Признаки сходимости числовых рядов c положительными членами



Учебный модуль 7.Последовательности и ряды. Тема 15. Числовые ряды.

 

ЛЕКЦИЯ 15. Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов.

 

Пусть дана функция . Если областью определения функции является множество натуральных чисел , то мы говорим, что значения функции образуют бесконечную числовую последовательность

 

.

 

называется общим членом последовательности. Для сокращения записи вводится обозначение . Тогда последовательность можно записать так

 

u1, u2, u3, ...,un…                                                                                                 (15.1)

 

Замечание. Областью определения функция может быть и множество натуральных чисел с добавлением нуля .

Пусть задана бесконечная числовая последовательность чисел (15.1). Числовым рядом называется последовательность чисел, члены которой соединены знаком плюс, т.е. выражение

u1 + u2+ u3 + ... + un + ... = .                                                             (15.2)

числа u1, u2, u3, ..., un, ... называются членами ряда, а un общим членом ряда.

Например, числовой ряд

имеет общий член un=

Сходимость и сумма ряда. Частичной суммой Snназывается сумма первых n членов ряда, т.е.

 

 

Частичные суммы ряда образуют новую последовательность - последовательность частичных суммS1, S2, S3, ..., Sn, .... Если существует конечный предел последовательности частичных сумм = S<¥, то ряд (15.2) называется сходящимся, а число S - суммой ряда. В этом случае пишут . Если такой предел не существует или равен бесконечности, то ряд называют расходящимся.

Разность между рядом и его частичной суммой называется остатком ряда и обозначается .

или

Пример 1. Определить сходимость ряда

Решение.Напишем частичную сумму заданного ряда

Каждое из слагаемых представим в виде суммы простейших так, как это делали в интегралах

 

Числители выражений слева и справа равны, подставляя в равенство корни знаменателя, найдемА и В

то есть

.

Применим формулу к каждому члену частичной суммы ряда

Рассмотрим предел частичных сумм

 

Следовательно, ряд сходится и его сумма равна 1.

Пример 2. Дан числовой ряд

исследовать сходимость ряда.

Решение.Члены ряда положительны. Заменим в частичной сумме каждое слагаемое на последнее , тем самым уменьшим частичную сумму

Величина  бесконечно возрастает с ростом n. Поэтому предел последовательности Snпри n®¥ равен бесконечности и ряд расходится.

Пример3. Определить сходимость следующего ряда:

1 - 1 + 1 - 1 + (-1)n+1 + ... .

Решение. Четная частичная сумма этого ряда S2n= 0, а нечетная - S2n+1 = 1. Это означает, что предел не существует. Следовательно, данный ряд расходится.

 

Теорема о необходимом условии (признаке) сходимости числового ряда. Если числовой ряд сходится, то его общий член при n ®¥ стремится к нулю, т.е.

 

                                                                                                   (15.3)

 

Доказательство. Рассмотрим две соседние частичные суммы ряда (15.2)

Sn-1 = u1+ u2+ u3 + ... un-1,

Sn=u1+ u2+ u3+ ... un-1 + un=Sn-1 +un.

Из сходимости ряда следует, что

С другой стороны, по теоремам о пределах,

т.е.

S = S +

откуда и следует (15.2) .

Введенное условие сходимости является лишь необходимым, но не достаточным. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, у которых .

Пример. Ряд, рассмотренный в примере 2

Расходится, но его общий член стремится к нулю. Действительно

Аналогичным свойством обладает гармонический ряд, который будет рассмотрен ниже.

 

Основные свойства сходящихся числовых рядов.

Свойство 1. Ряд и его остаток сходятся и расходятся одновременно. Действительно, частичная сумма ряда при фиксированномnесть число. Рассмотрим сумму mслагаемых .

.

Рассмотрим предел этого выражения при . Так как предел постоянной равен самой постоянной, а от m не зависит и является величиной постоянной, то

.

Оба предела одновременно конечны или бесконечны.

