П.2 Подмножество. Основные числовые множества

Министерство образования Российской Федерации Елецкий государственный университет им. И.А.Бунина   Филимонова Л.В., Быкова Е.А.  

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

Учебное пособие

(для студентов гуманитарных факультетов ВУЗов)

 

Елец – 2003г.

 

 

УДК 002:372,8

ББК 22.18 я 73

Б 95

 

   

 

 

Рецензенты:

Кандидат технических наук, доцент кафедры
естественнонаучных дисциплин МГСУ, филиала
в г. Воронеже Полев Владислав Александрович

Кандидат технических наук, доцент кафедры ВМиИ
ЕГУ им. И.А. Бунина Быков Сергей Анатольевич

Филимонова Л.В., Быкова Е.А. Математика и информатика.

Учебное пособие (для студентов гуманитарных факультетов ВУЗов). – 2-е изд. Дополненное и переработанное – Елец, ЕГУ им. И.А. Бунина, 2001,   110 с.

 

 

Предлагаемое учебное пособие предназначено для студентов вузов, обучающихся на факультетах, где математика и информатика не являются предметами специализации. Оно составлено с учетом требований государственного стандарта и в нем на доступном уровне изложены некоторые основополагающие вопросы, вошедшие в учебную программу по новому предмету “Математика и информатика”. Данное пособие содержит 11 параграфов, каждый из которых посвящен изучению фундаментальных вопросов математики и информатики. Его цель – воспитать у человека культуру рациональных методов оперирования имеющимися и приобретения новых знаний, ознакомить студентов с некоторыми разделами высшей математики, углубить знания, полученные в школе по информатике и информационным технологиям, дать необходимые сведения о современных аспектах использования ЭВМ и последних достижениях.

 

© Е.А. Быкова

© Л.В. Филимонова

 

Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена без письменного разрешения всех владельцев авторских прав.

Введение

В настоящее время постоянно нарастает поток информации. Разви­тие науки, превращение ее в непосредственную производительную силу, в достояние каждого человека сопровождается увеличением информации, ибо неиссякаем источник, питающий науку, – мир, нас окружающий, не­утолима жажда знаний. Бесконечен процесс познания, процесс выработки нового знания, получения новой информации. Умение легко и быстро ори­ентироваться во все возрастающем потоке научно-технических сведений по своей и смежным специальностям, широко использовать возможности новой, компьютерной техники – одно из важнейших качеств выпускников вуза.

Важнейшей задачей нашего времени становится получение, перера­ботка, передача, хранение, представление и использование информации. Информация становится стратегическим ресурсом общества. Цепью обра­зования становится подготовка человека к полноценной жизни в условиях информационного общества. Поэтому возникла необходимость массового освоения компьютеров.

Умение пользоваться вычислительной техникой при решении про­фессиональных и учебных задач по праву приравнивается сейчас ко второй грамотности. Это требует наличия у каждого человека элементарных зна­ний о внутреннем устройстве ЭВМ, ее назначении и возможностях, спосо­бах взаимодействия с персональным компьютером; умений самому произ­водить моделирование различных задач, составлять алгоритмы и дейст­вующие программы хотя бы на одном языке программирования.

Д. Кнут (Лекции, 1993, с.52) отмечает: «Наука - это знание, настоль­ко понятное нам, что мы могли бы обучить ему вычислительную машину; там, где мы еще не все до конца понимаем, начинается область искусства. Понятие алгоритма или программы чрезвычайно полезный тест глубины наших познаний о каком-то предмете, поэтому превращение искусства в науку означает, что мы способны автоматизировать данную область дея­тельности».

Информатика - это наука, изучающая законы и методы накопления, передачи и обработки информации с помощью ЭВМ, а также область че­ловеческой деятельности, связанной с применением ЭВМ.

Информатика тесно связана с математикой. Количественные отно­шения и формы свойственны всем предметам и явлениям материального мира, поэтому можно говорить об универсальности математических мето­дов и приемов мышления. Математика располагает точным символиче­ским языком, позволяющим ей раскрывать как собственную сферу позна­ния, так и сферу познания других наук, в том числе информатики.

