Способы задания движения точки



  • Задать движение точки — значит задать изменение ее положения по отношению к выбранной системе отсчета. Существуют три основные системы отсчета: векторная, координатная, естественная.
  • В векторной системе положение точки относительно начала отсчета задается радиус-вектором.
    Закон движения: .
  • В системе координат OXYZ положение точки задается тремя координатами X, Y, Z.
    Закон движения: x = x(t), y = y(t); z = z(t).
  • В естественной системе отсчета положение точки задается расстоянием S от начала отсчета до этой точки вдоль траектории.
    Закон движения: .
    Движение точки, при естественном способе задания движения, определено если известны:
    1) Траектория движения.
    2) Начало и направление отсчета дуговой координаты.
    3) Уравнение движения.
    При естественном способе задания движения, в отличии от других способов, используются подвижные координатные оси, движущиеся вместе с точкой по траектории. Такими осями являются:
    Касательная (τ) – направлена в сторону возрастания дуговой координаты по касательной к траектории.
    Главная нормаль (n) – направлена в сторону вогнутости кривой.
    Бинормаль (b) – направлена перпендикулярно к осям τ, n.

Определение кинематических характеристик точки

  • Траектория точки
    В векторной системе отсчета траектория описывается выражением: .
    В координатной системе отсчета траектория определяется по закону движения точки и описывается выражениями z = f(x,y)— в пространстве, или y = f(x) – в плоскости.
    В естественной системе отсчета траектория задается заранее.
  • Определение скорости точки в векторной системе координат
    При задании движения точки в векторной системе координат отношение перемещения к интервалу времени называют средним значением скорости на этом интервале времени: .
    Принимая интервал времени бесконечно малой величиной, получают значение скорости в данный момент времени (мгновенное значение скорости): .
    Вектор средней скорости направлен вдоль вектора в сторону движения точки, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
    Вывод: скорость точки – векторная величина, равная производной от закона движения по времени.
    Свойство производной: производная от какой либо величины по времени определяет скорость изменения этой величины.
  • Определение скорости точки в координатной системе отсчета
    Скорости изменения координат точки:
    .
    Модуль полной скорости точки при прямоугольной системе координат будет равен:
    .
    Направление вектора скорости определяется косинусами направляющих углов:
    ,
    где — углы между вектором скорости и осями координат.
  • Определение скорости точки в естественной системе отсчета
    Скорость точки в естественной системе отсчета определяется как производная от закона движения точки: .
    Согласно предыдущим выводам вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки и в осях определяется только одной проекцией .

Ускорение точки

  • По определению ускорение характеризует изменение скорости, то есть скорость изменения скорости.
  • Ускорения точки в векторной системе отсчета
    На основании свойства производной:
    .
    Вектор скорости может изменяться по модулю и направлению.
    Вектор ускорения направлен по линии приращения вектора скорости, т. е. в сторону искривления траектории.
  • Ускорение точки в координатной системе отсчета
    Ускорение изменения координат точки равно производной по времени от скоростей изменения этих координат:
    .
    Полное ускорение в прямоугольной системе координат будет определяться выражением:
    .
    Направляющие косинусы вектора ускорения:
    .
  • Ускорение точки в естественной системе отсчетаПриращение вектора скорости можно разложить на составляющие, параллельные осям естественной системы координат:
    .
    Разделив левую и правую части равенства на dt, получим:
    ,
    где — тангенциальное ускорение;
    — нормальное ускорение;
    R — радиус кривизны траектории в окрестности точки.

Кинематика твердого тела

  • В кинематике твердых тел решаются две основные задачи:
    1) задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом;
    2) определение кинематических характеристик точек тела.
  • Поступательное движение твердого тела
    Поступательное движение — это движение, при котором прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению.
    Теорема: при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.
    Вывод: поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем, задание и изучение его движения сводится к кинематике точки.
  • Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
    Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси — это движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения.
    Положение тела определяется углом поворота . Единица измерения угла – радиан. (Радиан — центральный угол окружности, длина дуги которого равна радиусу, полный угол окружности содержит радиана.)
    Закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси .
    Угловую скорость и угловое ускорение тела определим методом дифференцирования:
    — угловая скорость, рад/с;
    — угловое ускорение, рад/с².
    Если рассечь тело плоскостью перпендикулярной оси, выбрать на оси вращения точку С и произвольную точку М, то точка М будет описывать вокруг точки С окружность радиуса R. За время dt происходит элементарный поворот на угол , при этом точка М совершит перемещение вдоль траектории на расстояние .
    Модуль линейной скорости:
    .
    Ускорение точки М при известной траектории определяется по его составляющим :
    ,
    где .
    В итоге, получаем формулы
    тангенциальное ускорение: ;
    нормальное ускорение: .

Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 211; Мы поможем в написании вашей работы!






Мы поможем в написании ваших работ!