Следствие. Добавление или отбрасывание конечного числа членов не изменяет сходимости ряда.

Свойство 2. При умножении ряда на число с его сходимость не меняется. Докажем свойство для сходящихся рядов. Если ряд

u1 + u2+ u3 + ... + un + ... = .                                                                 

сходится и имеет сумму S, то ряд

 

cu1  + cu2  + ... + cun+ ..,                   

 

также сходится и имеет сумму с∙S.

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму ряда

 

sn=cu1  + cu2 + cu3 + ... + cun= cSn.

 

Поэтому

 

 

Свойство 3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.

Доказательство. Пусть

u1+ u2  + u3 + ... + un + ... = S;

v1+ v2+ v3 + ... + vn + ... = Ф,

тогда ряд

(u1±v1) + (u2 ±v2) + ... + (un±vn) + ...

также сходится и имеет сумму S±Ф, так как предел суммы равен сумме пределов

Замечание. При сложении сходящегося и расходящегося ряда суммарный ряд тоже будет расходится.

 

Признаки сходимости числовых рядов c положительными членами

 

Числовой ряд называется рядом с положительными членами или просто положительным рядом, если все члены ряда

 

u1 + u2+ u3 + ... + un + ...

 

больше нуля . Рассмотрим признаки сходимости для положительных рядов.

Первый признак сравнения. Пусть даны три ряда:

 ряд, сходимость которого надо определить

 

u1 + u2+ u3 + ... + un + ...                                                                         (15.4)

 

сходящийся рядv1+ v2+ v3 + ... + vn + ...                                                   (15.5)

 

расходящийся рядw1 + w2  + w3 + ... + wn + ...                                         (15.6)                                       

 Тогда:

а) если начиная с некоторого номера n, выполняется условиеun£vn (15.7)

 

то из сходимости ряда (15.5) следует сходимость ряда (15.4);

б) если, начиная с некоторого номера n, выполняется условиеun³wn (15.8)

то из расходимости ряда (15.6) следует расходимость ряда (15.4).

Доказательство.

 а). Обозначим частичные суммы рядов

Sn= u1+ u2  +u3 + ... + un

Фn= v1+ v2+ v3 + ... + vn

в силу условия (15.7) имеем Sn£Фn.

По условию ряд (15.5) сходится, т.е.  = Ф, следовательно

Ф³Фn³Sn.

Это означает, что последовательность частичных сумм Sn возрастает (в силу положительности ряда (15.4)) и ограниченна сверху величиной Ф. Поэтому  существует и конечен, а ряд (15.4) сходится.

б). Обозначив частичную сумму ряда (15.6) за Wn

Wn = w1 + w2 + w3 + ... + wn,

в силу (15.8) имеем Sn³Wn.

По условию ряд (15.6) расходится, т.е. = ¥, следовательно

и ряд (15.4) расходится.

 

Второй признак сравнения. Пусть даны два ряда

 

u1 + u2+ u3 + ... + un + ...                                                                        (15.9)

v1+ v2+ v3 + ... + vn + ...                                                                         (15.10)

 

и можно указать такие постоянные числа k1> 0 и k2> 0, что, начиная с некоторого достаточно большого n,

 

                                                                                               (15.11)

Тогда ряды (15.9) и (15.10) одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Доказательство. Из (15.11) следует, что

 

k1vn£un£k2 vn.                                                                                        (15.12)

 

Если ряд (15.9) сходится, то из левого неравенства (15.12) по первому признаку сравнения вытекает сходимость ряда

k1 v1 + k1v2  +k1v3 + ... + k1vn + ...

Из сходимости этого ряда,по свойству 2, вытекает и сходимость ряда (15.10).

Предположим теперь, что ряд (15.9) расходится. В этом случае расходится и ряд

Из правой части (15.11) следует, что

Следовательно, по первому признаку сравнения, ряд (15.10) также расходится.