В современном мире роль математики существенно возросла. Трудно представить себе какую-нибудь отрасль хозяйства, область науки без этой дисциплины. Даже в социальную сферу математика ворвалась математической статистикой, теорией вероятностей и т. д.

Математика и информатика призваны воспитать у человека культуру рациональных методов оперирования имеющимися и приобретения новых знаний.

Поэтому курс “Математика и информатика” призван ознакомить студентов с некоторыми разделами высшей математики, углубить знания, полученные в школе по информатике и информационным технологиям, дать необходимые сведения о современных аспектах использования ЭВМ и последних достижениях.

§1. Математические предложения и доказательства.

 

Рассматриваемые в математике истины формулируются в виде предложений. Главнейшие из них следующие: определения, теоремы и аксиомы. Слово «аксиома» происходит от греческого слова аксиос и означает утверждение, не вызывающее сомнений.

Опр.1.1 Определением называется предложение, в котором разъясняется смысл нового понятия. Теорема есть предложение, справедливость которого устанавливается путем некоторого рассуждения, называемого доказательством. Аксиомой называется истина, принимаемая без доказательства. Непосредственный вывод из аксиомы или теоремы называется следствием.

Пример 1.1. Следующие предложения являются определениями, принятыми в математике: 1) всякое целое число, кроме единицы, которое делится только на единицу и само на себя, называется простым; 2) радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей ему дуги окружности, для которой данный угол является центральным, к длине ее радиуса. Аксиомой является предложение: через любые две точки можно провести прямую и только одну. Примером теоремы может служить теорема Пифагора, теоремы синусов и косинусов, теорема о трех перпендикулярах.

В каждой теореме есть условие и заключение. Содержание условия предполагается данным, а утверждение заключения подлежит доказательству.

Пример 1.2. Теорема, выражающая признак равенства треугольников: Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Приведенная теорема выражена в так называемой условной форме. Часто теорема выражается в категорической форме. Например: Вертикальные углы равны.

Доказательство теоремы состоит в том, что путем построения ряда умозаключений переходят от условия теоремы к ее заключению. При этом опираются на ранее доказанные теоремы, на сформулированные ранее определения и аксиомы. Таким образом, в основе лежит небольшое число аксиом. Аксиомы возникли из опыта, и справедливость их в совокупности, равно как и теорем, доказанных с их помощью, проверяется многократными наблюдениями и длительным опытом.

Рассмотрим известное определение параллелограмма: «Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны».

Исходя из этого определения, можно выделить несколько свойств параллелограмма:

1) параллелограмм имеет четыре угла;

2) параллелограмм имеет четыре вершины;

3) параллелограмм имеет две пары параллельных друг другу сторон.

Но первые два свойства присущи и другим видам четырехугольников. Третье же свойство характеризует именно эту фигуру, выделяет ее из множества всех четырехугольников, полностью определяет параллелограмм и позволяет его построить.

Такое свойство математического объекта называется его характеристическим свойством. Любое характеристическое свойство математического объекта может быть принято в качестве его определения. Всякое математическое определение не является высказыванием (относительно определения нельзя сказать, истинно оно или ложно; оно лишь разумно выбрано из нескольких возможных определений). Определения не доказываются.

Пример 1.3.Известно, что корнем степени n из числа а называется число х, n-я степень которого равна а: . Обозначается символом . Тогда равенство ( )n = а непосредственно следует из определения и не нуждается в доказательстве.

Основным методом построения современной математики является аксиоматический метод. При составлении какой-либо теории возникает необходимость в уточнении понятий, установлении связей между ними, в сведении сложных понятий к более простым. Например, при определении понятия диаметра окружности: “Диаметром окружности называется хорда, проходящая через центр этой окружности”. Но чтобы это определение стало до конца ясным, надо объяснить термины “окружность”, “хорда”, “центр окружности”. Например, “Окружность – это множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от точки О, называемой центром окружности”. Теперь необходимо объяснить слова “точка”, “плоскость”, “расстояние”, “множество”. Если мы станем объяснять каждое встречающееся слово, то этот процесс никогда не кончится. Поэтому при построении математических теорий надо принять некоторые понятия за неопределяемые, основные понятия (первичные термины), и уже с их помощью составлять всю теорию. Так в настоящее время за неопределяемые понятия в математике принято считать понятия “точка”, “прямая”, “расстояние”, “множество”, “число” и т.д.

