КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО РАЗДЕЛУ «КИНЕМАТИКА»
Задача 2.1
Задача 2.1 посвящена одному из простейших движений твердого тела – вращению твердого тела вокруг неподвижной оси. Исходные данные для различных вариантов приведены в табл. 2.1.
Таблица2.1
| Цифра шифра | 1-я цифра шифра | 2-я цифра шифра | 3-я цифра шифра | ||||||
| t1, с | t2, c | t3, c | h, см | Номер условия | j=j(t), рад | w1, с-1 | w2, с-1 | e, с-2 | |
| 1 | 0,5 | 3 | 1 | 10 | 1 | t3+sin(pt) | – | – | – |
| 2 | 1,0 | 4 | 2 | 15 | 1 | 2t2–cos(pt) | – | – | – |
| 3 | 1,5 | 5 | 3 | 20 | 1 | 3t+sin2(pt/2) | – | – | – |
| 4 | 2,0 | 6 | 4 | 25 | 1 | 4t–cos2(pt/2) | – | – | – |
| 5 | 2,5 | 7 | 5 | 30 | 2 | – | 50 | 65 | – |
| 6 | 0,5 | 3 | 6 | 35 | 2 | – | 55 | 70 | – |
| 7 | 1,0 | 4 | 7 | 40 | 2 | – | 60 | 75 | – |
| 8 | 1,5 | 5 | 8 | 45 | 3 | – | 20 | – | 1,0 |
| 9 | 2,0 | 6 | 9 | 50 | 3 | – | 30 | – | 1,5 |
| 0 | 2,5 | 7 | 10 | 55 | 3 | – | 40 | – | 2,0 |
Условия:
1. По заданному уравнению вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси j= j (t) определить: 1) угловую скорость и угловое ускорение тела в момент времени t1; 2) скорость и ускорение точки тела, отстоящей на расстоянии h от оси в момент t2; 3) число оборотов N тела за время t3.
2. Диск, вращающийся равноускоренно вокруг неподвижной оси, в моменты времениt1и t2имеет угловые скорости w1 и w2 соответственно. Определить:
1) скорость и ускорение точки, отстоящей на расстоянии h от оси, в момент t2; 2) число оборотов N тела за время t3; 3) уравнение вращательного движения диска, если в начальный момент времени t0=0 начальный угол поворота j0=0.
|
|
|
3. Тело, вращаясь равноускоренно с угловым ускорением e, имеет в момент времени t1 угловую скоростьw1. Определить: 1) скорость и ускорение точки тела, отстоящей на расстоянии h от оси в момент t2; 2) число оборотов Nтела за время t3; 3) уравнение вращательного движения тела, если в начальный момент времени t0=0 начальный угол поворота j0=0.
Пример решения задачи 2.1
Условие. Тело, вращаясь равноускоренно с угловым ускорением e=2 рад/с, имеет в момент времени t1=2,5 с угловую скорость w1=40 рад/с. Определить: 1) скорость и ускорение точки тела, отстоящей на расстоянии h=55 см от оси вращения в момент t2=7 с; 2) число оборотов N тела за время t3=10 с; 3) уравнение вращательного движения тела, если в начальный момент времени t0=0 начальный угол поворота j0=0.
Решение. 1. При равноускоренном вращении угловая скорость тела изменяется по закону 
.
Зная значение угловой скорости w1в некоторый момент времени t1 и угловое ускорение e, можно найти начальную угловую скорость w0 (при t0=0):
.
Отсюда угловая скорость тела в момент времени t2=7 с будет равна
Скорость v и ускорение a точки М тела, отстоящей на расстоянии h=55 см от оси вращения, в момент времениt2 = 7 c будут равны:
Направление векторов скорости и ускорений указаны на рис. 2.2.
|
|
|
Число оборотов тела за время t3=10 с определим по соотношению
,
где n (t) – число оборотов тела за секунду в данный момент времени.
В рассматриваемой задаче
об.
Уравнение вращательного движения тела 
получим из соотношения 
, умножив обе его части на дифференциал времени dt: 
. Интегрируя полученное дифференциальное уравнение с учетом начальных условий (t0=0, j0=0):
получим 
Задача2.2
Данная задача относится к сложному движению точки. Для определения абсолютной скорости точки необходимо найти ее относительную и переносную скорости и воспользоваться теоремой параллелограмма скоростей. Исходные данные представлены в табл. 2.2 и на рис. 2.3.
