Практ. зан № 9 Тема 8 Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций. Формула и ряд Тейлора



1. АЗ: [11], №№ 5.316, 5.322, 5.329, 5.331, 5.337, 5.339, 5.346, 5.349, 5.364, 5.380, 5.382, 5.394.

2. Образцы решения задач

2.1  Найти

Решение.

2.2 Найти  если

Решение .

Сравнить приращение и дифференциал функции

Решение. Найдем


Разность между приращением  и дифференциалом  есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с  равная

2.4 Вычислить приближенное значение

 

Решение.Полагаем

Применим формулу

2.5 Найти дифференциал второго порядка функции  .

Решение: Имеем , . Тогда .

2.6 Найти .   

Решение.Имеем , , ,

. Производные  и  существуют и конечны в окрестности точки , причем . Выполнены условия правила Лопиталя, применяя его, получим: .

2.7 Найти .

Решение.Это неопределенность вида . Положим .

Тогда .

Рассмотрим

.

Следовательно,

3. ДЗ: [11], №№ 5.317, 5.323, 5.332, 5.338, 5.347, 5.365, 5.381, 5.383, 5.395.

 

Практ. зан. № 10. Тема 9 Раскрытие неопределенностей. Исследование поведения функций и их графиков. Приложения дифференциального исчисления к геометрии.

1. АЗ: [11], №№ 5.404, 5.413, 5.415, 5.440, 5.442, 5.452, 5.453, 5.461, 5.463.

        [14], №№ АЗ- 6.10

2. Образцы решения задач

2.1 Найти интервалы возрастания и убывания функции . Исследовать функцию на экстремум.

Решение.Найдем производную  и стационарные точки, решая уравнения . Определим знак производной  в окрестности точки :   при  и  при . Следовательно, в точке  функция имеет минимум . Функция возрастает на интервале ; убывает на интервале .

2.2 Исследовать на экстремум функцию . Найти интервалы возрастания и убывания.

Решение.Вычислим . Найдем стационарную точку .                                                                 

 

 


Функция убывает при ; возрастает при .

2.3 Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .

Решение.Найдем производную:

.

Критическая точка . Вычислим значения функции:

.

Итак, наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее равно 8.    

2.4 Найти точки перегиба кривой .  

Решение. Находим , . Критическая точка второго рода: .

Определим знак  в окрестности .

 

 

    

 

Следовательно, точка , т.е. (5,2) – точка перегиба.

2.5 Найти асимптоты кривой .

Решение.Функция определена в интервалах . Имеем , следовательно  - вертикальная асимптота. Горизонтальных асимптот нет, так как предел  не является конечной величиной. Находим:

.

.

Итак, наклонные асимптоты: , т.е.   и .

2.6 Исследовать и построить график функции

Решение.

1)

2) , т.е. функции нечетная.

Поэтому график функции симметричен относительно начала координат. Следовательно, исследования проведем для .  

Затем воспользуемся симметрией.

3) - точка пересечения с осями координат.

4) Найдем .   

Решим уравнение . Исследуем только точку . Определим знак производной в окрестности этой точки.     

                                       

                                                          

 

Следовательно, ; функция возрастает при  и убывает при .  

5). Вычислим:

.

Тогда . Определим знак в окрестности точке  и   

                                                          

 

 

Следовательно ), т.е.  – точка перегиба; кривая вогнута при  и выпукла при .

6) Имеем , следовательно,  - вертикальная асимптота.

Вычислим:

, т.е. горизонтальных асимптот нет.

Найдем:

,

.

Итак, , т.е.  наклонная асимптота.

 7). Вычислим:

;

; .

Построим график функции

 

 

 

 

 

 

 

 


3. ДЗ: [11], №№ 5.405, 5.406, 5.412, 5.414, 5.441, 5.454, 5.462.  

         [14], СР, стр. 204-205.


Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 85;