Аксиоматическое построение того или иного конкретного раздела математики осуществляется следующим образом:

1) отбираются так называемые первичные термины – конечное число понятий и соотношений между этими понятиями, которые в рамках данной теории не определяются;

2) выделяются некоторые первичные утверждения – аксиомы, устанавливающие связь между первичными понятиями и соотношениями (и косвенно определяющие их), принимаемые за истинные без доказательства;

3) все новые понятия, вводимые в данной теории, должны быть определены через первичные термины или через ранее определенные понятия и соотношения; все новые утверждения теории (термины) должны быть доказаны на основе первичных терминов или аксиом (или предшествующих теорем) путем дедукции. Дедукция – способ рассуждения, посредством которых из общих посылок с необходимостью следует заключение частного характера.

Аксиоматический метод дает возможность строгого обоснования математических теорий; устанавливает глубокие взаимосвязи между математическими объектами, которые он характеризует.

Рассмотрим аксиоматическую теорию построения натурального ряда. Основными неопределяемыми понятиями будем считать: натуральное число, единица, унарная (одноместная) операция «следует за». Натуральные числа будем обозначать строчными латинскими буквами: a, b, c … Единицу будем обозначать 1. Число, «следующее за» а будем обозначать а’. Все множество натуральных чисел строится на системе четырех аксиом:

А1. Существует натуральное число, которое не следует ни за каким натуральным числом.

А2. Любое натуральное число следует не более, чем за одним натуральным числом.

А3. Для всякого натурального числа а существует только одно следующее за ним натуральное число а’.

А4. (Аксиома индукции) Если М – подмножество натуральных чисел, содержит единицу и вместе с каждым натуральным числом, содержащемся в М, содержит и следующее за ним натуральное число, то М совпадает с множеством N всех натуральных чисел.

А1-А4 – аксиомы Пеано.

Для записи натуральных чисел пользуются символами:                

1=1, 1’ = 2, 2’=3, 3’=4 и т.д.

Во многих разделах арифметики, алгебры, геометрии, анализа приходится доказывать истинность предложений А(n), зависящих от натуральной переменной, для всех значений этой переменной. Доказательство истинности предложения А(n) для всех значений переменной часто удается провести методом математической индукции (ММИ), который основан на следующем принципе.

Предложение А(n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены следующие два условия:

1) предложение А(n) истинно для n=1;

2) из предположения, что А(n) истинно для =k (где k – любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего значения n=k+1.

  Этот принцип называется принципом математической индукции.

Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства. Если требуется доказать истинность предложения А(n) для всех натуральных n, то, во-первых, следует проверить истинность высказывания А(1) и, во-вторых, предположив истинность высказывания А(k), попытаться доказать, что высказывание А(k+1) истинно. Если это удается доказать, причем доказательство остается справедливым для каждого натурального значения k, то в соответствии с принципом математической индукции предложение А(n) признается истинным для всех значений n.    

Пример 1.4.Доказать истинность предложения

               А(n) º {число 5×23n – 2 + 33n – 1 кратно 19}, n Î N.

Решение: 1) Высказывание А(1) º {число 5×2 + 32 кратно 19} истинно.

2)  Предположим, что для некоторого значения n=k

А(k) º {число 5×23k – 2  + 33k – 1  кратно 19}истинно. Тогда, так как

5×23 (k+1) – 2 + 33 (k+1) – 1  = 8×5×23k – 2  + 27×33k – 1 = 8 (5×23k – 2  + 33k – 1) + 19×33k – 1 , очевидно, что и А(k+1) истинно. Действительно, первое слагаемое делится на 19 в силу предположения, что А(k) истинно; второе слагаемое тоже делится на 19. Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение А(n) истинно при всех значениях n. ¨

Рассмотрим некоторое обобщение принципа математической индукции.

Пусть p – некоторое целое число.

Предложение А(n), где n – целое, истинно для всех целых значений
n ³ p, если выполнены следующие два условия:

1. Предложение А(n) истинно для n = p.

2. Из предположения, что А(n) истинно для n = k ( k – целое, k ³ p), следует, что оно истинно для следующего значения n=k + 1.