Условие:
Точка М движется по хорде диска (см. рис. 2.3, схемы 1, 3, 4), по диаметру (см. рис. 2.3, схемы 2, 5, 7, 8, 9) или ободу (см. рис. 2.3, схемы 6, 10) согласно закону s=АМ=¦(t). Диск вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О1 и перпендикулярной плоскости диска (см. рис. 2.3, схемы 1, 2, 6, 7, 9), или вокруг оси О1О2, лежащей в плоскостидиска (см. рис. 2.3, схемы 3, 4, 5, 8, 10), в направлении, указанном стрелкой, с постоянной угловой скоростью w. Определить абсолютную скорость точки М в момент времени t1.
|
|
|
Рис. 2.3. Схемы к задаче 2.1. – сложное движение точки.
Таблица 2.2.
| Цифрашифра | 1-яцифрашифра | 2-яцифрашифра | 3-яцифрашифра | ||||
| AM=s=¦(t), см | t1, c | w, c-1 |  R, см
| a, см | a, град | Номер схемы (рис. 2.3) | |
| 1 | 30sinpt/6 | 1 | 5 | 60 | 10 | – | 1 |
| 2 | 20(t2–t) | 2 | 4 | 70 | 15 | 30 | 2 |
| 3 | 25(1–cospt/4) | 3 | 3 | 80 | 20 | – | 3 |
| 4 | 3t2 | 4 | 2 | 60 | 25 | – | 4 |
| 5 | 40sinpt/3 | 5 | 1 | 70 | – | 45 | 5 |
| 6 | 90(cospt/4–1) | 1 | 5 | 80 | 30 | – | 6 |
| 7 | 15(t+sinpt/2) | 2 | 4 | 60 | 10 | – | 7 |
| 8 | 20(t–sinpt/6) | 3 | 3 | 70 | 15 | – | 8 |
| 9 | 2(t2+t) | 4 | 2 | 80 | 20 | 60 | 9 |
| 0 | 8(t+sinpt/3) | 5 | 1 | 60 | – | – | 10 |
Примечание. Точка М изображена на схемах (см. рис. 2.3) в области положительных значений дуговой координаты s.
Пример решения задачи 2.2
Условие. Точка М движется по ободу диска радиусом R=20 см согласно закону s=АМ=6 tsin(pt/3).Диск вращается вокруг неподвижной оси О1О2, лежащей в плоскости диска, в направлении, указанном стрелкой, с постоянной
угловой скоростью w=0,5 рад/с. Определить абсолютную скорость точки М в момент времени t1=5 с (рис.2.4).
Решение. В данной задаче относительное движение точки – движение по ободу диска относительной системы отсчета, связанной с диском; переносное движение – вращение вместе с диском вокруг неподвижной оси; абсолютное движение – движение точки относительно неподвижной оси.
|
|
|
Определим параметры относительного движения точки:
а) положение точки М в заданный момент времени t=5 с:
|
Знак минус означает, что точка М в рассматриваемый момент времени находится в области отрицательных значений дуговой координаты s;
б) определим центральный угол a и отрезок MN: 
в) найдем проекцию относительной скорости 
точки М на касательную в данный момент времени (рис. 2.5).
Определим модуль переносной скорости точки М как вращательной скорости той точки диска, где в данное мгновение находится точка М
.
|
Модуль абсолютной скорости точки М (рис. 2.5.)найдем по формуле: 
Вектор абсолютной скорости направлен по диагонали прямоугольника, построенного на относительной и переносной скоростях как сторонах.
Абсолютное ускорение 
точки М равно (рис. 2.6) геометрической сумме относительного отн , переносного пер и кориолисова корускорений: 
абс = отн+ пер + кор ,или с учетом условий задачи в развернутом виде абс = 
отн+ 
отн+ пер + кор
где при t1=5с касательное ускорение в относительном движении:
| |
отн= 
;
нормальное ускорение в относительном движении:
отн= 
;
нормальное ускорение в переносном движении:
пер= 
;
кориолисово ускорение:
кор= 
.
Положительный знак отнпоказывает, что вектор отннаправлен в сторону положительных значений S; вектор отннаправлен по нормали к траектории движения точки в относительном движении, т.е. по нормали к окружности радиусом MN к её центру, вектор кор направлен согласно правилу векторного произведения векторов 
и 
отн (рис. 2.6)
Модуль абсолютного ускорения точки М находим способом проекции на оси х, у и z(рис. 2.6):
абсx= пер+ отнcos 
- отнsin =13,6 + 4,1cos24,8 
– - sin24,8 = 5,37см/с2
абсy= - отнsin - отнcos = 4,1sin24,8 – 28,5cos24,8 = = -27,6см/с2 абсz= кор = 6,6 см/с2
абс = 
см/с2
Рис.2.6.
Направление вектора абсопределяется его углами с осями координат:
( абс^, 
) = аrсcos 
= абсcos 
= 79,3
( абс^, 
) = аrсcos 
= абсcos 
= 162,7
( абс^, 
) = аrсcos 
= абсcos 
= 76,8
Задача2.3
Задача 2.3 относится к плоскому движению твердого тела. Скорость ползуна для данного положения механизма можно вычислить с помощью как теоремы о проекциях скоростей двух точек тела, так и мгновенного центра скоростей шатуна. Для этого необходимо знать скорость какой-нибудь точки шатуна (например точки А) и направление скорости ползуна.