Следствие (предельный признак сравнения). Если для рядов (15.9) и (15.10) выполняется условие

 = r<¥, где r ¹ 0,                                                                         (15.13)

то эти ряды сходятся или расходятся одновременно.

 

Для сравнения обычно используются следующие эталонные ряды.

Геометрический ряд (ряд геометрической прогрессии)

a + aq + aq2 + ... + aqn-1 + ... .

Геометрический ряд сходится при условии . В противоположном случае ( ³ 1) ряд расходится. Например, ряд

сходится ( ), а ряд

1 + 2 + 4 + ... + 2n-1 + ...

расходится (q = 2). Можно также сказать, что этот ряд расходится потому, что не выполнено необходимое условие сходимости ряда.

Обобщенным гармоническим рядом называется ряд

Этот ряд сходится при p> 1 и расходится при p£ 1.

Например, ряд

- сходится, а ряд

- расходится.

Обобщенный гармонический ряд при p = 1 называют просто гармоническим рядом:

Гармонический ряд расходится!

Действительно, сгруппируем члены ряда по степеням 2

так как сумма слагаемых в каждой скобке больше , то

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение. Сравним общий член этого ряда с геометрическим рядом , который сходится.

Так как

то, по первому признаку сравнения исследуемый ряд сходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение. Сравнивая общий член этого ряда с общим членом гармонического ряда

заключаем, что этот ряд также расходится (по первому признаку сравнения).

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение. Воспользуемся следствием из второго признака сравнения, сравним с расходящимся гармоническим рядом

При вычислении предела мы использовали правило Лопиталя: предел отношения двух функций с неопределенностью или  равен пределу отношения производных . Поэтому .

Сравниваемые ряды ведут себя одинаково, поэтому заключаем, что исследуемый ряд расходится (т.к. гармонический ряд расходится).

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение. Рассмотрим отношение членов этого ряда к соответствующим членам гармонического ряда:

- при нечетном n имеем

- при четном n имеем    

Следовательно, отношениеun/vn ни к какому пределу не стремится. Однако при всех n оно заключено между 1/2 и 2. Поэтому согласно второму признаку сравнения исследуемый ряд ведет себя так же, как и гармонический, т.е. расходится.

 

Признак Даламбера сходимости рядов. Пусть дан положительный ряд

u1 + u2+ u3 + ... + un + ...                                                                           (15.14)

Если отношения последующего члена ряда unк предыдущему un-1, начиная с некоторого значения n = N , удовлетворяет неравенству

                                                                                     (15.15)

то ряд (15.14) сходится.

Если же, начиная с некоторого N , имеем

                                                                                          (15.16)

то ряд (15.14) расходится.

Доказательство. Пусть соотношение (15.14) выполняется для всех n. По первому свойству рядов без потери сходимости можно отбросить конечное число первых членов ряда. Тогда

un£q un-1, un-1 £q un-2, ... , u2 £q u1.

Отсюда, подводя почленную подстановку, и возвращаясь к unполучим

un£u1qn-1                                                                                                                                                      

Это неравенство означает, что общий член ряда (15.14) не превосходит соответствующего члена сходящегося (q< 1) геометрического ряда. В силу первого признака сравнения ряд (15.14) сходится.

Пусть имеет место соотношение (15.16). Тогда

u1 <u2 <u3 < ...<un-1 <un<... ,

т.е. члены ряда не убывают по мере возрастания n. Следовательно, не выполнено необходимое условие сходимости ряда и ряд (15.14) расходится.

На практике удобнее пользоваться предельным признаком Даламбера, формулировку которого дадим в виде следствия.

Следствие. (Предельный признак Даламбера). Если

,

то при p< 1 ряд (15.14) сходится, при p> 1 этот ряд расходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение. Рассмотрим предел отношения

Следовательно, исследуемый ряд сходится.

Замечание. Если  , то признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. В этих случаях надо привлекать другие признаки сходимости ряда.

Признак Даламбера хорошо работает для рядов, содержащих  и .


Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 268;