При p = 1 получается первоначальная формулировка.

Пример 1.5.Доказать, что любую сумму денег, большую 7 копеек, можно разменять только трехкопеечными и пятикопеечными монетами.

Решение: Пусть сумма равна n копейкам. Если n=8, что утверждение верно. Пусть утверждение верно для n=k. Могут представиться только два случая для размена суммы в k копеек:

а) потребовались только трехкопеечные монеты,

б) потребовалась хотя бы одна пятикопеечная монета.

В случае а) удаляем три трехкопеечные монеты, добавляем две пятикопеечные и тем самым размениваем сумму в k + 1 копеек. В случае б) удаляем одну пятикопеечную монету, добавляем две трехкопеечные монеты и тем самым размениваем сумму в k + 1 копеек. Ч.т.д. ¨

Примеры

1. Доказать формулу , nÎN.

Решение: 1) При n=1 обе части равенства обращаются в единицу и, следовательно, первое условие принципа математической индукции выполнено.

2) Предположим, что формула верна при n=k, т.е.

Прибавим к обеим частям этого равенства (k+1)3 и преобразуем правую часть. Тогда получим

   Таким образом, из того, что формула верна при n=k, следует, что она верна и при n=k+1. Это утверждение справедливо при любом натуральном значении k. Итак, второе условие принципа математической индукции выполнено. Формула доказана. ¨

2. Доказать, что при любом натуральном значении переменной при n верно неравенство 2n+2>2n+5.

Решение: 1) при n=1 получаем верное числовое неравенство

21+2>2×1+5, 8>7 (истинно).

2) Предположим, что при n=k верно следующее: 2k+2>2k+5.

При n=k +1 получим: 2k+3>2(k+1)+5

    2×2k+2>2k+7.

Но из предположения следует, что 2×2k+2>4k+10, тогда имеем   2×2k+2>4k+10>2k+7. Следовательно, второе условие принципа математической индукции выполнено и неравенство справедливо при любом натуральном значении n. Ч.т.д. ¨

 

Задачи для самостоятельной работы

1. Доказать ММИ следующие утверждения:


а) 1+2 +22 + 23 + … +2 n -1= 2 n –1;

б) (4 n +15n –1) M 9;

в) (10 n +18n –28) M 27;

г) (n3 + 11n) M 6;

д) (7 n –1) M 6;

е) n (2n2 – 3n +1) M 6;

ж) n5 – n кратно 5;

з) n7 – n кратно 7.


 

2. При каких натуральных значениях n верны неравенства:

а) 3 n>2 n +7n;         b) 2 n>n2 + 4n +5 ?

§2. Элементы теории множеств.

п.1 Понятие множества.

Основу теории математики-науки составляют понятия (одни из которых определяются, а другие не определяются, а лишь поясняются на конкретных примерах) и отношения между этими понятиями, которые устанавливаются при помощи соответствующих аксиом и определений. Дальнейшее построение математической теории осуществляется последовательной системой теорем и новых определений, устанавливающей свойства изучаемых математических объектов.

Опр.2.1.1 Одним из фундаментальных, неопределяемых математических понятий является понятие множества. Множество можно представить себе как соединение, совокупность, собрание некоторых предметов, объединенных по какому-либо признаку (множество учащихся класса, множество букв алфавита, множество цифр десятичной нумерации, множество чисел первого десятка, множество натуральных чисел, множество точек на прямой, множество книг на полке и т.д.).

Опр.2.1.2 Предметы, из которых состоит множество, называются его элементами (например, буква К – элемент множества букв русского алфавита).

«…Самое существенное в понятии множества – это акт объединения различных предметов в одно целое, именно в множество М, элементами которого (после акта объединения) будут данные предметы» [Лузин Н.Н. Теория функций действительного переменного. М. Учпедгиз, 1948].

Для названия множества иногда используют какое-либо одно слово, выступающее в роли синонима слова «множество» (зрители, стая, семья, фрукты).

Обозначают множества заглавными буквами латинского алфавита или символически с помощью фигурных скобок, в которых указываются его элементы. Сами элементы некоторого множества будем обозначать малыми латинскими буквами, если они не имеют специальных обозначений:

А; {а, b, c}; {*,s,h,g}; N={1,2,3,4,5,6,7,8, …}.