Ускорение ползуна в данный момент времени можно найти с помощью векторной формулы распределения ускорений точек плоской фигуры, спроектировав ее на два взаимно перпендикулярных направления. В качестве полюса удобно выбрать точку А. Исходные данные к задаче даны в табл. 2.4. и на рис.2.7.
Условие:
Кривошип ОА длиной R вращается вокруг неподвижной оси О с постоянной угловой скоростью w и приводит в движение шатун АВ длиной L и ползун В. Для заданного положения механизма найти скорость и ускорение ползуна В.
Примечание. Если при заданных значениях углов окажется, что шатун АВ перпендикулярен направляющим ползуна (см. рис. 2.7, схемы 1, 6), то значение угла b следует принять равным 15°.
Таблица2.4
| Цифра шифра | 1-яцифрашифра | 2-яцифрашифра | 3-яцифрашифра | |||
| R, см | L, cм | a, град | b,
град
| w, c-1 | Номер схемы (рис. 2.7) | |
| 1 | 20 | 30 | 30 | 60 | 10 | 1 |
| 2 | 24 | 36 | 45 | 30 | 9 | 2 |
| 3 | 30 | 40 | 60 | 45 | 8 | 3 |
| 4 | 36 | 48 | 30 | 15 | 7 | 4 |
| 5 | 40 | 50 | 45 | 60 | 6 | 5 |
| 6 | 48 | 56 | 60 | 15 | 5 | 6 |
| 7 | 50 | 60 | 30 | 45 | 4 | 7 |
| 8 | 56 | 64 | 30 | 30 | 3 | 8 |
| 9 | 60 | 70 | 45 | 15 | 2 | 9 |
| 0 | 64 | 80 | 60 | 60 | 1 | 10 |
Рис. 2.7. Схемы к задаче 2.3.
Пример решения задачи2.3
Условие. Кривошип ОА длиной R=64 см вращается вокруг неподвижной оси О с постоянной угловой скоростью w=1 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной L=72 см и ползун В. Для положения механизма, заданного значениями углов a=45°, b=30,° найти скорость и ускорение ползуна В. Схема механизма приведена на рис. 2.8.
Решение. 1. Определим скорость точки А как вращательную вокруг неподвижной точки О по соотношению 
. Для определения скорости точки В найдем положение мгновенного центра скоростейР, для чего покажем направление скоростей точек А и В, а затем из точек А и В восстановим перпендикуляры к их скоростям vA и vB. Точка пересечения перпендикуляров будет являться мгновенным центром скоростей Р (см. рис. 2.8).
Рассмотрим движение шатуна в данный момент времени как вращательное относительно оси, проходящей через мгновенный центр скоростей Р перпендикулярно неподвижной плоскости, по отношению к которой происходит плоское движение. Угловая скорость шатуна в этом случае
определяется из соотношения 
, а скорость ползуна В как вращательная – из соотношения 
.
Расстояния АР и BP определим из решения треугольника АВР, применив теорему синусов. Для заданного положения механизма получим
, откуда
Подставив найденные значения расстояний в соответствующие формулы, получим 
. Направления скоростей показаны на рис. 2.8.
2. Для определения ускорения ползуна B воспользуемся векторным равенством:
, (1)
где 
– ускорение ползуна В;
– ускорение точки А, выбранной за полюс;
–осестремительное (нормальное) ускорение точки В при ее вращении вокруг полюса А;
– вращательное (касательное) ускорение точки В при ее вращении вокруг полюса А.
Ускорение точки А кривошипа при равномерном вращении вокруг неподвижной оси О состоит только из осестремительной составляющей, модуль которой определяется формулой 
. Вектор ускорения точки А направлен к оси вращения (рис.2.9), 
.
Осестремительноеускорение точки В при ее вращении вокруг полюса А:
.
Рассчитать вращательное ускорение обычным способом не представляется возможным, так как величина углового ускорения звена АВ неизвестна. Несмотря на это обстоятельство, векторное равенство (1) позволяет найти ускорение ползуна В. Для этого воспользуемся тем, что нам известно направления вектора (он перпендикулярен ускорению ) и вектора ускорения искомого ускорения 
(вдоль прямолинейной траектории точки В).
Проведем вектор ускорения 
точки В, предполагая, что он направлен противоположно скорости точки В. Спроектируем векторное равенство (1) на ось u, перпендикулярную ускорению и проходящую через точки А и В, получим 
. Отсюда
Знак минус показывает, что истинное направление ускорения точки В противоположно принятому.
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 781; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!