Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения, сводящиеся к ним.

Основные понятия и факты связанные с Д.У.

Определение: Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка ―уравнение вида  в котором ―независимая переменная, ―искомая функция, ―заданная функция.

Кроме обыкновенных дифференциальных уравнений,  дифференциальное уравнение в частных производных: для функций нескольких переменных. (Для ―обыкновенная производная).

Дифференциальное уравнение -го порядка ― лишь бы была  (а все остальное может отсутствовать)

Системы дифференциальных уравнений.

Решить: найти все решения (либо доказать, что их нет).

Решение ― объект, который при подстановке обращает уравнение в истинное

Пусть ―решение дифференциальное уравнение : .

Определение: Решение дифференциального уравнения получено в квадратурах, если оно выражено через элементарные функции посредством конечного числа арифметических операций, операций образования сложной функции и несобственных интегралов, при этом решение может быть функцией, заданной явно, неявно, параметрически, а неопределенные интегралы могут быть неберущимися.

(обычно решить ― решить в квадратурах)

 ― разные формы записи

. Теперь  неизвестна.

Для решения в квадратурах менять ролями переменные в дифференциальных уравнениях можно (получается неявная функция)

Определение: Начальное условие для уравнения  ―следующее дополнительное условие для его решения: , где ―заданные числа

 

Существование, единственность и приближенное решение задачи Коши

Определение: Начальное условие для уравнения  ―следующее дополнительное условие для его решения: , где ―заданные числа

Определение:  и  ―задача Коши (решить дифференциальные уравнения с начальными условиями).

Наиболее типично: у задачи Коши  единственное решение (но не всегда).

Теорема: Пусть в прямоугольнике  является непрерывной функцией .

Пусть , где  такое дифференциальное уравнение, что . Тогда по меньшей мере на отрезке  единственное решение задачи Коши . [Без доказательства]

 формулы для приближенного решения задачи Коши (в общем случае точной формулы не существует):

 , где ―такое число, для которого в прямоугольнике П .

.

Пример:  не решается в квадратурах (это доказано)

Задача Коши:

 

 

Д.У., описывающие физические процессы (радиоактивный распад, гармонические колебания, падение тела и д.р.)

 

Задача о радиоактивном распаде.

―время, ―масса вещества.

Задача о гармонических колебаниях

― уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной

 

Приближенное построение интегральных кривых с помощью изоклин.

 

 

Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения, сводящиеся к ним.

 

1) уравнение с разделенными переменными:

2) уравнение с разделяющимися переменными:

           (следить за пропажей корней)

3) уравнение вида

―новая функция, зависящая от

4) однородное уравнение:

5) уравнение вида .

 единственное решение: ―решение (*)???

.


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 133; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