Принадлежность предмета некоторому множеству обозначают с помощью символа Î (в противном случае используется символ Ï).

Запись аÎА означает, что а есть элемент множества А. Аналогично имеем: DÎ{,D,o}.

Запись 4Ï{1,2,3} означает, что 4 не принадлежит множеству {1,2,3}.

Основными способами задания множества являются:

1) перечисление всех его элементов: А={а1, а2, а3, …, аn};

2) описание (указание характеристического свойства его элементов). Этот способ требует указания такого признака, который имеется у всех элементов данного множества и не свойственен элементам, не входящим в данное множество. Например, характеристическим свойством натуральных чисел является возможность их использования при счете каких-либо предметов. Говоря о множестве четных чисел, мы указываем характеристическое свойство его элементов:
М={хÎN ½хM2}, т.е. каждое число, принадлежащее этому множеству, делится на два.

Опр.2.1.3 Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными (одинаковыми). Пишут А=В.

Опр.2.1.4 Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Æ.

Следует обратить внимание на то, что обиходное слово «много» и математический термин «множество» имеют различный смысл, хотя и звучат почти одинаково. Множество может состоять из небольшого количества элементов. Договоримся обозначать количество элементов в некотором множестве А через m(А). Например, если А={а, b, c}, то m(А)=3. Если N – множество всех натуральных чисел, то m(N) = ∞.

п.2 Подмножество. Основные числовые множества.

Опр.2.2.1 Множество В, состоящее из некоторых элементов данного множества А (и только из них), называется подмножеством (частью) этого множества. Иначе, если любой элемент множества В принадлежит также множеству А, то множество В называется подмножеством множества А.

Это записывается так: ВÌ А или АÉВ. Говорят, что «В – подмножество А» или «В содержится в А» или «А содержит В». Заметим, что m(В) £ m(А).

Если в множестве В найдется хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству А, то В не является подмножеством множества А: ВËА. Например, отрезок [а, b] не является подмножеством полуинтервала (а, b], т.к. аÎ[а, b], но аÏ(а, b].

Из опр.2.2.1 следует, что любое множество является подмножеством самого себя, т.е. справедливо утверждение АÌА. Полагают также, что пустое множество является подмножеством любого множества. Пустое множество не содержит ни одного элемента, а значит в нем нет элемента, не принадлежащего любому другому множеству.

Знак Ì называется знаком включения. Отметим основные свойства отношения включения между множествами:

1) ÆÌА для любого множества А;

2) АÌА для любого множества А (рефлексивность);

3) из того, что ВÌА не следует АÌВ (не симметричность);

4) если АÌВ и ВÌА, то А=В (антисимметричность);

5) если АÌВ и ВÌС, то АÌС (транзитивность).    

Основные числовые множества:

N={1,2,3,4,…} – множество натуральных чисел;

Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…} – множество целых чисел (содержит все натуральные числа и числа, им противоположные), NÌZ;

Q={x ½ , где pÎZ, qÎN} – множество рациональных чисел (состоит из чисел, допускающих представление в виде дроби), NÌZÌQ;

R=(-∞;+∞) – множество действительных чисел, QÌR (кроме всех рациональных чисел, содержит иррациональные числа, содержащие в своей записи знаки радикалов: ).

Действительные числа изображаются точками координатной прямой (числовой оси). Координатная прямая – это всякая прямая (обычно горизонтальная), на которой указаны положительное направление, начало отсчета и единичный отрезок.

 

Таблица 1. Правила изображения числовых промежутков.

 

Название Неравенство, определяющее множество Обозначение Изображение
Отрезок от а до b (замкнутый промежуток) а £ х £ b [a;b]  
Интервал от а до b а < х < b (a;b)  
  Полуинтервалы от а до b а < х £ b а £ х < b (a;b]   [a;b)    
Числовой луч от а до +∞   а £ х [a;+∞)  
Открытый числовой луч от а до +∞ а < х (a;+∞)  
Числовой луч от -∞ до а х £ а (-∞; а]  
Открытый числовой луч от -∞ до а х < а (-∞; а)  

 


Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 121;