Кредит-3. Интегральное исчисление функций одной переменной

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 8Следующая ⇒

Практ. зан. № 11. Тема 10 Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Метод подстановки. Интегрирование по частям.

1. А3 [10] № 1676,16,85, 1686, 1687, 1693, 1706, 1721, 1698, 1699, 1771, 1773,1774,1842, 1838, 1847, 1850, 1860

2. Образцы решения задач

2.1. Вычислить интеграл

Решение. Представляя интеграл алгебраической суммы в виде суммы интегралов, вынося постоянные множители за знаки интегралов и применяя формулы 1,2 таблицы основных интегралов, получим

Здесь и далее произвольные постоянные, входящие в каждый из складываемых неопределенных интегралов, объединяются в одну произвольную постоянную.

2.2. Вычислить интеграл

Решение. Заменим единицу в числителе подинтегральной функции выражением и применим формулы 7 и 8 таблицы интегралов

2.3. Вычислить интеграл

Решение. Воспользуемся табличным интегралом

полагая , тогда

2.4. Вычислить интеграл

2.5. Решение. Полагаем , внесем функцию под знак дифференциала, получим:

2.5. Вычислить интеграл .

Решение. Внесем функцию под знак дифференциала, т.е. , обозначим , тогда

2.6. Вычислить интеграл .

Решение. Полагаем , , тогда

; .Полагаем , так как достаточно иметь какую – либо одну первообразную. Итак, . Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

3. Д3 [10] № 1678, 1689, 1696, 1701, 1772, 1747, 1749, 1753, 1764, 1776, 1833, 1839, 1848, 1851

Практ. зан. № 12 Тема 11 Методы интегрирование некоторых классов функции.

1. А3 [10] 1800, 1796, 1805, 1940, 1943, 1952, 1944, 1950,2014,2068,1808,

2. Образцы решения задачи

2.1. Вычислить интеграл .

Решение. Рассмотрим трехчлен знаменателя:

Тогда

2.2. Вычислить интеграл .

Решение. Выделим полный квадрат из трехчлена:

Тогда

2.3. Вычислить интеграл .

Решение. Вычислим производную знаменателя: . Выделим двучлен .

2.4. Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь, поэтому выделим ее целую часть делением числителя на знаменатель

Следовательно,

Полученную справа правильную дробь разложим на простые дроби и учитывая, что , получим

. (5.1)

Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая числители, получим тождество

(5.2)

Рассмотрим два способа нахождения неизвестных коэффициентов.

Первый способ. Метод частных значений.

Аргументу придают удобные значения (таковыми являются значения корней) и подставляют их в тождество (5.2). Отмечая за чертой слева значения, придаваемые аргументу , получим:

Второй способ. Метод неопределенных коэффициентов.

Коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях тождества (5.2) должны быть равны. Отметим слева за чертой при каких степенях сравниваются коэффициенты, тогда