегрируем по частям, положив , , , .

.

Возвращаясь к равенству (*), имеем

,

и, перенося интеграл в левую часть равенства, получим

, откуда .

3. Д3[10]  2233, 2245, 2264, 2279, 2286

 

Практ. зан. № 14 Тема 13 Приложение определенного интеграла.

 

1. А3 [10] 267, 2490, 2521, 2568, 2605, 2682

2. Образцы решения задач

2.1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой  и прямой .

Решение. Рассмотрим уравнение параболы:

.

Отсюда видно, что парабола симметрична относительно прямой , ветвями направлена вниз и вершина ее лежит в точке (1,1).

Вычертим данную параболу и прямую.

 

 


                                                     

Совместным решением уравнений параболы и прямой определим абсциссы точек  и . Имеем

. Тогда

 (кв.ед.).

Найти площадь фигуры, ограниченную первой аркой циклоиды

и отрезком оси абсцисс.

Решение. Начертим данную кривую

 

Точки  и  соответствуют значениям параметра  и . Вычислим площадь фигуры:

(кв.ед.)

2.3. Вычислить площадь, ограниченную кривой  (лемниската Бернулли).

Решение. Опишем кривую. Имеем  при , т.е. кривая проходит через полюс. Из уравнения кривой видно, что полярный радиус  принимает вещественные значения, когда . Тогда

, . При  и  имеем

, , откуда , .

Период функции  равен , поэтому при замене  на  полярный радиус  не изменяется, т.е. кривая симметрична относительно полюса . Кривая так же симметрична относительно полярной оси , т.к. для значений , отличающихся знаком,  не изменяется. Начертим кривую.

 

Учитывая симметрию, вычислим площадь фигуры, расположенной в первой четверти, т.е. .

 (кв.ед.).

2.4. Вычислить длину дуги кривой  от начала координат до точки .

Решение. Из уравнения кривой находим: . Тогда длина дуги кривой равна:

.

2.5. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды , .(рис.1)

Решение.

 

 

Параметр  изменяется от 0 до , так как точка описывает одну арку циклоиды при одном обороте круга. Из уравнения циклоиды находим

 

, ,

.

 

Тогда

.

 

2.6. Вычислить длину кардиоиды .

Решение. Так как кривая симметрична относительно полярной оси, то

при изменении  от 0 до  полярный радиус  опишет половину кривой.

 

 

 


Вычислим . Тогда длина кардиоиды равна

 

.

2.7. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси  одной арки циклоиды

, .

            Решение. Первой арке циклоида соответствует изменение параметра  от  до . Тогда

 

2.8. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 8 см., если известно, что для удлинения ее на 1см. необходимо приложить силу в 1кH.

Решение. Согласно закону Бука, сила , растягивающая пружину, пропорциональна ее растяжению, т.е.  где растяжение пружины (в метрах); коэффициент пропорциональности. Так как по условию при  сил , то из равенства  получаем  и  Следовательно, искомая работа

ж.

 

2.9. Вычислить координаты центра масс однородной плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение. Из однородности и симметричности данной фигуры следует, что . Для определения  воспользуемся формулами:

                                         (1)

                                    (2)

где поверхностная плотность фигуры.

 

3.Д3 [10] 2455, 2491, 2522, 2572, 2606, 2683

 


Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 96;